Геометрия 10-11

Стереометрия 10 класс

Задача. Основание пирамиды SABC — равносторонний треугольник АВС. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания, точки М и N — середины рёбер ВС и АВ соответственно, причём SN=AM. а) Докажите, что угол между прямыми  АМ и SN равен 60°. б) Найдите расстояние между этими прямыми, если ВС равно три корня из двух.

Задача. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec{a}\ \), \( \vec{b}\ \) и \( \vec{c}\ \). Найдите  длину вектора \( \vec{a}\ \)+\( \vec{b}\ \) +\( \vec{c}\ \).

Задача. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec{a}\ \) и \( \vec{b}\ \). Найдите cosα, где α – угол между векторами \( \vec{a}\ \) и \( \vec{b}\ \).

Как найти скалярное произведение векторов (10 задач)

Задания на векторы в 1 части профильного ЕГЭ по математике (12 задач)

Стереометрия 11 класс

Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 1. Точка F-середина ребра SВ, G-середина ребра SC. а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABG и GDF. б) Найдите угол между плоскостями ABG и GDF.

Задача. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что СD=ВE=LА=2. а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Задача. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ-точка L. Известно, что АD=АE=LМ=4. а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Задача. В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 5. На ребре Ас находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ-точка L. Известно, что AD=AL=2 и ВЕ=1. а) Постройте сечение пирамиды LAED плоскостью, проходящей через точку L и перпендикулярное ребру DE. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 2. а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки В, А₁ и F₁. б) Найдите расстояние от точки В до прямой А₁F₁.

Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 3. а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки D, А₁ и B₁. б) Найдите расстояние от точки D до прямой А₁B₁.

Задача. В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ на рёбрах АС и ВС отмечены соответствующие точки M и N так, что AM : MC = CN : BN = 2 : 1, точка К – середина ребра А₁С₁. а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину В₁. б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ = 6, АА₁ = 2,4.

Задача. Высота цилиндра равна 3, а радиус основания равен 13. а) Постройте сечение цилиндра плоскостью, проходящей параллельно оси цилиндра, так, чтобы площадь этого сечения равнялась 72. б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания цилиндра.

Задача. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 7. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2. а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р. б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

Задача. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:3. а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р. б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

Задача. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5. а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р. б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.