Задания на векторы в 1 части профильного ЕГЭ по математике
Задача. Даны векторы \( \vec{a}\ \)(2; 3) и \( \vec{b}\ \)(-3; b0). Найдите b0, если |\( \vec{b}\ \)| = 1,5|\( \vec{a}\ \)|. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
Решение.
Модуль вектора \( \vec{a}\ \)(а1; а2) равен квадратному корню из суммы квадратов его координат:
\( | \vec{a}|=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2}\ \);
\( | \vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2}\ \); \( | \vec{a}|=\sqrt{13}\ \).
Найдём модуль вектора \( \vec{b}\ \)(-3; b0).
\( | \vec{b}|=\sqrt{(-3)^2+(b_0)^2}\ \);
\( | \vec{b}|=\sqrt{9+(b_0)^2}\ \).
По условию |\( \vec{b}\ \)| = 1,5|\( \vec{a}\ \)|. Возведём обе части равенства в квадрат.
Получаем b2 = 2,25a2.
9 + (b0)2 = 2,25 ∙ 13;
9 + (b0)2 = 29,25;
(b0)2 = 20,25;
b0 = ±4,5.
В ответе требуется записать меньшее из значений b0.
Ответ: -4,5.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}\ \)(4; -1) и \( \vec{b}\ \)(b0; 8). Найдите b0, если |\( \vec{b}\ \)| = 2,5|\( \vec{a}\ \)|. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.
Решение.
Найдём модуль вектора \( \vec{a}\ \)(4; -1).
\( | \vec{a}|=\sqrt{4^2+(-1)^2}\ \);
\( | \vec{a}|=\sqrt{17}\ \).
Найдём модуль вектора \( \vec{b}\ \)(b0; 8).
\( | \vec{b}|=\sqrt{(b_0)^2+8^2}\ \);
\( | \vec{b}|=\sqrt{(b_0)^2+64}\ \);
По условию |\( \vec{b}\ \)| = 2,5|\( \vec{a}\ \)|. Возведём обе части равенства в квадрат.
Получаем b2 = 6,25a2.
(b0)2 + 64 = 6,25 ∙ 17;
(b0)2 + 64 = 106,25;
(b0)2 = 42,25;
b0 = ±6,5.
В ответе требуется записать большее из значений b0.
Ответ: 6,5.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(-1; 3)\ \), \( \vec{b}(4; 1)\ \), \( \vec{c}(2; c_0)\ \). Найдите с0, если \( ( \vec{a}+\vec{b})\: \cdot \: \vec{c} =0\ \).
Решение.
Скалярное произведение векторов равно сумме произведение соответственных координат этих векторов.
3 ∙ 2 + 4 ∙ с0 = 0;
с0 = -6 : 4;
с0 = -1,5.
Ответ: -1,5.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(3; -1)\ \), \( \vec{b}(2; 0)\ \), \( \vec{c}(4; c_0)\ \). Найдите с0, если \( ( \vec{a}- \vec{b})\: \cdot \: \vec{c} =0\ \).
Решение аналогично решению предыдущей задачи.
1 ∙ 4 + (-1) ∙ с0 = 0;
-с0 = -4;
с0 = 4.
Ответ: 4.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(-2; 4)\ \)и \( \vec{b}(2; -1)\ \). Известно, что векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и \( \vec{b}\ \) сонаправленные, а \( | \vec{c}|=| \vec{a}|\ \). Найдите хс+ус.
Решение.
Так как длина вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)вдвое больше длины вектора \( \vec{b}\ \), а векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и \( \vec{b}\ \) сонаправлены, то и координаты вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \) больше координат вектора \( \vec{b}\ \) в два раза.
Получаем хс = 2 ∙ 2 = 4 и ус = -1 ∙ 2 = -2.
Тогда хс + ус = 4 + (-2) = 2.
Ответ: 2.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(4; -6)\ \)и \( \vec{b}(-2; 3)\ \). Известно, что \( | \vec{c}|=| \vec{a}|\ \), а векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и \( \vec{b}\ \) противоположно направленные. Найдите хс+ус.
Решение аналогично решению предыдущей задачи.
Длина вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)вдвое больше длины вектора \( \vec{b}\ \), а векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и \( \vec{b}\ \), по условию, противоположно направлены, следовательно отношение координат вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \) к соответственным координатам вектора \( \vec{b}\ \) равно (-2).
Получаем хс = -2 ∙ (-2) = 4 и ус = -2 ∙ 3 = -6.
Тогда хс + ус = 4 + (-6) = -2.
Ответ: -2.
Каждую из двух предыдущих задач можно решить быстро и легко графическим способом.
Смотрите видео.
Задача. На координатной плоскости (рис.1) изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите координаты вектора \( \vec{c}\ \), если \( \vec{c}=0,5 \vec{b}- \vec{a}\ \). В ответ запишите сумму координат вектора \( \vec{c}\ \).
Решение.
Определим координаты данных векторов.
Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Смотрим рис. 2.
А1(1; 2) и А2(-5; 6); В1(5; -4) и В2(2; 4). Тогда
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
По условию \( \vec{c}=0,5 \vec{b}- \vec{a}\ \). Следовательно,
Таким образом, сумма координат вектора \( \vec{c}\ \) равна 4,5.
Ответ: 4,5.
Задача. На координатной плоскости (рис.3) изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите координаты вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \), если \( \vec{c}=\vec{a}-1,5 \vec{b}\ \).
В ответ запишите произведение хс ∙ ус.
Решение аналогично решению предыдущей задачи.
Определим координаты данных векторов.
Смотрим рис. 4.
А1(-7; -1) и А2(5; 5); В1(2; -4) и В2(-6; 3). Тогда
По условию \( \vec{c}=\vec{a}-1,5 \vec{b}\ \). Следовательно,
Таким образом, искомое произведение координат вектора \( \vec{c}\ \)
хс ∙ ус = 24 ∙ (- 4,5) = -108.
Ответ: -108.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(4; y_a)\ \)и \( \vec{b}(x_b; 0)\ \), косинус угла между которыми равен \( \frac{2}{\sqrt{5}}\ \). Найдите уа. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.
Решение.
Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними.
В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов
\( \vec{a}(x_1; y_1)\ \)и \( \vec{b}(x_2; y_2)\ \) выражается формулой
\( \vec{a} \cdot \vec{b} =x_1x_2+y_1y_2\ \)
Получаем равенство:
Возведём обе части равенства в квадрат:
20 ∙ (xb)2 = (16 + (ya)2) ∙ (xb)2; делим на (xb)2 обе части равенства:
20 = 16 + (уа)2;
(уа)2 = 4;
уа = ±2.
Большее из этих значений уа = 2.
Ответ: 2.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(x_a; -2)\ \)и \( \vec{b}(0; y_b)\ \), косинус угла между которыми равен \( -\sqrt{0,2}\ \). Найдите xа. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
Решение аналогично решению предыдущей задачи.
Составим равенство на основании формулы:
Разделим обе части равенства на (-0,2).
Возведём обе части равенства в квадрат:
20 ∙ (уb)2 = ((хa)2 + 4) ∙ (уb)2; делим на (уb)2 обе части равенства:
20 = (ха)2 + 4;
(ха)2 = 16;
ха = ±4.
Меньшее из этих значений ха = -4.
Ответ: -4.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(14; -2)\ \)и \( \vec{b}(-7; -1)\ \). Найдите cosα, где α – угол между векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).
Решение.
Найдём модули данных векторов.
Получаем:
14 ∙ (-7) + (-2) ∙ (-1) = 10 ∙ 5 ∙ cosα;
-98 + 2 = 100 ∙ cosα, отсюда cosα = -0,96.
Ответ: -0,96.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(-6; 2)\ \)и \( \vec{b}(9; 13)\ \). Найдите косинус угла между
векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).
Решение аналогично решению предыдущей задачи.
Находим модули данных векторов.
Получаем:
-6 ∙ 9 + 2 ∙ 13 = 2 ∙ 5 ∙ cosα;
-54 + 26 = 100 ∙ cosα;
-54 + 26 = 100 ∙ cosα;
-28 = 100 ∙ cosα;
отсюда cosα = -0,28.
Ответ: -0,28.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на 10%
Задача. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
-с февраля по июнь необходимо выплатить одним платежом часть долга;
-в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
-в июле 2030 года долг должен составлять 800 тысяч рублей;
-в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.
Решение. Пусть в каждый из первых пяти лет долг будет уменьшаться на х тыс. рублей. Так как через эти 5 лет долг должен составлять 800 тыс. рублей, то первоначальный кредит равен (5х+800). С этой суммы посчитаем все проценты, которые будут начислены банком в первые 5 лет:
0,1(5х+800 + 4х+800 + 3х+800 + 2х+800 + х+800) =
= 0,1 ∙ 15х + 0,1 ∙ 800 ∙ 5 = 1,5х + 400 (тыс. руб.).
С июля 2030 года долг должен составлять 800 тысяч рублей по условию. Погашать его нужно будет следующие 5 лет на одну и ту же сумму. Мы легко определим эту сумму. Делим 800 на 5 и получаем 160 тысяч рублей. Однако, для удобства подсчёта процентов за последние 5 лет, обозначим эту сумму через у. Итак,
у=160, значит, долг 800=5у. Считаем проценты:
0,1(5у+4у+3у+2у+у) = 0,1 ∙ 15у = 1,5у.
Заменяем у на 160 и получаем 1,5 ∙ 160 = 240 тысяч рублей – проценты за последние 5 лет.
Таким образом, за всё время кредитования клиент выплатит:
(5х + 800) тыс. руб. — данную банком сумму;
(1,5х + 400) тыс. руб. — проценты за первые 5 лет;
240 тыс. руб. — проценты за последние 5 лет.
По условию сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей. Получаем уравнение:
5х + 800 + 1,5х + 400 + 240 = 2090. Решаем:
6,5х = 2090-1440;
6,5х = 650;
х = 100.
На 100 тыс. руб. будет уменьшаться долг ежегодно в первые 5 лет.
А так как взятую сумму кредита мы обозначали через (5х+800) тысяч рублей, то она составит 5 ∙ 100 + 800 = 1300 тысяч рублей.
Ответ: 1300000 рублей.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3%
Задача. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?
Решение. Для удобства обозначим через х величину, на которую ежемесячно уменьшался долг первые 10 месяцев (х = 80 тыс. рублей), а через у – остаток долга на 11 месяц кредитования (долг 15 числа 10-го месяца). Тогда, очевидно, что кредит был равен (10х + у) тысяч рублей.
Подсчитаем проценты за первые 10 месяцев.
0,03 ∙ ( (10х+у) + (9х+у) + (8х+у) + … + (х+у)) =
= 0,03 ∙ (10х + 9х + 8х +…+ х) + 0,03 ∙ 10у =
= 0,03 ∙ 55х + 0,3у = 1,65х + 0,3у.
За 11-й месяц будет выплачено (у + 0,03у) тыс. рублей.
Итак, за всё время кредитования клиент заплатил
10х + 1,65х + 0,3у + у + 0,03у или 1198 тыс. рублей.
10х – это 80 ∙ 10 = 800 тысяч рублей.
800 + 1,65х + 1,33у = 1198;
1,65 ∙ 80 + 1,33у = 1198-800;
132 + 1,33у = 398;
1,33у = 398-132;
1,33у = 266;
у = 200.
Ответ: 200 тысяч рублей.
В октябре 2027 года Борис планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей.
Задача. В октябре 2027 года Борис планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
-в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;
-в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;
-в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028 – 2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же величину Q рублей меньше долга на октябрь предыдущего года;
-в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
-к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите величину Q, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 4168 тыс. рублей.
Решение.
Пусть ежегодно в первые 5 лет долг будет уменьшаться на Q тыс. рублей (не рублей, а тысяч рублей). Посчитаем сумму процентов, которые будут выплачены за эти 5 лет:
0,15 ∙ (2560 + (2560-Q) + (2560-2Q) + (2560-3Q) + (2560-4Q)) =
= 0,15 ∙ (5 ∙ 2560-10Q) = (1920-1,5Q) тыс. рублей.
Следовательно, за первые 5 лет общие выплаты составят
5Q + 1920-1,5Q = (3,5Q + 1920) тыс. рублей. Остаток долга станет равным
(2560-5Q) тыс. рублей (ежегодно будут списывать только Q тыс. рублей).
Обозначим эту сумму (остаток долга) через S.
S = 2560-5Q. Эта сумма будет выплачена в 2033 и 2034 годах двумя равными платежами – обозначим каждый такой платёж через Y. Как это будет происходить?
Банк увеличит сумму долга на 15% — получится 115% от S, т.е 1,15S.
Клиент платит Y тыс. рублей, и долг станет равным (1,15S-Y) тыс. рублей.
Банк начисляет на эту сумму 15% — долг составит 1,15(1,15S-Y).
Клиент выплачивает Y тыс. рублей, и долг обнулится, т.е. мы имеем равенство:
1,15 ∙ (1,15S -Y)-Y = 0.
1,152 ∙ S -1,15Y-Y = 0
1,3225S -1,15Y -Y = 0
2,15Y = 1,3225S.
А так как S = (2560-5Q), то 2,15Y = 1,3225(2560-5Q). Выразим Y.
Так как Y – это платёж в каждый из двух последних лет кредитования, то за 2 последних года банку будет выплачено 2Y тыс. рублей.
Общие выплаты за все 7 лет составят:
3,5Q + 1920 + 2Y или 4168 тыс. рублей.
3,5Q + 1920 + 2Y = 4168;
3,5Q + 2Y = 4168-1920;
3,5Q + 2Y = 2248;
Подставим вместо Y его значение и решим уравнение относительно Q.
Умножаем обе части равенства на 86.
301Q + 529(512-Q) = 193328;
301Q + 270848 -529Q = 193328;
301Q -529Q = 193328 -270848;
-228Q = -77520;
Q = 340. Мы нашли Q в тысячах рублей, ответ нужно дать в рублях.
Ответ: 340000 рублей.
На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных
Задача. На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.
Решение. Будем брать 1 блюдце с первой полки и 1 чашку со второй полки, затем снова 1 блюдце с первой полки и 1 чашку со второй полки. Необходимо получить 2 чайные (одного цвета) пары. Подойдут следующие случаи:
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
Рассмотрим вероятность наступления каждого из этих случаев.
1)блюдце и чашка, блюдце и чашка — берём синее блюдце с первой полки (любое из 14, а всего 36 блюдец) и синюю чашку со второй полки (любую из 27, а всего 36 чашек), затем берём синее блюдце с первой полки (любое из 13, а всего 35 блюдец) и синюю чашку со второй полки (любую из 26, а всего 35 чашек). Эти 4 события независимы друг от друга, поэтому, вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей выбора каждого из предметов:
Ответ: 0,29.
Задача. На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.
Решение. Будем брать 1 блюдце с первой полки и 1 чашку со второй полки, затем снова 1 блюдце с первой полки и 1 чашку со второй полки. Необходимо получить 2 чайные (одного цвета) пары. Подойдут следующие случаи:
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка.
Рассмотрим вероятность наступления каждого из этих случаев.
1) блюдце и чашка, блюдце и чашка – берём синее блюдце с первой полки (любое из 9, а всего 25 блюдец) и синюю чашку со второй полки (любую из 12, а всего 25 чашек), затем берём синее блюдце с первой полки (любое из 8, а всего 24 блюдец) и синюю чашку со второй полки (любую из 11, а всего 24 чашек). Эти 4 события независимы друг от друга, поэтому, вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей выбора каждого из предметов:
Искомая вероятность p = p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6.
Ответ: 0,38.
Проценты и кредиты ЕГЭ 2022. Часть 2.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 11. Задача 15.
В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей; выплаты в 2026 и 2027 годах равны; к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью. На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Решение.
Первая выплата – это 10% от 1050 тысяч рублей, т.е. 105 тысяч рублей.
Итак, за 2023, 2024 и 2025 годы будут выплачены лишь проценты (по 105 тысяч рублей ежегодно), а сумма долга останется прежней, т.е. равной 1050 тысяч рублей. Обозначим эту сумму через S. Долг следует отдать двумя равными платежами. Обозначим один такой платёж через Х.
2026 год.
Январь. Сумма долга увеличится на 10% и составит 1,1S тысяч рублей.
Февраль-июнь. Клиент выплатит Х тысяч рублей, которые будут полностью зачтены в счёт долга. Тогда ему останется выплатить (1,1S-Х) тысяч рублей.
2027 год.
Январь. Банк начислит 10% на остаток долга.
Теперь долг равен 1,1(1,1S-Х) тысяч рублей.
Февраль-июнь. Клиент выплатит Х тысяч рублей, которые будут полностью зачтены в счёт долга, и долг будет погашен. Получаем равенство:
1,1(1,1S-Х)-Х=0;
1,21S-1,1Х-Х=0;
1,21S=2,1Х;
Х=1,21S : 2,1.
Подставляем значение S=1050 и получим:
Х=1,21 ∙ 1050 : 2,1;
Х=605 тысяч рублей. Это последняя выплата.
605-105=500 тысяч рублей. На столько последняя выплата будет больше первой.
Ответ: 500 000 рублей.
Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 12. Задача 15.
В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 220 тыс. рублей; выплаты в 2026 и 2027 годах равны; к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью. Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тыс. рублей.
Решение.
Итак, за 2023, 2024 и 2025 годы будут выплачены лишь проценты, а сумма долга останется прежней, т.е. равной 220 тысяч рублей. Обозначим эту сумму через S. Далее долг следует отдать двумя равными платежами. Обозначим один такой платёж через Х.
2026 год.
Январь. Сумма долга увеличится на r % и составит (1+0,01r)S тысяч рублей. Сделаем замену переменной. Пусть 1+0,01r=k. Итак, после начисления процентов сумма долга равна kS.
Февраль-июнь. Клиент выплатит Х тысяч рублей, которые будут полностью зачтены в счёт долга. Тогда ему останется выплатить (kS-Х) тысяч рублей.
2027 год.
Январь. Банк начислит r % на остаток долга.
Долг станет равным k(kS-Х) тысяч рублей.
Февраль-июнь. Клиент выплатит Х тысяч рублей, которые будут полностью зачтены в счёт долга, и долг будет погашен. Получаем равенство:
Это выплачено за 2026 и 2027 годы. А за первые три года кредитования выплачивались лишь проценты: r % от взятой суммы кредита.
Эта сумма равна 0,01r ∙ 220=2,2r.
За три года (2023, 2024 и 2025 годы) будет выплачено 6,6r тысяч рублей.
Выразим r через k.
Так как 1+0,01r=k, то r=100k-100.
Тогда 6,6r=660k-660.
Следовательно, за пять лет должно быть выплачено 2X+6,6r или
Умножим обе части равенства на (1+k).
440k2+660k-660+660k2-660k=420+420k;
1100k2-420k-1080=0. Делим равенство на 20.
55k2-21k-54=0.
Решаем квадратное уравнение относительно переменной k>0.
Возвращаемся к переменной r.
r=100k-100;
r=100 ∙1,2-100;
r=20.
Ответ: 20%.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 13. Задача 15.
Алексей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1806000 рублей. Сотрудник банка предложил Алексею два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.
Вариант 1. Каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту погашения кредита?
Решение.
1) Рассуждаем согласно варианту 1.
Обозначим сумму кредита через S. Пусть S=1806 тыс. рублей.
1 год. Январь. Банк начислит 15%, и долг станет равным 1,15S.
Февраль-июнь. Клиент делает первый платёж, равный Х тыс. рублей. Весь этот платёж засчитывается и долг становится равным (1,15S-Х) тыс. рублей.
2 год. Январь. Банк начислит 15%, и долг станет равным 1,15(1,15S-Х) тыс. рублей.
Февраль-июнь. Клиент делает второй платёж, равный первому, т.е. Х тыс. рублей. И этот платёж полностью засчитывается. Долг погашен. Имеет место равенство: 1,15(1,15S-Х)-Х=0. Решаем уравнение и находим значение Х.
1,152 ∙ S-1,15X-X = 0;
1,152 ∙ S = 2,15X;
Таким образом, за два года клиент выплатит банку 2Х=2221,8 тысяч рублей или 2221800 рублей.
2) Рассмотрим условия кредитования по варианту 2.
В условии сказано: «со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца», поэтому обозначим эту величину через х тысяч рублей. Тогда вся сумма, взятая в кредит, равна 24х. Мы ее знаем, это 1806 тысяч рублей, но рассуждать удобнее с использованием введённой переменной х. Почему? Потому что проценты банк ежемесячно начисляет на остаток долга, т.е. сначала на 24х, через месяц на 23х и т.д. Подсчитаем начисленные банком проценты за всё время кредитования.
Это 2% от 24х, от 23х и т.д. Получаем:
0,02(24х+23х+22х+…+2х+х).
Сумму в скобках найдём по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Банку нужно будет выплатить взятую сумму 24х плюс проценты 6х. Итого 30х.
Так как 24х=1806 тысяч рублей, то х=1806:24=75,25 тысяч рублей.
Итак, по варианту 2 нужно будет выплатить
30 ∙ 75,25 = 2257,5 тысяч рублей или 2257500 рублей.
Вариант 1 более выгодный, так как платить меньше, разница в выплаченных суммах составит:
2257500-2221800=35700 рублей.
Ответ: 35700 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 14. Задача 15.
Виктор планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1962000 рублей. Сотрудник банка предложил Виктору два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.
Вариант 1. Каждый январь долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Виктора варианту погашения кредита?
Задача аналогичная предыдущей. Поменялись сумма кредита и процент по 1 варианту кредитования! Ах, да! Ещё имя клиента!
Решение.
1) Рассуждаем согласно варианту 1.
Обозначим сумму кредита через S. Пусть S=1962 тыс. рублей.
1 год. Январь. Банк начислит 18%, и долг станет равным 1,18S.
Февраль-июнь. Клиент делает первый платёж, равный Х тыс. рублей. Весь этот платёж засчитывается и долг становится равным (1,18S-Х) тыс. рублей.
2 год. Январь. Банк начислит 18%, и долг станет равным 1,18(1,18S-Х) тыс. рублей.
Февраль-июнь. Клиент делает второй платёж, равный первому, т.е. Х тыс. рублей. И этот платёж полностью засчитывается. Долг погашен. Имеет место равенство: 1,18(1,18S-Х)-Х=0. Решаем уравнение и находим значение Х.
1,182 ∙ S-1,18X-X = 0;
1,182 ∙ S = 2,18X;
Таким образом, за два года клиент выплатит банку 2Х=2506,32 тысяч рублей или 2506320 рублей.
2) Рассмотрим условия кредитования по варианту 2.
В условии сказано: «со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца», поэтому обозначим эту величину через х тысяч рублей. Тогда вся сумма, взятая в кредит, равна 24х. Мы ее знаем, это 1962000 рублей. Подсчитаем начисленные банком проценты за всё время кредитования.
Это 2% от 24х, от 23х, от 22х, от 21х и т.д. до последнего месяца, когда остаток будет х тыс. рублей. Получаем:
0,02(24х+23х+22х+…+2х+х). Сумму в скобках найдём по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Это проценты за всё время кредитования.
Банку нужно будет выплатить взятую сумму 24х плюс проценты 6х. Итого 30х.
Так как 24х=1962000 рублей, то х=1962000:24=81750 рублей.
Итак, по варианту 2 нужно будет выплатить
30 ∙ 81750 = 2452500 рублей.
Видим, что вариант 2 более выгодный, так как платить меньше, разница в выплаченных суммах составит:
2506320-2452500=53820 рублей.
Ответ: 53820 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 15. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за 15-й месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс. рублей. Сколько рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение. Обозначим через х тыс. рублей одну и ту же сумму, на которую долг будет уменьшаться ежемесячно. По сути х – это ежемесячный платёж без процентов, а в кредит на два года, т.е. на 24 месяца было взято 24х тысяч рублей. Банку нужно будет вернуть эти 24х тысяч рублей плюс проценты, которые банк будет начислять 1-го числа каждого месяца. Проценты начисляются на остаток долга.
Проценты за всё время кредитования составляют:
Итого отдать придётся 24х+3х=27х тысяч рублей.
На 15-й месяц кредитования остаток долга будет равен 10х тысяч рублей, так как на х тысяч рублей долг уменьшался ежемесячно. Проценты на этот остаток составят 0,01 ∙ 10х = 0,1. Следовательно, за 15-й месяц банком определена сумма для выплаты х+0,1х=1,1х. По условию задачи эта сумма равна 44 тыс. рублей. Решаем уравнение:
1,1х = 44 → х = 40 тыс. рублей.
Итак, за всё время кредитования банку нужно будет отдать
27 ∙ 40 = 1080 тыс. рублей = 1080000 рублей.
Ответ: 1080000 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 16. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на 3 года. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за 24-й месяц кредитования нужно выплатить 45,2 тыс. рублей. Сколько рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение. Обозначим через х тыс. рублей ежемесячный платёж без процентов, а в кредит на три года, т.е. на 36 месяцев было взято 36х тысяч рублей. Банку нужно будет вернуть эти 36х тысяч рублей плюс проценты, которые банк будет начислять 1-го числа каждого месяца. Проценты начисляются на остаток долга.
Проценты за всё время кредитования составят:
Итого отдать банку придётся 36х+6,66х=42,66х тысяч рублей.
По условию за 24-й месяц нужно выплатить 45,2 тысяч рублей. Эта сумма складывается из ежемесячного платежа без процентов, который мы обозначили через х, и процентов на остаток вклада по прошествии 23 месяцев кредитования. Остаток будет равен 13х.
х + 0,01 ∙ 13х = 1,13х. Получаем уравнение:
1,13х = 45,2 → х = 40 тыс. рублей.
Итак, за всё время кредитования банку нужно будет отдать
42,66 ∙ 40 = 1706,4 тыс. рублей = 1706400 рублей.
Ответ: 1706400 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 35. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возвращения таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 339 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?
Решение. Пусть ежемесячный платеж (без процентов) составляет х рублей. Тогда кредит был выдан в размере 24х рублей. За второй год кредитования (за последние 12 месяцев) нужно вернуть 12х рублей (долг без процентов) плюс проценты, т.е. сумму процентов за каждый из последних 12-то месяцев. По условию эта сумма равна 339000 рублей. Получаем уравнение:
12х + (12х + 11х + 10х + … + х) ∙ 0,02 = 339000;
12х + (12х+х)/2 ∙ 12 ∙ 0,02 = 339000;
12х + 13х ∙ 6 ∙ 0,02 = 339000;
12х + 1,56х = 339000;
13,56х = 339000; х = 339000 : 13,56; х = 25000.
Итак, ежемесячный платеж (без процентов) составляет 25000 рублей.
За первый год кредитования (за первые 12 месяцев) необходимо выплатить:
12х + (24х + 23х + 22х + … + 13х) ∙ 0,02 = 12х + (24х+13х)/2 ∙ 12 ∙ 0,02 =
= 12х + 37х ∙ 6 ∙ 0,02 = 12х + 4,44х = 16,44х = 16,44 ∙ 25000 = 411000 рублей.
Ответ: 411000.
Назовём натуральное число палиндромом
Задача. Назовём натуральное число палиндромом, если в его десятичной записи все цифры расположены симметрично (совпадают первая и последняя цифры, вторая и предпоследняя, и т.д.). Например, числа 121 и 953359 являются палиндромами, а числа 10 и 953359 не являются палиндромами.
а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 15.
б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15?
в) Найдите 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15.
Решение.
Так как наше число-палиндром должно делиться на 15, то оно должно делиться и на 5 и на 3. На 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 и на 5. Однако, число не может начинаться с нуля, а, значит, и не может оканчиваться нулём, поэтому искомые числа будут оканчиваться на 5 и начинаться тоже с цифры 5. Имеем в виду, что на 3 делится число, сумма цифр которого делится на 3.
а) Так как 55 не делится на 3, то среди двузначных чисел нет чисел-палиндромов, делящихся на 15. Из трёхзначных чисел наименьшим числом-палиндромом, делящимся на 15, будет число 525. Оно оканчивается на «5», поэтому делится на 5, а также число 525 делится на 3, так как сумма цифр этого числа 5+2+5=12 делится на 3.
Так как в пункте в) нам нужно будет указать 37-е по величине число-палиндром, которое делится на 15, то найдём все трёхзначные и четырёхзначные числа-палиндромы, которые делится на 15. Все наши числа начинаются и оканчиваются на «5», поэтому нам остаётся только позаботиться о том, чтобы сумма цифр каждого из чисел делилась на 3. Так как в любом искомом числе-палиндроме уже есть две пятерки (5+5=10), то общая сумма цифр трёхзначного числа-палиндрома может быть равна 12 или 15 или 18, т.е. в серединке между двумя «пятёрками» может стоять цифра 2 (число 525) или 5 (число 555) или 8 (число 585). Таким образом, среди трёхзначных чисел всего три числа-палиндрома, которые делятся на 15.
Переходим к четырёхзначным числам. Первая и последняя цифры – пятёрки, а сумма двух (одинаковых) цифр, стоящих в середине может быть равна 2 (число 5115) или 8 (число 5445) или 14 (число 5775). Других вариантов нет. Таким образом, среди четырёхзначных чисел тоже нашлись всего три числа-палиндрома, которые делятся на 15.
б) Приступаем к нахождению пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 15. Нас будет интересовать сумма трёх средних цифр каждого пятизначного числа. Так как общая сумма всех цифр пятизначного числа должна делиться на 3, то она может быть равна или 12 или 15 или 18 или 21 или 24 или 27 или 30 или 33 или 36. Учитывая сумму первой и последней цифр (5+5=10), заключаем, что сумма средних трёх цифр может быть равна 2 или 5 или 8 или 11 или 14 или 17 или 20 или 23 или 26. Выпишем в порядке возрастания эти трёхзначные числа-палиндромы, стоящие между двумя «пятёрками» в искомых пятизначных числах-палиндромах, делящихся на 15.
020, 050, 080, 101, 131, 161, 191, 212, 242, 272, 323, 353, 383, 404, 434, 464, 494, 515, 545, 575, 626, 656, 686, 707, 737, 767, 797, 818, 848, 878, 929, 959, 989. Пересчитываем. Их 33, и это числа:
50205, 50505, 50805, 5105, 51315, 51615, 51915, 52125, 52425, 52725, 53235, 53535, 53835, 54045, 54345, 54645, 54945, 55155, 55455, 55755, 56265, 56565, 56865, 57075, 57375, 57675, 57975, 58185, 58485, 58785, 59295, 59595, 59895.
в) Так как число 50205 уже 7-ое по счёту число-палиндром, делящееся на 15 (помните, были три трёхзначных числа и три четырёхзначных числа?), то на 37-ом месте стоит число 59295.
Ответ: а) 525; б) 33; в) 59295.
Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 5
Задача. а) Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 5 натуральных делителей.
б) Существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 15 натуральных делителей?
в) Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых ровно 20 натуральных делителей?
Решение.
Мы умеем записывать каноническое разложение числа на простые множители. Например, 24 = 23 ∙ 3 – каноническое разложение числа 24 на простые множители. Существует правило:
если число можно представить в виде
где m1, m2, … , mk – натуральные показатели, то количество делителей числа n будет равно (m1+1) ∙ (m2+1) ∙ ∙∙∙ ∙ (mk+1).
Так, например, у числа 24 = 23 ∙ 31 всего (3+1)(1+1) = 4 ∙ 2 = 8 делителей.
Проверьте: 24 делится на 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12 и на 24.
а) Трёхзначное число, у которого 5 делителей, в каноническом виде есть произведение степеней с такими натуральными делителями m1, m2, … , mk,
чтобы (m1+1) ∙ (m2+1) ∙ ∙∙∙ ∙ (mk+1) = 5. Так как 5 = 1 ∙ 5, то показатели степеней должны быть 0 и 4.
Подойдёт а=5. Получаем 1 ∙ 54 = 625. Это число имеет 5 делителей: 1; 5; 25; 125; 625.
б) 15 = 3 ∙ 5. Следовательно, будем искать число, каноническое разложение которого равно
Возьмём а1 = 3; а2 = 2 для примера.
Получим 32 ∙ 24 = 9 ∙ 16 = 144 – трёхзначное число.
У числа 144 ровно 15 делителей: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 36; 48; 72; 144.
Если возьмём а1 = 2; а2 = 3, то получим 22 ∙ 34 = 4 ∙ 81 = 324 – тоже трёхзначное число, и у него тоже ровно 15 делителей:
1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 27; 36; 54; 81; 108; 162; 324.
в) 20 = 4 ∙ 5, значит, возможно произведение двух степеней с натуральными основаниями, показатели которых 3 и 4.
Например, 23 ∙ 34 = 648 (подходит, это 1-ое трёхзначное число),
24 ∙ 33 = 432 (2-ое число), 24 ∙ 53 = 2000 (это четырёхзначное число, не подойдёт).
20 = 2 ∙ 2 ∙ 5. Это означает, что каноническое разложение может представлять собой произведение трёх степеней с простыми натуральными основаниями и показателями 1, 1 и 4.
Подберём простые натуральные числа в качестве оснований степеней а1, а2 и а3 так, чтобы в результате получались трёхзначные числа.
24 ∙ 3 ∙ 5 = 240 (3-е число),
24 ∙ 3 ∙ 7 = 336 (4-ое число),
24 ∙ 3 ∙ 11 = 528 (5-ое число),
24 ∙ 3 ∙ 13 = 624 (6-ое число),
24 ∙ 3 ∙ 17 = 816 (7-ое число),
24 ∙ 3 ∙ 19 = 912 (8-ое число),
24 ∙ 5 ∙ 7 = 560 (9-ое число),
24 ∙ 5 ∙ 11 = 880 (10-ое число),
34 ∙ 2 ∙ 5 = 810 (11-ое число),
34 ∙ 2 ∙ 7 = 1134 (не подойдёт).
Ответ: а) 625; б) да, 144; в) 11.
Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр
Задача. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более 3/10 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 5/12 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?
Решение.
а) Дробь 3/10 – несократимая. Заметим, что не могла быть первоначальной дробь 6/20 , т.к. в группе всего 16 учащихся.
Вывод: в театр сходили 3 мальчика и 10-3=7 девочек.
м м м д д д д д д д
Аналогично, рассматривая дробь 5/12 , заключаем, что в кино сходили 5 мальчиков и 12-5=7 девочек.
м м м м м д д д д д д д
Если предположить, что в группе 8 мальчиков, то, поскольку всего 16 человек, девочек тоже 8. А это означает, что в театр ходили 6+1 девочка, в кино ходили те же 6 плюс одна другая девочка. Все сходится: в группе 16 человек: 8 мальчиков и 8 девочек. Ответ: да.
б) 8 мальчиков. Это вытекает из рассуждений в пункте а) и из условия: каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр.
в) Также из пункта а) следует, что наименьшее число девочек в группе равно 7, т.е. все эти семь девочек ходили и в кино и в театр. А так как мальчиков 8, то общее количество детей равно 7+8=15. Следовательно, доля девочек от общего количества учащихся составляет 7/15 .
Ответ: а) да; б) 8; в) 7/15.
Ученики одной школы писали тест
Задача. Ученики одной школы писали тест. Результатом каждого ученика является целое неотрицательное число баллов. Ученик считается сдавшим тест, если он набрал не менее 83 баллов. Из-за того, что задания оказались слишком трудными, было принято решение всем участникам теста добавить по 5 баллов, благодаря чему количество сдавших тест увеличилось.
а) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, не сдавших тест, понизился?
б) Могло ли оказаться так, что после этого средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился?
в) Известно, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75. После добавления баллов средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест – 79. При каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация?
Решение.
а) Да, могло. Пример: пусть получены результаты теста 90, 90, 90, 78, 78, 78, 60, 60, 60.
Средний балл шести участников, не сдавших тест, равен
(78+78+78+60+60+60) : 6 = 69. После добавления всем участникам по 5 баллов результаты будут такими: 95, 95, 95, 83, 83, 83, 65, 65, 65.
Средний балл трёх участников, не сдавших тест равен (65+65+65) : 3 = 65. Как видим, средний балл участников, не сдавших тест, понизился.
б) Да, так могло быть. Вернемся к примеру, рассмотренному в пункте а). Итак, пусть получены результаты теста 90, 90, 90, 78, 78, 78, 60, 60, 60. Сдали тест всего трое учащихся.
Средний балл участников, сдавших тест равен (90+90+90) : 3 = 90.
После добавления всем участникам по 5 баллов результаты будут такими: 95, 95, 95, 83, 83, 83, 65, 65, 65. Участников, сдавших тест уже шестеро. Средний балл равен (95+95+95+83+83+83) : 6 = 89. Таким образом, средний балл участников, сдавших тест, понизился, и средний балл участников, не сдавших тест, тоже понизился.
в) Пусть первоначально было х участников, сдавших тест и у участников, не сдавших тест.
Зная, что первоначально средний балл участников теста составил 90, средний балл участников, сдавших тест, составил 100, а средний балл участников, не сдавших тест, составил 75, можно записать равенство:
90(х+у) = 100х+75у. Упростим это выражение:
90х+90у=100х+75у, отсюда 10х=15у или 2х=3у.
Затем всем участникам добавили по 5 баллов, и, возможно, это помогло р учащимся пополнить списки сдавших тест.
Тогда сдали тест (х+р) участников, а не сдавших будет (у-р) человек.
Зная, что при этом средний балл участников, сдавших тест, стал равен 103, а не сдавших тест – 79, составим равенство:
95(х+у) = 103(х+р)+79(у-р). Упрощаем это выражение.
95х+95у = 103х+103р+79у-79р;
8х+24р=16у или 2х+6р=4у. Так как 2х=3у, то 3у+6р=4у, тогда у=6р.
Так как мы выясняем, при каком наименьшем числе участников теста возможна такая ситуация, то возьмём р=1. Это будет означать, что добавление пяти баллов каждому участнику помогло лишь одному из них попасть в списки сдавших тест.
Тогда у=6 – это количество участников, не сдавших тест при первоначальном подсчёте баллов;
х = (3 ∙ 6) : 2 = 9 – это количество участников, сдавших тест при первоначальном подсчёте баллов. Вывод: х+у = 9+6 = 15 – наименьшее число участников, при которых стала возможной описанная в пункте в) ситуация.
Ответ: а) да; б) да; в) 15.
