Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS
Записи с меткой "проценты и кредиты егэ"

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;

— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.

Решение.

За 15 месяцев банку заплатили 1100 — 500 = 600 тысяч рублей основного долга,

И, следовательно, 600 : 15 = 40 тысяч рублей – это та сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг.

Однако, r % ежемесячно нужно выплачивать с суммы остатка долга, начиная с выданной суммы кредита 1100 тысяч рублей, а затем с суммы за вычетом 40 тысяч рублей ежемесячно. Проценты считаются так:

1 месяц. 1100 ∙ 0,01r = 11r;

2 месяц (1100 — 40) ∙ 0,01r = 1060 ∙ 0,01r = 10,6r;

3 месяц (1060 — 40) ∙ 0,01r =1020 ∙ 0,01r = 10,2r;

4 месяц (1020 — 40) ∙ 0,01r = 980 ∙ 0,01r = 9,8r и так далее.

Заметим, что последовательность чисел 11r; 10,6r; 10,2r; 9,8r и т.д. представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом

а1 = 11r и разностью d = -0,4r. Нам нужно найти сумму 15-ти членов этой арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой:

Итак, банку придётся отдать 600 тысяч рублей плюс 123r тысяч рублей процентов за первые 15 месяцев и ещё за 16-й месяц долг 500 тысяч рублей плюс проценты с этой суммы, т.е. r % от 500 тысяч (это 0,01r ∙ 500 = 5r). Общая сумма выплат по условию равна 1228 тысяч рублей. Получим равенство:

600+123r+500+5r = 1228;

128r = 128;

r = 1.

Ответ: 1%.

А можно рассуждать так.

Решение2.

За 15 месяцев банку заплатили 1100 — 500 = 600 тысяч рублей основного долга,

И, следовательно, 600 : 15 = 40 тысяч рублей – это та сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг в первые 15 месяцев.

Однако, r % ежемесячно нужно выплачивать с суммы остатка долга, начиная с выданной суммы кредита 1100 тысяч рублей, а затем с суммы за вычетом 40 тысяч рублей ежемесячно. Проценты считаются так:

1 месяц. 1100 ∙ 0,01r;

2 месяц (1100 — 40) ∙ 0,01r = 1060 ∙ 0,01r;

3 месяц (1100 — 40 ∙ 2) ∙ 0,01r =1020 ∙ 0,01r;

4 месяц (1100 — 40 ∙ 3) ∙ 0,01r = 980 ∙ 0,01r;

……………………………………………………..

15 месяц (1100 — 40 ∙ 14) ∙ 0,01r = 540 ∙ 0,01r.

Сложим полученные результаты, вынеся общий множитель 0,01r за скобки:

(1100+1060+1020+980+…+540) ∙ 0,01r. Это сумма процентов за 15 месяцев.

В скобках сумма 15-ти членов арифметической прогрессии с первым членом

а1 = 1100 и пятнадцатым членом а15 = 540.

Тогда 12300 ∙ 0,01r = 123r тысяч рублей составят начисленные банком проценты за первые 15 месяцев.

За последний 16-й месяц, когда долг останется равным 500 тысяч рублей, банк возьмёт r % с этой суммы, т.е. 500 ∙ 0,01r = 5r тысяч рублей.

Следовательно, начисленные банком за всё время кредитования проценты составят

123r +5r =128r тысяч рублей.

По условию сумма всех платежей после полного погашения кредита (1100 тысяч рублей) будет составлять 1228 тысяч рублей. Это означает, что на проценты банку приходится 1228-1100=128 тысяч рублей.

Имеем равенство 128r = 128, отсюда r = 1%.

Ответ: 1%.

Ну всё понятно! А как же оформить эту задачу на ЕГЭ?

Решение.

Банку будет выплачена сумма взятого кредита 1100 тысяч рублей плюс проценты. Так как по условию вся выплаченная сумма 1228 тысяч рублей, то сумма процентов составит 128 тысяч рублей. В первые 15 месяцев будет выплачено 1100-500=600 тысяч рублей основного долга, следовательно, долг ежемесячно уменьшается на 600:15=40 тысяч рублей.

Проценты (r % ежемесячно) начисляются на остаток долга так, как показано в таблице.

15 числа 15-го месяца будут выплачены последний раз 40 тысяч рублей, и долг станет равным 500 тысяч рублей. На эту сумму также будет начислено r %, т.е.

500 ∙ 0,01r = 5r тысяч рублей.

Всего переплата 123r + 5r = 128r или 128 тысяч рублей. Отсюда r = 1%.

Ответ: 1%.

Напоминание. Чтобы найти проценты от числа, нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем умножить данное число на эту дробь.

Примеры.

45% от числа 1100 равны 0,45 ∙ 1100 = 495;

3% от 1100 равны 0,03 ∙ 1100 = 33;

r% от 1100 равны 0,01r ∙ 1100 = 11r.

Проценты и кредиты ЕГЭ 2022. Часть 3

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 21. Задача 15.

15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Решение. Пусть кредит берётся на n месяцев. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято хn рублей, нужно вернуть хn плюс проценты. Разница в 20% от суммы, взятой в кредит – это как раз проценты. Получаем равенство:

0,2xn=(xn+x(n-1)+x(n-2)+…+x)⋅0,01. Вынесем х из правой части равенства и разделим на х обе части равенства.

0,2n=(n+(n-1)+(n-2)+…+1)⋅0,01.

В скобках сумма арифметической прогрессии.

0,2n=(n+1)/2 ⋅ n ⋅ 0,01 → 0,2=(n+1)/2 ⋅ 0,01  → 20=(n+1)/2;

n+1=40 → n=39. Кредит берётся на 39 месяцев.

Ответ: 39.

Экономические задачи ЕГЭ    Это страница с нужной вам задачей

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 22. Задача 15.

15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)

Решение. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято 49х рублей, нужно вернуть 49х плюс проценты. Посчитаем проценты:

(49х+48х+47х+…+2х+х) ⋅ 0,01=(49х+х)/2 ⋅ 49 ⋅ 0,01=25х ⋅ 49 ⋅ 0,01=49х ⋅0,25.

Сумма всех выплат после полного погашения составит:

49х+49х ⋅ 0,25 = 1,25 ⋅ 49х = 5/4 ⋅ 49х или 2 млн рублей по условию. Нас интересует значение 49х.

Получаем 49х = 2 ⋅ 4/5 = 1,6 млн рублей. Ответ: 1,6.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 23. Задача 15.

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,587 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что долг был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.

1) В январе на эту сумму насчитают 15%, и долг составит 115% от S, т.е.

1,15S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.

Тогда долг составит 1,15S-1,587 млн рублей.

2) В январе на последнюю сумму насчитают 15% и долг составит 115% от последней суммы,

т.е. (1,15S-1,587) ⋅ 1,15 или 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15 млн рублей.

В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.

Тогда долг составит 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15-1,587 или

1,3225S-1,587 ⋅ 2,15 или 1,3225S-3,41205 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3225S-3,41205 = 0.

1,3225S = 3,41205  →   S = 3,41205 : 1,3225  →   S = 2,58 млн рублей было взято в банке.

Ответ: 2,58 млн рублей.

Примечание. Можно было применить формулу Sk2  = X(k +1) .

У нас Х = 1,587 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,15 = 1,15.

Тогда S ⋅ 1,152 = 1,587(1,15+1); S ⋅ 1,152 = 1,587 ⋅ 2,15;

S ⋅ 1,3225 = 1,587 ⋅ 2,15; разделим обе части равенства на 1,3225.

S = 1,2 ⋅ 2,15 = 2,58. Итак, в банке было взято 2,58 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 24. Задача 15.

В июле  года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,523 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.

1) В январе на эту сумму насчитают 16%, и долг составит 116% от S, т.е.

1,16S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.

Тогда долг составит 1,16S-2,523 млн рублей.

2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 16% и долг составит 116% от последней суммы,

т.е. (1,16S-2,523) ⋅ 1,16 или 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16 млн рублей.

В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.

Тогда долг составит 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16-2,523 или

1,3456S-2,523 ⋅ 2,16 или 1,3456S-5,44968  млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3456S-5,44968 = 0.

1,3456S = 5,44968  →   S = 5,44968 : 1,3456 →   S = 4,05 млн рублей было взято в банке.

Ответ: 4,05 млн рублей.

Примечание. Можно было применить формулу Sk2  = X(k +1) .

У нас Х = 2,523 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,16 = 1,16.

Тогда S ⋅ 1,162 = 2,523(1,16+1); S ⋅ 1,162 = 2,523 ⋅ 2,16;

S ⋅ 1,3456 = 2,523 ⋅ 2,16; разделим обе части равенства на 1,3456.

S = 1,875 ⋅ 2,16 = 4,05. Итак, в банке было взято 4,05 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 29. Задача 15.

В июле  года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 3,249 млн рублей.

Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?

Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.

1) В январе на эту сумму насчитают 14%, и долг составит 114% от S, т.е.

1,14S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.

Тогда долг составит 1,14S-3,249 млн рублей.

2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 14% и долг составит 114% от последней суммы, т.е.

(1,14S-3,249) ⋅ 1,14 или 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14 млн рублей.

В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.

Тогда долг составит 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14-3,249 или

1,2996S-3,249 ⋅ 2,14 или 1,2996S-6,95286  млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,2996S-6,95286 = 0.

1,2996S = 6,95286  →   S = 6,95286 : 1,2996 →   S = 5,35 млн рублей было взято в банке. Ответ: 5,35 млн рублей.

Примечание. Можно было применить формулу Sk2  = X(k +1) .

У нас Х = 3,249 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,14 = 1,14.

Тогда S ⋅ 1,142 = 3,249(1,14+1); S ⋅ 1,142 = 3,249 ⋅ 2,14;

S ⋅ 1,2996 = 3,249 ⋅ 2,14; разделим обе части равенства на 1,2996.

S = 2,5 ⋅ 2,14 = 5,35. Итак, в банке было взято 5,35 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 25. Задача 15.

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на n+1 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.

Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 600-200=400 тысяч рублей, т.е. nХ=400.

Подсчитаем проценты за все (n+1) месяцев кредитования. Сумму, взятую в кредит запишем как  nХ+200.

((nX+200)+((n-1)X+200)+((n-2)X+200)+((n-3)X+200)+…+200) ⋅ 0,03.

В скобках у нас сумма арифметической прогрессии. Здесь a1 = nX+200; an = 200. Применим формулу Sn = (a1+an)/2 ⋅ n.

(nX+200+200)/2 ⋅ (n+1) ⋅ 0,03 = (nX+400)(n+1) ⋅ 0,15. Так как nХ=400, то имеем

(400+400)(n+1) ⋅ 0,15 = 800(n+1) ⋅ 0,15 = 120(n+1). Такова сумма процентов за всё время кредитования. Переплата составит 852-600=252 тысячи рублей. Это как раз сумма выплаченных процентов. Получаем равенство:

120(n+1)=252, отсюда n+1=252:120;

n+1=21, тогда n=20. Ответ: 20.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 26. Задача 15.

15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысячи рублей.

Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. У нас Х=40 тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 1000-200=800 тысяч рублей, т.е. nХ=800.

Отсюда n=800 : 40 = 20. Кредит собираются взять на 21 месяц.

Подсчитаем проценты за все 21 месяц кредитования. Сумму, взятую в кредит,  запишем как  20Х+200.

((20Х+200)+(19Х+200)+(18Х+200)+…+200) ⋅ 0,01r.

В скобках у нас сумма арифметической прогрессии.

Здесь a1 = 20X+200; an = 200. Применим формулу Sn = (a1+an)/2 ⋅ n.

(20X+200+200)/2 ⋅ 21 ⋅ 0,01r = (10X+200) ⋅21 ⋅ 0,01r. Так как 20Х=800, то имеем

(400+200) ⋅21 ⋅ 0,01r. = 600 ⋅21 ⋅ 0,01r = 126r. Такова сумма процентов за всё время кредитования. Переплата составит 1378-1000=378 тысячи рублей. Это как раз сумма выплаченных процентов. Получаем равенство:

126r = 378, отсюда r = 3%.  Ответ: 3.

 

15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев

Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r%.

Решение. Пусть ежемесячный платеж (без процентов) составляет х рублей. Тогда кредит был выдан в размере 25х рублей. Банку нужно вернуть эти 25х рублей плюс проценты за остаток вклада каждый месяц: 1-й месяц это 25х (r/100) ;

во 2-й месяц проценты на остаток вклада составят 24х (r/100) ;

в 3-й месяц проценты на остаток вклада составят 23х (r/100) ;

в 4-й месяц проценты на остаток вклада составят 22х (r/100) ;

…………………………………………………………………………..

во 24-й месяц проценты на остаток вклада составят 2х (r/100) ;

в последний 25-й месяц проценты на остаток вклада составят х (r/100)  .

Общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования:

25х + (25х+24х+23х+22х+…+х) (r/100) =

По условию общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит. Получаем равенство:

Разделим обе части равенства на 25х и получим:

Ответ: 1.

31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн рублей в кредит

Задача. 31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определенное число процентов), затем Арсений переводит очередной транш. Арсений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй 638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Арсению?

Решение. Рассмотрим два способа решения задачи.

1 способ. С помощью формулы.

Применим формулу:

Здесь S – сумма кредита, выданная банком, которая  полностью погашается за n

осуществленных после начисления r% по вкладу. У нас n = 2, тогда формула примет вид:

Подставляем все данные в формулу:

Разделим обе части равенства на 100 и приведем его к общему знаменателю.

10000(1+0,01r)2 = 5500(1+0,01r) + 6384. Делим обе части равенства на 4.

2500(1+0,01r)2 = 1375(1+0,01r) + 1596. Обозначим 1+0,01r через а. Получаем:

2500а2 = 1375а + 1596   →   2500а2-1375а-1596  = 0.

Дискриминант D = 13752-4 2500 (-1596) = 1890625+15960000 = 17850625;

D = 42252 > 0; уравнение имеет два действительных корня.

Как вручную извлекать квадратные корни из целого числа смотрите здесь.

Мы получили  а = 1+0,01r = 1,12   →   0,01r = 0,12   →  r = 0,12 : 0,01 = 12.

Ответ: 12.

2 способ. Рассуждения по смыслу задачи.

Обозначим взятую в кредит сумму через S (у нас S=1 млн рублей), а через r – искомый процент банка.

1-ый год. Банк начисляет r% к взятой сумме, и сумма долга составит 100% + r% от S. Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь и умножить эту дробь на данное число.

100% + r% =1+0,01r. Обозначим это выражение через k. Итак, 1+0,01r= k.

Умножаем k на S. Получаем Sk. Арсений переводит в банк 550 тысяч рублей. Считать будем в миллионах рублей. Остаток по вкладу равен Sk-0,55.

2-ой год. Банк начисляет r% к остатку, т.е. Арсений теперь должен 100% + r%  от (Sk-0,55). Это составит (1+0,01r) или  k  от (Sk-0,55), т.е. составит  k(Sk-0,55). Арсений переводит в банк 638,4 тысяч рублей.

Остаток по вкладу равен k(Sk-0,55)-0,6384. А так как за два года Арсений рассчитался с банком, то получим равенство:

k(Sk-0,55)-0,6384=0. Помним, что S=1 млн рублей.

k(k-0,55)-0,6384=0;

k2-0,55k-0,6384=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле – находим дискриминант.

D=b2-4ac=0,552-4∙1∙(-0,6384)=0,3025+2,5536=2,8561=1,692>0; 2 действительных корня.

1+0,01r=k=1,12; отсюда 0,01r=0,12; r=12.

Ответ: 12%.

Выбор решения за тем, кто решает.

Как вручную извлекают квадратные корни из десятичной дроби смотрите здесь.

15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца

Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Решение. Пусть ежемесячный взнос в банк (без процентов) составляет х рублей. Тогда в счет основного долга за первые 12 месяцев нужно возвратить 12х рублей. Теперь подсчитаем проценты. За 1-й месяц их набегает 24х 0,03; за 2-ой месяц – 23х 0,03; за 3-ий месяц – 22х 0,03 и т.д., а за 12-й месяц – 13х 0,03. Общая сумма процентов за первые 12 месяцев равна

(24х+23х+22х+ … +14х+13х) 0,03 = (24х+13х)/2 12 0,03 = 37х 6 0,03 = 6,66х.

Зная, что в течение первого года кредитования нужно вернуть 466,5 тыс. рублей, составим уравнение:

12х + 6,66х = 466,5. Отсюда 18,66х = 466,5    →    х = 466,5 : 18,66.

Получаем х = 25 тыс. рублей. Это ежемесячный взнос без процентов.

Кредит берётся на 24 месяца, следовательно, в кредит планируется взять

24 25 тысяч рублей = 600 тысяч рублей.

Ответ: 600000.

15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц

Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение. Пусть ежемесячно нужно выплачивать х рублей без процентов. Тогда вся сумма кредита равна 21х рублей. Проценты насчитываются на остаток вклада после ежемесячной выплаты х рублей. На 11 месяц кредитования остаток вклада составит 11х (отсчитывайте 11-й месяц от 21-го месяца: 21-й, 20-й, 19-й, …) рублей. Так как по условию задачи долг возрастает на 1%, то проценты на сумму 11х равны 11х 0,01 = 0,11х рублей. Всего выплаты на 11-й месяц кредитования составят х + 0,11х = 1,11х рублей. По условию это 44,4 тысячи рублей. Получаем равенство: 1,11х = 44400, отсюда х = 44400 : 1,11 = 4440000 : 111 = 40000. Следовательно, ежемесячные выплаты (без процентов) составляют 40000 рублей, тогда сумма всего кредита равна 40000 21 = 840000 рублей.

Посчитаем проценты за все время кредитования.

(21х + 20х + 19х + … + 2х + х) 0,01 = (21х+х)/2 21 0,01 = 11х 21 0,01.

Подставим вместо х его значение 40000 рублей и получим:

11 40000 21 0,01 = 92400 рублей. Вся сумма, которую нужно выплатить банку составляет 840000 + 92400 = 932400 рублей.

Ответ: 932400.

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000

Задача. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение. 

Рассмотрим два способа решения задачи.

1 способ. С помощью формулы.

Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных

осуществленных после начисления r% по вкладу, то имеет место замечательная формула:

Кредит Алексея S = 9282000 полностью погашается за 4 платежа по Х рублей каждый, после начисления  r = 10% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга. Получаем равенство:

Ответ: 2928200.

2 способ. Рассуждения по смыслу задачи.

Обозначим взятую в кредит сумму через S (у нас S=9282000).

1-ый год. Банк начисляет 10% ко взятой сумме, и сумма долга составит 110% от S. Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь и умножить эту дробь на данное число.

110%=1,1. Умножаем 1,1 на S. Получаем 1,1S. Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1S-Х.

2-ой год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,1S-Х). Это составит 1,1(1,1S-Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,1S-Х)-Х.

Упростим. 1,12 S-1,1Х-Х=1,21S-2,1Х.

3-ий год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,21S-2,1Х). Это составит 1,1(1,21S-2,1Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,21S-2,1Х)-Х.

Упростим. 1,331S-2,31Х-Х=1,331S-3,31Х.

4-ый год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,331S-3,31Х). Это составит 1,1(1,331S-3,31Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,331S-3,31Х)-Х.

Упростим. 1,1(1,331S-3,31Х)-Х=1,4641S-3,641Х-Х=1,4641S-4,641Х.

Так как за 4 года Алексей выплатит весь долг, то последняя сумма равна нулю. Решаем уравнение:

1,4641S-4,641Х=0.

4,641Х=1,4641S; помним, что у нас S=9282000. Тогда

Х=(1,4641928200):4,641;

Ответ: 2928200.

Выбор решения исключительно за решающим.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей

Задача. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн рублей.

Решение. Как всегда обозначим ежегодный платёж (без процентов) через х. Отсюда сумма кредита будет равна 9х. В этой задаче х = 4,5 млн : 9 = 4500000 : 9 = 500000 рублей.

Мы с вами знаем уже, что самый большой процент приходится на 1-й год выплат. Это r% от 9х, т.е. от всей суммы кредита, получается:

Таким образом наибольший годовой платёж по кредиту приходится на 1-й год и равен:

По условию этот платёж должен быть не больше 1,4 млн рублей. Получаем неравенство:

Вместо х запишем его значение 500000.

Разделим обе части на 500000.

Самый маленький платёж по кредиту будет в последний год, он будет

и по условию должен быть не меньше 0,6 млн рублей. Получаем:

Вместо х запишем его значение 500000.

Разделим обе части на 500000.

Смотрим на ( * ) и ( ** ). Делаем вывод:

следовательно, r = 100 : 5 = 20.

Ответ: 20.

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,8 млн рублей

Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,8 млн рублей на 24 месяца. Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?

Решение. Поймите правильно: «нужно вернуть» не означает, что будет возвращена такая сумма. Если клиент взял кредит на 24 месяца, то на эту сумму ему и будет составлен календарь обязательных ежемесячных равных платежей (вы ведь изучили мои объяснения, приведенные выше?). А это всего лишь задачка на проверку вашего понимания, сколько же процентов будет начислено клиенту за первые 12 месяцев кредитования.  Разобьем сумму кредита на 24 части (т.к. 24 месяца кредитования). Получаем: 1800000 : 24 = 75000. Чтобы не таскать это число за собой, обозначим его, как в предыдущих примерах, через х и посчитаем проценты за первые 12 месяцев.

(24х + 23х + 22х + … 13х) 0,02. Здесь 0,02 – это 2% по условию задачи.

В скобках сумма арифметической прогрессии:

Так как х = 75000, то выходит, что за первые 12 месяцев сумма процентов составит:

222 75000 0,02 = 333000 рублей. А выплата по 75000 рублей ежемесячно в течение 12 месяцев составит:

75000 12 = 900000 рублей.

Искомое число-сумма выплаты основного долга за 12 месяцев и процентов составляет 900000 + 333000 = 1233000 рублей.

Ответ: 1233000.

15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев

Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возвращения таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Решение. Пусть ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют х рублей. Тогда сумма кредита составляет 19х рублей. Выплатить нужно эти 19х рублей плюс проценты (как насчитывают проценты смотрите здесь):

Вручную сумму в скобках считать не стоит. Применим формулу суммы арифметической прогрессии.

Итак, будет выплачена сумма:

По условию эта сумма на 30% больше суммы, взятой в кредит. Иными словами, эта сумма составляет 130% или 1,3 от 19х. Получаем равенство:

Разделим обе части равенства на 19х и получим:

Ответ: 3.

Наверх