В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на сумму 1,6 млн рублей на 4 года

Задача. В июне 2028 года планируется взять кредит в банке на сумму 1,6 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы: в январе каждого года долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июнь предыдущего года; в июне 2032 года выплачивается остаток по кредиту в размере 468 тыс. рублей. Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составит 2280 тыс. рублей.

Решение.

Обозначим через Х погашаемую ежегодно часть долга в первые 3 года кредитования, т.е. Х – это одна и та же величина, на которую в июне 2029, 2030 и 2031 годов долг становится меньше долга на июнь предыдущего года. Таким образом, за 3 года долг клиента банку уменьшится на 3Х тыс. рублей.

Остаток по кредиту, равный 468 тыс. рублей – это остаток долга к 2032 году плюс r% по нему. Остаток долга обозначим через Y.

Тогда Y + Y ∙ 0,01r = 468.

Отсюда Y ∙ 0,01r = 468 – Y. (*)

Через Х и Y взятая сумма кредита выразится так: 3Х + Y = 1600 тыс. рублей.

Подсчитаем проценты за всё время кредитования, учитывая, что вначале проценты будут взиматься со всей взятой суммы, а затем с суммы за вычетом Х — погашаемой части ежегодных платежей в первые 3 года.

((3Х + Y) + (2Х + Y) + (Х + Y) + Y) ∙ 0,01r;

(6X + 4Y) ∙ 0,01r тыс. рублей – вся сумма процентов за 4 года кредитования.

У нас вся сумма процентов равна 2280 – 1600 = 680 тыс. рублей.

Получаем равенство: (6X + 4Y) ∙ 0,01r = 680 или

2(3X + 2Y) ∙ 0,01r = 680. Делим обе части равенства на 2.

(3X + 2Y) ∙ 0,01r = 340

Так как 3Х + Y = 1600, то имеем:

(1600 + Y) ∙ 0,01r = 340. Раскроем скобки.

16r + Y ∙ 0,01r = 340. Смотрим (*). Получаем:

16r + 468 – Y = 340, получаем Y = 16r + 128. Мы выразили Y через r.

Подставим значение Y в равенство (*).

(16r + 128) ∙ 0,01r = 468 – (16r + 128).

Раскроем скобки и упростим это равенство.

0,16r² + 1,28r = 468 – 16r – 128;

0,16r² + 17,28r – 340 = 0  | : 0,16

r² + 108r – 2125 = 0. Решаем полученное квадратное уравнение с чётным вторым коэффициентом.

D₁ = (b/2)² – ac = 54² – 1 ∙ (-2125) = 2916 + 2125 = 5041 = 71².

r₁ = -54 – 71 – отрицательное значение, не подходит по смыслу задачи.

r₂ = -54 + 71 = 17.

Ответ: 17%.