В правильной треугольной призме на рёбрах АС и ВС отмечены соответствующие точки M и N
Задача.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответствующие точки M и N так, что AM : MC = CN : BN = 2 : 1,
точка К – середина ребра А1С1.
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину В1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ = 6, АА1 = 2,4.
Решение.
а) В основании призмы лежит равносторонний треугольник АВС. Обозначим его сторону через а. Смотрите рис. 1.
Тогда АМ = 2а/3, МС = а/3 и
CN = 2а/3, BN = а/3.
А1К = КС1 = а/2.
Проведём MN и КМ. Это линии пересечения плоскости MNK с нижним основанием призмы и боковой гранью АА1С1С соответственно.
Проведём KF Ʇ AC, тогда AF = FC = a/2. А так как МС = а/3, то
MF = FC-MC = a/2-a/3 = a/6
Проведём В1K и BF.
Четырёхугольник BFKB1 является прямоугольником, отсюда В1K = BF.
В равностороннем треугольнике АВС медиана BF является и высотой.
Таким образом, BF Ʇ AC.
Имеем: MC : FC = a/3 : a/2 = 2 : 3 и CN : BC = 2a/3 : a = 2 : 3.
Треугольники MCN и FCB подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу С между ними. Соответственные углы подобных треугольников равны, поэтому прямые MN и BF параллельны по признаку параллельности прямых. Но BF и В1К параллельны, как противоположные стороны прямоугольника BFKB1, следовательно, параллельны и прямые MN и В1K.
Итак, плоскость MNK пересекает параллельные плоскости нижнего и верхнего основания по параллельным прямым MN и В1K, а так как через точку К можно провести единственную прямую параллельную данной, то очевидно, что плоскость MNK проходит через вершину В1, ч.т.д. Четырёхугольник MNB1K – плоскость сечения данной призмы.
б) Способ 1 (традиционный). Мы доказали, что прямые MN и BF параллельны,
а так как BF Ʇ АС, то и MN Ʇ АС. Для того, чтобы найти расстояние от точки С до плоскости KMN, определим плоскость, проходящую через точку С и перпендикулярную плоскости KMN. Проведём СК и рассмотрим плоскость МСК. Смотрите рис. 2.
На основании теоремы о трёх перпендикулярах MN Ʇ KM (MN – прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной КМ, перпендикулярно её проекции FM).
Итак, MN Ʇ KM и MN Ʇ MC, следовательно, MN Ʇ (MCK). Плоскость MNK проходит через прямую MN, перпендикулярную плоскости MСK, а потому будет перпендикулярна плоскости MCK. Так как плоскость МСК перпендикулярна плоскости MNK и пересекает её по прямой МК, то расстоянием от точки С до плоскости KMN будет длина перпендикуляра, проведённого из точки С к прямой МК.
Треугольник МСК тупоугольный (угол СМК тупой, так как является смежным с острым углом KMF), поэтому точка Т — основание перпендикуляра СТ будет лежать на продолжении стороны МК треугольника МСК. Обозначим угол СМТ через α. Тогда и угол KMF равен α (вертикальные углы равны). В прямоугольном треугольнике СТM катет СТ = МС ∙ sinα,
где sinα = KF/MK из прямоугольного треугольника KFM.
По условию АВ = а = 6 и АА1 = 2,4.
Тогда МС = а/3 = 2; MF = a/6 = 1; KF = АА1 = 2,4.
Из прямоугольного треугольника KFM по теореме Пифагора
MK2 = MF2 + KF2 = 12 + 2,42 = 1 + 5,76 = 6,76. Отсюда MK = 2,6.
Получаем sinα = KF/MK = 2,4 : 2,6 = 12/13.
Искомый отрезок СТ = МС ∙ sinα = 2 ∙ 12/13 = 24/13. Это и есть расстояние от точки С до плоскости KMN.
Примечание. СТ можно было найти и без применения тригонометрии. Из подобия прямоугольных треугольников KFM и СТМ по острому углу α справедливо равенство
KF : CT = KM : MC, из которого и находим СТ.
Ответ: 24/13.
б) Способ 2 (метод координат в пространстве).
Решение.
Введём систему координат, считая точку F началом координат, a отрезки FC, FB и FK, лежащими соответственно на осях абсцисс, ординат и аппликат.
Смотрите рис. 3.
Точка М имеет координаты (1; 0; 0), так как MF = a/6 = 6 : 6 = 1.
Точка К имеет координаты (0; 0; 2,4), так как KF = АА1 = 2,4.
Точка С имеет координаты (3; 0; 0), так как FC = a/2 = 6 : 2 = 3.
Плоскость KMN параллельна оси Оу и отсекает от оси Ох отрезок равный 1, а от оси Оz отрезок, равный 2,4. Следовательно, плоскость KMN задаётся уравнением
которое равносильно уравнению 2,4x + z = 2,4 или 2,4x + z -2,4 = 0.
Требуется найти расстояние от точки С(3; 0; 0) до плоскости 2,4x + z -2,4 = 0.
Расстояние h от точки с координатами (xo; yo; zo)
до плоскости ax + by + cz + d = 0 определяется по формуле:
У нас х0 = 3, у0 = z0 = 0; а = 2,4; b = 0, c = 1, d = -2,4.
Тогда искомое расстояние от точки С до плоскости KMN:
Ответ: 24/13.
В правильной треугольной пирамиде МАВС
Задача. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ-точка L. Известно, что АD=АE=LМ=4.
а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Решение.
Высота данной правильной пирамиды проектируется в центр правильного треугольника АВС – точку пересечения медиан (высот и биссектрис). Обозначим эту точку через О. Мы знаем, что эта точка (пересечения медиан) делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, поэтому АО : ОЕ = 2 : 1, что равнозначно отношению АО : АF = 2 : 3. Проводим отрезки DE, DL и LE.
а) Так как DE отсекает от сторон АС и АВ равностороннего треугольника АВС отрезки по 4 см, то ∆ AED ∾ ∆ ABC по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, ведь AD : AC = 2 : 3 (на самом деле, 4 : 6 = 2 : 3) и AE : AB = 2 : 3, и общему углу ВАС. Отсюда следует, что ∆AED тоже равносторонний и сторона его DE=AD=AE=4.
Соответствующие медианы подобных треугольников∆ AED и ∆ ABC тоже относятся как 2 : 3, а это и означает, что точка О лежит на отрезке DE.
б) Найдем площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L, иначе говоря, найдем площадь треугольника DEL. Проведем LO. В равнобедренном треугольнике DEL медиана LO является и высотой.
Мы знаем только, что DE= 4. Потребуется найти LO.
Проведем LK⟘AF. Прямоугольные треугольники AKL и AOM подобны по общему углу МАО. Справедливо равенство:
Итак, нам лишь потребуется найти МО-высоту пирамиды, которая является катетом в прямоугольном треугольнике АОМ.
Найдем АО, как радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, по формуле:
Из треугольника АОМ по теореме Пифагора:
Значение ОК найдем как разность отрезков АО и АК.
Значение АК найдем также из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.
Из прямоугольного треугольника OКL по теореме Пифагора найдем LO.
Радиус основания конуса с вершиной Р
Задача. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.
Решение.
а) Пусть дан конус с осевым сечением РАС и высотой РО. Радиус основания конуса ОА=6, образующая PA=9. Через точки А, В и Р проведено сечение. Это ∆АВР. Так как точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5, то дуга АВ составляет 1/6 часть длины окружности (всего 1+5=6 частей), и поэтому, центральный угол, соответствующий дуге АВ также составляет 1/6 часть угловой меры окружности.
Получается, что треугольник АОВ-равносторонний, и АВ=ОВ=ОА=6.
б) Проведем ОМ⟘АВ. Точка М-середина хорды АВ (радиус, перпендикулярный хорде делит её и стягиваемую ею дугу пополам).
Таким образом, АМ=ВМ=АВ : 2 = 6 : 2 = 3.
В равнобедренном треугольнике АВР с основанием АВ медиана РМ является и высотой. Площадь треугольника АВР равна половине произведения АВ на высоту треугольника РМ.
РМ-катет в прямоугольном ∆АМР. По теореме Пифагора:
РМ2 = РА2 -АМ2 = 92— 32 = 81- 27 = 72, отсюда
Искомая площадь сечения конуса плоскостью АВР:
В треугольной пирамиде МАВС основанием является
Задача. В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 5. На ребре Ас находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ -точка L. Известно, что AD=AL=2 и ВЕ=1.
а) Постройте сечение пирамиды LAED плоскостью, проходящей через точку L и перпендикулярное ребру DE.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Решение.
В пирамиде МАВС ребро МВ является высотой. Основание АВС – правильный треугольник со стороной 3.
По условию ребро АМ=5, AD=AL=2 и ВЕ=1. Тогда АЕ=АВ-ВЕ=3-1=2.
В прямоугольном треугольнике АВМ гипотенуза АМ=5, катет АВ=3, тогда катет МB=4 (египетский треугольник, т.е. треугольник со сторонами 3, 4 и 5).
а) Построим сечение пирамиды LAED плоскостью проходящей через точку L и перпендикулярное ребру DE.
Заметим, что основание этой этой пирамиды ADE-равносторонний треугольник со стороной 2. На самом деле: отрезок DE отсекает от каждой из сторон АС и АЕ отрезки по 2 см.
Следовательно, ∆ADE∾∆ACB по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Поэтому ∆ADE также является равносторонним со стороной 2.
Построение сечения: проведем LF⟘AB. Так как LF лежит в грани МАВ, перпендикулярной основанию АВС, то LF является высотой пирамиды LAED.
Из точки F опустим перпендикуляр FK на ребро DE, и точку К соединим с точкой L. По ТТП (теореме о трех перпендикулярах) LK⟘DE (LK-наклонная к плоскости ADE, KF-её проекция, DE-прямая на плоскости, проведенная через основание наклонной перпендикулярно её проекции).
Так как DE⟘ FK и DE⟘ LK, то DE перпендикулярно плоскости LFK.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Таким образом, LFK-сечение пирамиды LAED плоскостью, проходящей через точку L перпендикулярно DЕ.
б) Найдем площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L, т.е. площадь треугольника DEL, которая будет равна половине произведения стороны DE на высоту LK, проведенную к этой стороне.
Так как LK-гипотенуза в прямоугольном треугольнике LFK, то потребуется найти катеты LF и FK.
∆ ABM ∾ ∆ AFL, как прямоугольные треугольники, имеющие один общий острый угол А. Отсюда
Из прямоугольного ∆AFL по теореме Пифагора находим:
Мы уже установили, что треугольник ADE, подобный треугольнику АВС, является равносторонним. Все углы равностороннего треугольника равны 60°. Из прямоугольного треугольника EKF следует:
Искомая площадь сечения:
Радиус основания конуса с вершиной
Задача. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:3.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.
Решение.
а) Сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р – это равнобедренный ∆АРВ, основание которого сторона АВ – хорда окружности, стягивающая дугу 90°. А почему? На самом деле, так как по условию, точки А и В делят окружность на две дуги, отношение которых 1 : 3, то меньшая дуга будет равна одной четвёртой части от 360°- градусной меры всей окружности.
Далее, имеем треугольник АОВ — прямоугольный равнобедренный с катетом АО=6 (радиус основания конуса). Тогда
Проведем радиус, перпендикулярный хорде, который пересечет хорду в точке К.
ОК – медиана прямоугольного равнобедренного треугольника АОВ, поэтому,
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
б) Площадь сечения конуса плоскостью АВР -это площадь треугольника АВР, которую найдем как половину произведения его стороны АВ на высоту РК, проведенную к этой стороне.
где РК-медиана, а потому и высота равнобедренного треугольника АВР. Из прямоугольного треугольника АКР по теореме Пифагора:
В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС
Задача. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что СD=ВE=LА=2.
а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.
Решение.
а) В равностороннем треугольнике АВС, CD=BE=2 по условию, следовательно,
AD=AE=4. Треугольники ADE и ABC подобны по общему углу ВАС и соответственно пропорциональным сторонам этого угла:
Соответственные высоты этих подобных треугольников относятся друг к другу так же, т.е. АО : AF = 2 : 3.
Это означает, что точка О – середина отрезка DE, делит отрезок AF в отношении 2 : 1, считая от вершины. Следовательно, точка О является точкой пересечения медиан правильного треугольника АВС, т.е. центром основания пирамиды. Мы доказали, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.
б) Проведем отрезки LE и LD.
∆ DEL — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Требуется найти площадь этого сечения, т.е. площадь треугольника DEL. Проведем отрезок LO, этот отрезок является медианой, а, значит, и высотой равнобедренного треугольника DEL. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Проведем LK ⟘АО и получим прямоугольный ∆ LOK, из которого можно будет найти LO. Также потребуется найти DE.
Нам нужно найти и LK и OK.
Значение LK найдем из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.
Итак, нам лишь потребуется найти МО – высоту пирамиды, которая является катетом в прямоугольном треугольнике АОМ.
Найдем АО, как радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, по формуле:
Из треугольника АОМ по теореме Пифагора:
Значение ОК найдем как разность отрезков АО и АК.
Значение АК найдем также из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.
Из прямоугольного треугольника LOК по теореме Пифагора найдем LO.
Осталось найти DE. Из подобия треугольников АВС и AED следует, что
Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6
Задача. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 7. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р.
б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.
Решение.
Дан конус с осевым сечением РАС и высотой РО. Радиус основания АО=6, длина образующей АР=7. Длина дуги АВ относится к длине дуги АСВ как 1 : 2, т.е. дуга АВ составляет треть длины окружности .
а) Сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р представляет собой равнобедренный треугольник РАВ с основанием АВ. Хорда АВ видна из центра основания конуса (точки О) под углом 120° (третья часть от 360°).
б) Нам нужно найти площадь ∆РАВ. Проведем из точки О радиус, перпендикулярный хорде АВ. Он пересечет хорду в точке К, которая разделит пополам хорду АВ (радиус, перпендикулярный хорде,делит её и стягиваемую ею дугу пополам). Так как в равнобедренном треугольнике АОВ отрезок ОК-медиана, высота и биссектриса, то ∠ВОК = 120° : 2 = 60°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ОКВ.
Проведем РК. Это медиана и высота в равнобедренном треугольнике РАВ.
Искомую площадь сечения (площадь ∆РАВ) найдем как половину произведения стороны АВ на высоту РК, проведенную к этой стороне. РК найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АКР. У нас гипотенуза АР=7, катет
В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 3
Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 3.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки D, А1 и B1.
б) Найдите расстояние от точки D до прямой А1B1.
Решение. a) Сечение проходит через ребро A1B1 верхнего основания и точку D нижнего основания. Так как основания призмы параллельны, то линии пересечения их плоскостью DA1B1 также параллельны, т.е. плоскость DA1B1 пересечет нижнее основание по прямой DE, параллельной ребру А1В1. Найдем еще одну точку пересечения секущей плоскости с плоскостью грани ВВ1С1С. Для этого находим точку пересечения прямых ВС и DE. Получаем точку К. Следовательно, грань ВВ1С1С пересекается с секущей плоскостью в точках В1 и М, которая будет лежать на ребре СС1. У секущей плоскости имеются две общие точки с гранью СС1D1D — это точки M и D, поэтому прямая пересечения MD.
Аналогично, находим еще одну общую точку грани АА1F1F с секущей плоскостью. Для этого продолжаем AF и DE до пересечения в точке Р. Проводим A1P, которая пересечет ребро FF1 в точке N. Соединим точки N и E.
NE — это линия пересечения секущей плоскости с гранью FF1E1E.
Сечение представляет собой шестиугольник A1B1MDEN.
б) Расстояние от точки D до прямой A1B1 — это расстояние между параллельными сторонами шестиугольника A1B1MDEN – рёбрами А1В1 и DE. Проведем B1D и BD.
Так как малая диагональ BD правильного шестиугольника ABCDEF образует с его стороной DE прямой угол, то на основании ТТП (теоремы о трёх перпендикулярах)
DE ⟘ B1D (B1D-наклонная, BD- её проекция, DE-прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной).
Это означает, что отрезок В1D и есть расстояние между параллельными рёбрами А1В1 и DE.
В прямоугольном треугольнике В1ВD гипотенузу В1D найдем по теореме Пифагора.
Нам известен катет ВВ1, а второй катет BD найдем по теореме косинусов из равнобедренного треугольника ВСD:
BD2 = BC2 + CD2-2 ∙ BC ∙ CD ∙ cos120°;
BD2 = 32 + 32 -2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ (-cos60°);
BD2 = 9 + 9-2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ (-0,5);
BD2 = 9 + 9 + 9 = 27.
Теперь из прямоугольного треугольника В1ВD по теореме Пифагора:
B1D2 = B1B2 + BD2 = 32 + 27 = 9+27 = 36. Отсюда В1D = 6.
Ответ: 6.
Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13
Задача. Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13.
а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.
Решение.
Плоскость сечения, параллельная основанию цилиндра представляет собой прямоугольник AA1C1C, площадь которого S = AC ∙ AA1.
Так как по условию Sсеч. = 72
и АА1 = 3, то АС = 72 : 3 = 24.
Заметим, что хорда AC немногим меньше диаметра основания цилиндра (АВ = 2R = 2 ∙ 13 = 26).
Так как плоскость АА1С параллельна оси цилиндра ОО1, то расстояние до нее от точки О — длина перпендикуляра, проведенного из точки О к АС.
Проведем радиус ON перпендикулярно хорде AC.
Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее и стягиваемую ею дугу пополам.
Точка K — середина AC, поэтому АК = АС : 2 = 24 : 2 = 12.
OK – искомый отрезок.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АКО. По теореме Пифагора:
ОК2 = АО2 – АК2 = 132 – 122 =169 – 144 = 25, отсюда ОК = 5.
Это и есть расстояние от плоского сечения до центра основания цилиндра.
Ответ: 5.
В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 2
Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 2.
а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки В, А1 и F1.
б) Найдите расстояние от точки В до прямой А1F1.
а) Верхнее основание плоскость BA1F1 пересекает по прямой A1F1. С нижним основанием секущая плоскость имеет общую точку В. Плоскость пересекает параллельные плоскости A1B1C1D1E1F1 и ABCDEF по параллельным прямым, следовательно, так как BE параллельна AF, то параллельна A1F1 и является прямой пересечения плоскости BA1F1 с нижним основанием призмы. Соединим A1 и B; F1 и E.
Трапеция A1BEF1 – сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, A1 и F1.
Так как A1B и EF1 – диагонали равных квадратов, то мы имеем равнобокую трапецию, в которой расстояние от B до A1F1 является расстоянием между основаниями трапеции, т.е. является высотой трапеции. Рассмотрим трапецию A1BEF1.
A1F1 = 2 (все ребра призмы по 2); BE = 4;
Это диагональ квадрата со стороной 2. Проведем F1H⟘BE – высоту трапеции. Отрезок ЕН=(4-2) : 2=1.
Из прямоугольного ∆ EHF1 по теореме Пифагора:
