В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точки D и E делят рёбра AC и SB в отношении 1 к 3
Задача. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точки D и E делят соответственно рёбра АС и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 3. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка О. Прямые OD и ОЕ пересекают рёбра AS и ВС в точках P и F соответственно, причём СF = 2FВ.
а) Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются.
б) Найдите отношение AP : PS.
Решение.
а) DPEF – плоский четырёхугольник, т.к. все его вершины лежат в плоскости
пересекающихся прямых OD и OF. Диагонали любого выпуклого четырёхугольника пересекаются.
б) Так как AD : DC = SE : EB = 1 : 3, то AD : АC = SE : SB = 1 : 4.
Проведём EN || BC. ΔSNE и ΔSCB подобны,
так как любой отрезок, проведённый в треугольнике параллельно любой стороне, отсекает от этого треугольника подобный ему треугольник.
Соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны:
Обозначим одну часть отрезка SС через x, тогда SN = x, SС = 4x,
следовательно, NC = SC – SN = 3x.
ΔONE и ΔOCF также подобны, так как NE || CF.
Соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны:
Обозначим одну часть отрезка ОС через y, тогда ON = 3y, OC = 8y,
следовательно, NC = OC – ON = 5y.
OS = OC – SC = 8y – 4x.
Проведём SK || CD в плоскости OCD.
Треугольники OKS и ODC подобны. Отсюда имеем
Это означает, что KS : DC = 1 : 6.
А так как AD : DC = 1 : 3, то DC = 3AD, значит, KS : (3AD) = 1 : 6.
Отсюда KS : AD = 1 : 2 или AD : KS = 2 : 1.
Так как AD || KS, то треугольники АDP и SKP подобны по двум равным углам (∠1 = ∠2 как накрест лежащие при KS || AC и секущей AS; углы при вершине Р равны как вертикальные).
Коэффициент подобия этих треугольников равен 2, (AD : KS = 2 : 1), следовательно, и AP : PS = 2 : 1.
Тогда искомое отношение AP : АS = 2 : 3.
Ответ: AP : АS = 2 : 3.
Смотрите видео решение:
В мае 2028 года планируется взять кредит на 6 лет в размере 1324 тыс. рублей
Задача. В мае 2028 года планируется взять кредит на 6 лет в размере 1324 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга; в мае 2029, 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 1324 тыс. рублей; выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны; к маю 2034 года долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат по кредиту.
Решение. Так как «в мае 2029, 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 1324 тыс. рублей», то это означает, что в первые три года ежегодно будут выплачиваться только проценты по кредиту в размере 10% от взятой в кредит суммы. За первые три года будет выплачено 3 ∙ 0,1 ∙ 1324 = 397,2 тыс. рублей.
По условию выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны. Обозначим одну такую выплату через Х. Взятую сумму кредита обозначим через S.
У нас S = 1324 тыс. рублей.
Как будут происходить выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах?
Покажем это с помощью таблицы, помним, что на конец 2031 года долг остался прежний, т.е. S тыс. рублей.
Получаем равенство:
1,1(1,1(1,1S – X) – X) – Х = 0. Раскроем скобки и упростим равенство.
1,13 ∙ S – 1,12 ∙ X – 1,1X – X = 0;
1,13 ∙ S = 1,12 ∙ X + 1,1X + X;
1,331S = 1,21X + 1,1X + X;
1,331S = 3,31X;
X = 1,331S : 3,31. Напомним, что S = 1324 тыс. рублей, тогда получаем:
X = 1,331 ∙ 1324 : 3,31;
X = 1,331 ∙ (1324 : 3,31);
X = 1,331 ∙ 400;
X = 532,4. Это ежегодный платёж банку в течение последних 3-х лет кредитования.
Следовательно, всего за 6 лет банку будет выплачено
397,2 + 3 532,4 = 397,2 + 1597,2 = 1994,4 (тыс. рублей).
Ответ: 1994400 рублей.
В июле 2029 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 910 тыс. рублей
Задача. В июле 2029 года планируется взять кредит на 5 лет в размере 910 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 910 тыс. рублей; выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны; к июлю 2034 года долг будет выплачен полностью. Найдите общую сумму выплат по кредиту.
Решение. Так как «в июле 2030 и 2031 годов долг остаётся равным 910 тыс. рублей», то это означает, что в первые два года выплачивались только проценты по кредиту в размере 20% от взятой в кредит суммы. За два года было выплачено 2 ∙ 0,2 ∙ 910 = 364 тыс. рублей.
По условию выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах равны. Обозначим одну такую выплату через Х. Взятую сумму кредита обозначим через S.
У нас S = 910 тыс. рублей.
Как будут происходить выплаты в 2032, 2033 и 2034 годах?
Покажем с помощью таблицы, помним, что на конец 2031 года долг остался прежний, т.е. S тыс. рублей.
Получаем равенство:
1,2(1,2(1,2S – X) – X) – Х = 0. Раскроем скобки и упростим равенство.
1,23 ∙ S – 1,22 ∙ X – 1,2X – X = 0;
1,23 ∙ S = 1,22 ∙ X + 1,2X + X;
1,728S = 1,44X + 1,2X + X;
1,728S = 3,64X;
X = 1,728S : 3,64. Так как S = 910 тыс. рублей, то получаем:
X = 1,728 ∙ 910 : 3,64;
X = 1,728 ∙ (910 : 3,64);
X = 1,728 ∙ 250;
X = 432. Это ежегодный платёж банку в течение последних 3-х лет кредитования.
Следовательно, всего за 5 лет банку будет выплачено
364 + 3 · 432 = 364 + 1296 = 1660 (тыс. рублей).
Ответ: 1660 тыс. рублей.
В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на сумму 1,6 млн рублей на 4 года
Задача. В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на сумму 1,6 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы: в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года; в июне 2032 года выплачивается остаток по кредиту в размере 468 тыс. рублей. Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составит 2280 тыс. рублей.
Решение.
Обозначим через Х погашаемую ежегодно часть долга в первые 3 года кредитования, т.е. Х – это одна и та же величина, на которую в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг становится меньше долга на июнь предыдущего года. Таким образом, за 3 года долг клиента банку уменьшится на 3Х тыс. рублей.
Остаток по кредиту, равный 468 тыс. рублей – это остаток долга к 2032 году плюс r% по нему. Остаток долга обозначим через Y.
Тогда Y + Y ∙ 0,01r = 468.
Отсюда Y ∙ 0,01r = 468 – Y. (*)
Через Х и Y взятая сумма кредита выразится так: 3Х + Y = 1600 тыс. рублей.
Подсчитаем проценты за всё время кредитования, учитывая, что вначале проценты будут взиматься со всей взятой суммы, а затем с суммы за вычетом Х — погашаемой части ежегодных платежей в первые 3 года.
((3Х + Y) + (2Х + Y) + (Х + Y) + Y) ∙ 0,01r;
(6X + 4Y) ∙ 0,01r тыс. рублей – вся сумма процентов за 4 года кредитования.
У нас вся сумма процентов равна 2280 – 1600 = 680 тыс. рублей.
Получаем равенство: (6X + 4Y) ∙ 0,01r = 680 или
2(3X + 2Y) ∙ 0,01r = 680. Делим обе части равенства на 2.
(3X + 2Y) ∙ 0,01r = 340
Так как 3Х + Y = 1600, то имеем:
(1600 + Y) ∙ 0,01r = 340. Раскроем скобки.
16r + Y ∙ 0,01r = 340. Смотрим (*). Получаем:
16r + 468 – Y = 340, получаем Y = 16r + 128. Мы выразили Y через r.
Подставим значение Y в равенство (*).
(16r + 128) ∙ 0,01r = 468 – (16r + 128).
Раскроем скобки и упростим это равенство.
0,16r2 + 1,28r = 468 – 16r – 128;
0,16r2 + 17,28r – 340 = 0 | : 0,16
r2 + 108r – 2125 = 0. Решаем полученное квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом.
D1 = (b/2)2 – ac = 542 – 1 ∙ (-2125) = 2916 + 2125 = 5041 = 712.
r1 = -54 – 71 – отрицательное значение, не подходит по смыслу задачи.
r2 = -54 + 71 = 17.
Ответ: 17%.
В июле 2029 года планируется взять кредит в банке на сумму 2 млн рублей на 4 года
Задача. В июле 2029 года планируется взять кредит в банке на сумму 2 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы: в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; в июле 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года; в июле 2033 года выплачивается остаток по кредиту в размере 406 тыс. рублей. Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составит 2752 тыс. рублей.
Решение.
- Обозначим через Х погашаемую ежегодно часть долга в первые 3 года кредитования, т.е. Х – это одна и та же величина, на которую в июле 2030, 2031 и 2032 годов долг становится меньше долга на июль предыдущего года. Таким образом, за 3 года долг клиента банку уменьшится на 3Х тыс. рублей.
- Остаток по кредиту, равный 406 тыс. рублей – это остаток долга к 2033 году плюс r% по нему. Остаток долга обозначим через Y.
Тогда Y + Y ∙ 0,01r = 406.
Отсюда Y ∙ 0,01r = 406 – Y. (*)
Через Х и Y взятая сумма кредита выразится так: 3Х + Y = 2000 тыс. рублей.
Подсчитаем проценты за всё время кредитования, учитывая, что вначале проценты будут взиматься со всей взятой суммы, а затем с суммы за вычетом Х — погашаемой части ежегодных платежей в первые 3 года.
((3Х + Y) + (2Х + Y) + (Х + Y) + Y) ∙ 0,01r;
(6X + 4Y) ∙ 0,01r тыс. рублей – вся сумма процентов за 4 года кредитования.
У нас вся сумма процентов равна 2752 – 2000 = 752 тыс. рублей.
Получаем равенство: (6X + 4Y) ∙ 0,01r = 752 или
2(3X + 2Y) ∙ 0,01r = 752. Делим обе части равенства на 2.
(3X + 2Y) ∙ 0,01r = 376
Так как 3Х + Y = 2000, то имеем:
(2000 + Y) ∙ 0,01r = 376. Раскроем скобки.
20r + Y ∙ 0,01r = 376. Смотрим (*). Получаем:
20r + 406 – Y = 376, oтсюда Y = 20r + 30. Мы выразили Y через r.
Подставим значение Y в равенство (*).
(20r + 30) ∙ 0,01r = 406 – (20r + 30).
Раскроем скобки и упростим это равенство.
0,2r2 + 0,3r = 406 – 20r – 30;
0,2r2 +20,3r – 376 = 0 | ∙ 10
2r2 + 203r – 3760 = 0. Решаем полученное квадратное уравнение.
D = b2 – 4ac = 2032 – 4 ∙ 2 ∙ (-3760) = 41209 + 30080 = 71289 = 2672.
r1 = (-203 – 267)/4 – отрицательное значение, не подходит по смыслу задачи.
r2 = (-203 + 267)/4 = 64/4 = 16.
Ответ: 16%.
Полезно уметь извлекать квадратные корни вручную. Как?
Смотрите видео
Предприятие планирует 1 июня 2029 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8,8 млн рублей
Задача. Предприятие планирует 1 июня 2029 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8,8 млн рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.
Вариант 1. Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2. 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2029 года долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего квартала; во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; к 1 июня 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?
Решение.
1) Рассуждаем согласно варианту 1.
Обозначим сумму кредита через S. Пусть S = 8,8 млн рублей.
1 год. Январь. Банк начислит 20%, и долг станет равным 1,2S.
Февраль-май. Предприятие делает первый платёж, равный Х млн рублей. Весь этот платёж засчитывается и долг становится равным (1,2S — Х) млн рублей.
2 год. Январь. Банк начислит 20%, и долг станет равным 1,2(1,2S — Х) млн рублей.
Февраль-май. Предприятие делает второй платёж, равный первому, т.е. Х млн рублей. И этот платёж полностью засчитывается. Долг погашен. Имеет место равенство: 1,2(1,2S — Х) — Х = 0. Решаем уравнение и находим значение Х.
1,22 ∙ S — 1,2X — X = 0 → 1,22 ∙ S = 1,2Х + Х;
1,44S = 2,2X; заменим сумму кредита S его значением:
1,44 ∙ 8,8 = 2,2Х. Отсюда Х = 1,44 ∙ 4. Получаем Х = 5,76 млн рублей.
Таким образом, за два года клиент выплатит банку
2Х = 2 ∙ 5,76 = 11,52 млн рублей.
2) Рассмотрим условия кредитования по варианту 2.
В условии сказано: «на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала», поэтому обозначим эту величину через Y млн рублей. Тогда вся сумма, взятая в кредит, равна 8Y млн рублей (год состоит из 4-х кварталов). Мы эту сумму знаем, это 8,8 млн рублей,
т.е. 8Y = 8,8 млн рублей, отсюда Y = 8,8 : 8 = 1,1 млн рублей.
Банк ежеквартально начисляет 6% на остаток долга, т.е. сначала на 8Y, через квартал на 7Y, ещё через квартал на 6Y и т.д. Подсчитаем начисленные банком проценты за все 8 кварталов кредитования.
0,06(8Y + 7Y + 6Y + 5Y + 4Y + 3Y + 2Y + Y) = 0,06 ∙ 36Y = 2,16Y млн рублей
Итак, по 2-му варианту банку нужно будет выплатить взятую сумму 8Y плюс проценты. Итого 8Y + 2,16Y = 10,16Y млн рублей.
Итак, по варианту 2 нужно будет выплатить
10,16 ∙ 1,1 = 11,176 млн рублей.
Вариант 2 более выгодный, так как платить меньше, разница в выплаченных суммах составит:
11,52 – 11,176 = 0,344 млн рублей или 344000 рублей.
Ответ: 344000 рублей.
Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей
Задача. Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.
Вариант 1. Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2. 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2027 года долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего квартала; во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; к 1 июня 2029 года кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?
Решение.
1) Рассуждаем согласно варианту 1.
Обозначим сумму кредита через S. Пусть S = 8400 тыс. рублей.
1 год. Январь. Банк начислит 10%, и долг станет равным 1,1S.
Февраль-май. Предприятие делает первый платёж, равный Х тыс. рублей. Весь этот платёж засчитывается и долг становится равным (1,1S — Х) тыс. рублей.
2 год. Январь. Банк начислит 10%, и долг станет равным 1,1(1,1S — Х) тыс. рублей.
Февраль-май. Предприятие делает второй платёж, равный первому, т.е. Х тыс. рублей. И этот платёж полностью засчитывается. Долг погашен. Имеет место равенство: 1,1(1,1S — Х) — Х = 0. Решаем уравнение и находим значение Х.
1,12 ∙ S — 1,1X — X = 0;
1,12 ∙ S = 2,1X; заменим сумму кредита S его значением:
1,21 ∙ 8400 = 2,1Х. Отсюда Х = 1,21 ∙ 8400 : 2,1. Получаем Х = 4840 тыс. рублей.
Таким образом, за два года клиент выплатит банку
2Х = 2 ∙ 4840 = 9680 тыс. рублей.
2) Рассмотрим условия кредитования по варианту 2.
В условии сказано: «на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала», поэтому обозначим эту величину через Y тысяч рублей. Тогда вся сумма, взятая в кредит, равна 8Y (год состоит из 4-х кварталов). Мы эту сумму знаем, это 8400 тысяч рублей,
т.е. 8Y = 8400 тыс. рублей, но рассуждать удобнее с использованием введённой переменной Y. Почему? Так удобнее, потому что проценты банк ежеквартально начисляет на остаток долга, т.е. сначала на 8Y, через квартал на 7Y, ещё через квартал на 6Y и т.д. Подсчитаем начисленные банком проценты за всё время кредитования, т.е. за 2 года=8 кварталов.
Это 3% от 8Y плюс 3% от 7Y плюс 3% от 6Y и т.д. Получаем:
0,03(8Y + 7Y + 6Y + 5Y + 4Y + 3Y + 2Y + Y) = 0,03 ∙ 36Y = 1,08Y.
Итак, по 2-му варианту банку нужно будет выплатить взятую сумму 8Y плюс проценты 1,08Y. Итого 9,08Y тыс. рублей.
Так как 8Y = 8400 тыс. рублей, то Y = 8400 : 8 = 1050 тыс. рублей.
Итак, по варианту 2 нужно будет выплатить
9,08 ∙ 1050 = 9534 тыс. рублей.
Вариант 1 более выгодный, так как платить меньше, разница в выплаченных суммах составит:
9680 — 9534 = 146 тыс. рублей или 146000 рублей.
Ответ: 146000 рублей.
В мае 2028 года планируется взять кредит в банке на сумму 1500 тыс. рублей на 10 лет
Задача. В мае 2028 года планируется взять кредит в банке на сумму 1500 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы: каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 22% по сравнению с концом предыдущего года; каждый январь с 2034 по 2038 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; в июне каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июнь предыдущего года; к июню 2038 года кредит должен быть полностью погашен. На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2033 года?
Решение. Определим эту одну и ту же сумму, на которую долг каждый июнь будет становиться меньше долга на июнь предыдущего года.
Эту сумму определяет банк, разделив все деньги, взятые в кредит на число лет кредитования:
1500 : 10 = 150 (тыс. рублей).
Итак, каждый июнь банк погашает клиенту долг на 150 тысяч рублей вне зависимости от всей выплаченной в этот год суммы денег. Обозначим эти 150 тысяч рублей через Х.
Тогда 10Х – это сумма, взятая в кредит.
Сравниваем выплаты клиента банку в 2033 и 2038 годах. В чём же разница? Только в сумме процентов. Считаем:
6Х ∙ 0,22 – Х ∙ 0,18 = 1,32Х – 0,18Х = 1,14Х.
Так как Х = 150 тыс. рублей, то 1,14 ∙ 150 = 171 тыс. рублей.
Ответ: на 171 тыс. рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2033 года.
В мае 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тыс. рублей на 8 лет
Задача. В мае 2027 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тыс. рублей на 8 лет. Условия его возврата таковы: в январе 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 17% по сравнению с концом предыдущего года; в январе 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга; в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года; к маю 2035 года кредит должен быть полностью погашен. На сколько рублей последняя выплата будет меньше выплаты 2030 года?
Решение. Что значит: «в мае каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на май предыдущего года»? На какую такую величину? А эту величину банк определяет просто: делит сумму кредита на количество лет кредитования.
В нашем случае: 1400 : 8 = 175 тыс. рублей.
Именно на эту сумму ежегодно уменьшается взятая в долг сумма. Заметим, что клиент будет ежегодно выплачивать вместе с этой суммой и проценты на остаток долга! Мы обозначим эту сумму через Х для удобства рассуждений.
Итак, 1400 тыс. рублей – это 8Х. Банк ежегодно начисляет проценты на оставшуюся сумму долга после погашения Х тыс. рублей.
Впервые проценты насчитают на 8Х = 1400 тыс. рублей (на 2028 год), затем на 7Х тыс. рублей (2029 год), на 6Х тыс. рублей в интересующем нас 2030 году.
Итого выплата в 2030 году составит Х + 6Х ∙ 0,17 = (Х + 1,02Х) тыс. рублей.
Последняя выплата в 2035 году составит Х плюс 14% от этой суммы, т.е.
(Х + 0,14Х) тыс. рублей.
Разница (Х + 1,02Х) – (Х + 0,14Х) = 1,02Х – 0,14Х = 0,88Х. Вы поняли? Разница в выплатах равна разнице в сумме начисленных процентов.
А так как Х = 175 тыс. рублей, то искомая разница между выплатой 2030 года и выплатой 2035 года равна
175 ∙ 0,88 = 154 тыс. рублей.
Ответ: 154 тысячи рублей.
Задания на векторы в 1 части профильного ЕГЭ по математике
Задача. Даны векторы \( \vec{a}\ \)(2; 3) и \( \vec{b}\ \)(-3; b0). Найдите b0, если |\( \vec{b}\ \)| = 1,5|\( \vec{a}\ \)|. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
Решение.
Модуль вектора \( \vec{a}\ \)(а1; а2) равен квадратному корню из суммы квадратов его координат:
\( | \vec{a}|=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2}\ \);
\( | \vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2}\ \); \( | \vec{a}|=\sqrt{13}\ \).
Найдём модуль вектора \( \vec{b}\ \)(-3; b0).
\( | \vec{b}|=\sqrt{(-3)^2+(b_0)^2}\ \);
\( | \vec{b}|=\sqrt{9+(b_0)^2}\ \).
По условию |\( \vec{b}\ \)| = 1,5|\( \vec{a}\ \)|. Возведём обе части равенства в квадрат.
Получаем b2 = 2,25a2.
9 + (b0)2 = 2,25 ∙ 13;
9 + (b0)2 = 29,25;
(b0)2 = 20,25;
b0 = ±4,5.
В ответе требуется записать меньшее из значений b0.
Ответ: -4,5.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}\ \)(4; -1) и \( \vec{b}\ \)(b0; 8). Найдите b0, если |\( \vec{b}\ \)| = 2,5|\( \vec{a}\ \)|. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.
Решение.
Найдём модуль вектора \( \vec{a}\ \)(4; -1).
\( | \vec{a}|=\sqrt{4^2+(-1)^2}\ \);
\( | \vec{a}|=\sqrt{17}\ \).
Найдём модуль вектора \( \vec{b}\ \)(b0; 8).
\( | \vec{b}|=\sqrt{(b_0)^2+8^2}\ \);
\( | \vec{b}|=\sqrt{(b_0)^2+64}\ \);
По условию |\( \vec{b}\ \)| = 2,5|\( \vec{a}\ \)|. Возведём обе части равенства в квадрат.
Получаем b2 = 6,25a2.
(b0)2 + 64 = 6,25 ∙ 17;
(b0)2 + 64 = 106,25;
(b0)2 = 42,25;
b0 = ±6,5.
В ответе требуется записать большее из значений b0.
Ответ: 6,5.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(-1; 3)\ \), \( \vec{b}(4; 1)\ \), \( \vec{c}(2; c_0)\ \). Найдите с0, если \( ( \vec{a}+\vec{b})\: \cdot \: \vec{c} =0\ \).
Решение.
Скалярное произведение векторов равно сумме произведение соответственных координат этих векторов.
3 ∙ 2 + 4 ∙ с0 = 0;
с0 = -6 : 4;
с0 = -1,5.
Ответ: -1,5.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(3; -1)\ \), \( \vec{b}(2; 0)\ \), \( \vec{c}(4; c_0)\ \). Найдите с0, если \( ( \vec{a}- \vec{b})\: \cdot \: \vec{c} =0\ \).
Решение аналогично решению предыдущей задачи.
1 ∙ 4 + (-1) ∙ с0 = 0;
-с0 = -4;
с0 = 4.
Ответ: 4.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(-2; 4)\ \)и \( \vec{b}(2; -1)\ \). Известно, что векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и \( \vec{b}\ \) сонаправленные, а \( | \vec{c}|=| \vec{a}|\ \). Найдите хс+ус.
Решение.
Так как длина вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)вдвое больше длины вектора \( \vec{b}\ \), а векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и \( \vec{b}\ \) сонаправлены, то и координаты вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \) больше координат вектора \( \vec{b}\ \) в два раза.
Получаем хс = 2 ∙ 2 = 4 и ус = -1 ∙ 2 = -2.
Тогда хс + ус = 4 + (-2) = 2.
Ответ: 2.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(4; -6)\ \)и \( \vec{b}(-2; 3)\ \). Известно, что \( | \vec{c}|=| \vec{a}|\ \), а векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и \( \vec{b}\ \) противоположно направленные. Найдите хс+ус.
Решение аналогично решению предыдущей задачи.
Длина вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)вдвое больше длины вектора \( \vec{b}\ \), а векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и \( \vec{b}\ \), по условию, противоположно направлены, следовательно отношение координат вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \) к соответственным координатам вектора \( \vec{b}\ \) равно (-2).
Получаем хс = -2 ∙ (-2) = 4 и ус = -2 ∙ 3 = -6.
Тогда хс + ус = 4 + (-6) = -2.
Ответ: -2.
Каждую из двух предыдущих задач можно решить быстро и легко графическим способом.
Смотрите видео.
Задача. На координатной плоскости (рис.1) изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите координаты вектора \( \vec{c}\ \), если \( \vec{c}=0,5 \vec{b}- \vec{a}\ \). В ответ запишите сумму координат вектора \( \vec{c}\ \).
Решение.
Определим координаты данных векторов.
Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.
Смотрим рис. 2.
А1(1; 2) и А2(-5; 6); В1(5; -4) и В2(2; 4). Тогда
Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
По условию \( \vec{c}=0,5 \vec{b}- \vec{a}\ \). Следовательно,
Таким образом, сумма координат вектора \( \vec{c}\ \) равна 4,5.
Ответ: 4,5.
Задача. На координатной плоскости (рис.3) изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите координаты вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \), если \( \vec{c}=\vec{a}-1,5 \vec{b}\ \).
В ответ запишите произведение хс ∙ ус.
Решение аналогично решению предыдущей задачи.
Определим координаты данных векторов.
Смотрим рис. 4.
А1(-7; -1) и А2(5; 5); В1(2; -4) и В2(-6; 3). Тогда
По условию \( \vec{c}=\vec{a}-1,5 \vec{b}\ \). Следовательно,
Таким образом, искомое произведение координат вектора \( \vec{c}\ \)
хс ∙ ус = 24 ∙ (- 4,5) = -108.
Ответ: -108.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(4; y_a)\ \)и \( \vec{b}(x_b; 0)\ \), косинус угла между которыми равен \( \frac{2}{\sqrt{5}}\ \). Найдите уа. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.
Решение.
Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними.
В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов
\( \vec{a}(x_1; y_1)\ \)и \( \vec{b}(x_2; y_2)\ \) выражается формулой
\( \vec{a} \cdot \vec{b} =x_1x_2+y_1y_2\ \)
Получаем равенство:
Возведём обе части равенства в квадрат:
20 ∙ (xb)2 = (16 + (ya)2) ∙ (xb)2; делим на (xb)2 обе части равенства:
20 = 16 + (уа)2;
(уа)2 = 4;
уа = ±2.
Большее из этих значений уа = 2.
Ответ: 2.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(x_a; -2)\ \)и \( \vec{b}(0; y_b)\ \), косинус угла между которыми равен \( -\sqrt{0,2}\ \). Найдите xа. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.
Решение аналогично решению предыдущей задачи.
Составим равенство на основании формулы:
Разделим обе части равенства на (-0,2).
Возведём обе части равенства в квадрат:
20 ∙ (уb)2 = ((хa)2 + 4) ∙ (уb)2; делим на (уb)2 обе части равенства:
20 = (ха)2 + 4;
(ха)2 = 16;
ха = ±4.
Меньшее из этих значений ха = -4.
Ответ: -4.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(14; -2)\ \)и \( \vec{b}(-7; -1)\ \). Найдите cosα, где α – угол между векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).
Решение.
Найдём модули данных векторов.
Получаем:
14 ∙ (-7) + (-2) ∙ (-1) = 10 ∙ 5 ∙ cosα;
-98 + 2 = 100 ∙ cosα, отсюда cosα = -0,96.
Ответ: -0,96.
Задача. Даны векторы \( \vec{a}(-6; 2)\ \)и \( \vec{b}(9; 13)\ \). Найдите косинус угла между
векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).
Решение аналогично решению предыдущей задачи.
Находим модули данных векторов.
Получаем:
-6 ∙ 9 + 2 ∙ 13 = 2 ∙ 5 ∙ cosα;
-54 + 26 = 100 ∙ cosα;
-54 + 26 = 100 ∙ cosα;
-28 = 100 ∙ cosα;
отсюда cosα = -0,28.
Ответ: -0,28.
