В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точки D и E

Задача. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точки D и E делят соответственно рёбра АС и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 2. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка О. Прямые OD и ОЕ пересекают рёбра AS и ВС в точках P и F соответственно, причём BF = FC.

а) Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются.

б) Найдите отношение AP : PS.

Решение.

         

а) DPEF – плоский четырёхугольник, т.к. все его вершины лежат в плоскости

пересекающихся прямых OD и OF.

Диагонали любого плоского четырёхугольника пересекаются.

б) В ΔВОС точка Е – пересечение медиан OF и BS, т.к. лежит на медиане OF и делит отрезок BS в отношении 2 : 1, считая от вершины В.

OS = SC

Проведём SК || AC. На основании теоремы Фалеса ОК = KD.

Отрезок KS является средней линией треугольника CОD.

А так как точка D по условию задачи делит АС в отношении 1 : 2, считая от точки А, т.е.

ΔAPD = ΔSPK по стороне и двум прилежащим к ней углам. На самом деле:

AD = KS.

∠1 = ∠2 как накрест лежащие при KS || AC и секущей AS;

∠3 = ∠4 как накрест лежащие при KS || AC и секущей DK.

В равных треугольниках соответственные стороны равны, поэтому AP = PS и, следовательно, отношение отрезков AP и PS равно 1.

Ответ: AP : PS = 1.

Посмотреть видео решение этой задачи.