Предприятие планирует 1 июня 2029 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8,8 млн рублей

Задача. Предприятие планирует 1 июня 2029 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8,8 млн рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.

Вариант 1. Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.

Вариант 2. 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2029 года долг возрастает на 6% по сравнению с концом предыдущего квартала; во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; к 1 июня 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?

Решение.

1) Рассуждаем согласно варианту 1.

Обозначим сумму кредита через S. Пусть S = 8,8 млн рублей.

1 год. Январь. Банк начислит 20%, и долг станет равным 1,2S.

Февраль-май. Предприятие делает первый платёж, равный Х млн рублей. Весь этот платёж засчитывается и долг становится равным (1,2S — Х) млн рублей.

2 год. Январь. Банк начислит 20%, и долг станет равным 1,2(1,2S — Х) млн рублей.

Февраль-май. Предприятие делает второй платёж, равный первому, т.е. Х млн рублей. И этот платёж полностью засчитывается. Долг погашен. Имеет место равенство: 1,2(1,2S — Х) — Х = 0. Решаем уравнение и находим значение Х.

1,2² ∙ S — 1,2X — X = 0    →   1,2² ∙ S = 1,2Х + Х;

1,44S = 2,2X; заменим сумму кредита S его значением:

1,44 ∙ 8,8 = 2,2Х. Отсюда Х = 1,44 ∙ 4. Получаем Х = 5,76 млн рублей.

Таким образом, за два года клиент выплатит банку

2Х = 2 ∙ 5,76 = 11,52 млн рублей.

2) Рассмотрим условия кредитования по варианту 2.

В условии сказано: «на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала», поэтому обозначим эту величину через Y млн рублей. Тогда вся сумма, взятая в кредит, равна 8Y млн рублей (год состоит из 4-х кварталов). Мы эту сумму знаем, это 8,8 млн рублей,

т.е. 8Y = 8,8 млн рублей, отсюда Y = 8,8 : 8 = 1,1 млн рублей.

Банк ежеквартально начисляет 6% на остаток долга, т.е. сначала на 8Y, через квартал на 7Y, ещё через квартал на 6Y и т.д. Подсчитаем начисленные банком проценты за все 8 кварталов кредитования.

0,06(8Y + 7Y + 6Y + 5Y + 4Y + 3Y + 2Y + Y) = 0,06 ∙ 36Y = 2,16Y млн рублей

Итак, по 2-му варианту банку нужно будет выплатить взятую сумму 8Y плюс проценты. Итого 8Y + 2,16Y = 10,16Y млн рублей.

Итак, по варианту 2 нужно будет выплатить

10,16 ∙ 1,1 = 11,176 млн рублей.

Вариант 2 более выгодный, так как платить меньше, разница в выплаченных суммах составит:

11,52 – 11,176 = 0,344 млн рублей или 344000 рублей.

Ответ: 344000 рублей.