В июле 2029 года планируется взять кредит в банке на сумму 2 млн рублей на 4 года

Задача. В июле 2029 года планируется взять кредит в банке на сумму 2 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы: в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; в июле 2033 года выплачивается остаток по кредиту в размере 406 тыс. рублей. Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составит 2752 тыс. рублей.

Решение.

1. Обозначим через Х погашаемую ежегодно часть долга в первые 3 года кредитования, т.е. Х – это одна и та же величина, на которую в июле 2030, 2031 и 2032 годов долг становится меньше долга на июль предыдущего года. Таким образом, за 3 года долг клиента банку уменьшится на 3Х тыс. рублей.
2. Остаток по кредиту, равный 406 тыс. рублей – это остаток долга к 2033 году плюс r% по нему. Остаток долга обозначим через Y.

Тогда Y + Y ∙ 0,01r = 406.

Отсюда Y ∙ 0,01r = 406 – Y. (*)

Через Х и Y взятая сумма кредита выразится так: 3Х + Y = 2000 тыс. рублей.

Подсчитаем проценты за всё время кредитования, учитывая, что вначале проценты будут взиматься со всей взятой суммы, а затем с суммы за вычетом Х — погашаемой части ежегодных платежей в первые 3 года.

((3Х + Y) + (2Х + Y) + (Х + Y) + Y) ∙ 0,01r;

(6X + 4Y) ∙ 0,01r тыс. рублей – вся сумма процентов за 4 года кредитования.

У нас вся сумма процентов равна 2752 – 2000 = 752 тыс. рублей.

Получаем равенство: (6X + 4Y) ∙ 0,01r = 752 или

2(3X + 2Y) ∙ 0,01r = 752. Делим обе части равенства на 2.

(3X + 2Y) ∙ 0,01r = 376

Так как 3Х + Y = 2000, то имеем:

(2000 + Y) ∙ 0,01r = 376. Раскроем скобки.

20r + Y ∙ 0,01r = 376. Смотрим (*). Получаем:

20r + 406 – Y = 376, oтсюда Y = 20r + 30. Мы выразили Y через r.

Подставим значение Y в равенство (*).

(20r + 30) ∙ 0,01r = 406 – (20r + 30).

Раскроем скобки и упростим это равенство.

0,2r² + 0,3r = 406 – 20r – 30;

0,2r² +20,3r – 376 = 0  | ∙ 10

2r² + 203r – 3760 = 0. Решаем полученное квадратное уравнение.

D = b² – 4ac = 203² – 4 ∙ 2 ∙ (-3760) = 41209 + 30080 = 71289 = 267².

r₁ = (-203 – 267)/4 – отрицательное значение, не подходит по смыслу задачи.

r₂ = (-203 + 267)/4 = 64/4 = 16.

Ответ: 16%.

Полезно уметь извлекать квадратные корни вручную. Как?

Смотрите видео

Дзен

Rutube