В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на 10%
Задача. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
-с февраля по июнь необходимо выплатить одним платежом часть долга;
-в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
-в июле 2030 года долг должен составлять 800 тысяч рублей;
-в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;
Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.
Решение. Пусть в каждый из первых пяти лет долг будет уменьшаться на х тыс. рублей. Так как через эти 5 лет долг должен составлять 800 тыс. рублей, то первоначальный кредит равен (5х+800). С этой суммы посчитаем все проценты, которые будут начислены банком в первые 5 лет:
0,1(5х+800 + 4х+800 + 3х+800 + 2х+800 + х+800) =
= 0,1 ∙ 15х + 0,1 ∙ 800 ∙ 5 = 1,5х + 400 (тыс. руб.).
С июля 2030 года долг должен составлять 800 тысяч рублей по условию. Погашать его нужно будет следующие 5 лет на одну и ту же сумму. Мы легко определим эту сумму. Делим 800 на 5 и получаем 160 тысяч рублей. Однако, для удобства подсчёта процентов за последние 5 лет, обозначим эту сумму через у. Итак,
у=160, значит, долг 800=5у. Считаем проценты:
0,1(5у+4у+3у+2у+у) = 0,1 ∙ 15у = 1,5у.
Заменяем у на 160 и получаем 1,5 ∙ 160 = 240 тысяч рублей – проценты за последние 5 лет.
Таким образом, за всё время кредитования клиент выплатит:
(5х + 800) тыс. руб. — данную банком сумму;
(1,5х + 400) тыс. руб. — проценты за первые 5 лет;
240 тыс. руб. — проценты за последние 5 лет.
По условию сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей. Получаем уравнение:
5х + 800 + 1,5х + 400 + 240 = 2090. Решаем:
6,5х = 2090-1440;
6,5х = 650;
х = 100.
На 100 тыс. руб. будет уменьшаться долг ежегодно в первые 5 лет.
А так как взятую сумму кредита мы обозначали через (5х+800) тысяч рублей, то она составит 5 ∙ 100 + 800 = 1300 тысяч рублей.
Ответ: 1300000 рублей.
15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия возврата таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3%
Задача. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?
Решение. Для удобства обозначим через х величину, на которую ежемесячно уменьшался долг первые 10 месяцев (х = 80 тыс. рублей), а через у – остаток долга на 11 месяц кредитования (долг 15 числа 10-го месяца). Тогда, очевидно, что кредит был равен (10х + у) тысяч рублей.
Подсчитаем проценты за первые 10 месяцев.
0,03 ∙ ( (10х+у) + (9х+у) + (8х+у) + … + (х+у)) =
= 0,03 ∙ (10х + 9х + 8х +…+ х) + 0,03 ∙ 10у =
= 0,03 ∙ 55х + 0,3у = 1,65х + 0,3у.
За 11-й месяц будет выплачено (у + 0,03у) тыс. рублей.
Итак, за всё время кредитования клиент заплатил
10х + 1,65х + 0,3у + у + 0,03у или 1198 тыс. рублей.
10х – это 80 ∙ 10 = 800 тысяч рублей.
800 + 1,65х + 1,33у = 1198;
1,65 ∙ 80 + 1,33у = 1198-800;
132 + 1,33у = 398;
1,33у = 398-132;
1,33у = 266;
у = 200.
Ответ: 200 тысяч рублей.
В октябре 2027 года Борис планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей.
Задача. В октябре 2027 года Борис планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 2560 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
-в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 15% от суммы долга на конец предыдущего года;
-в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;
-в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028 – 2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же величину Q рублей меньше долга на октябрь предыдущего года;
-в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;
-к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите величину Q, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 4168 тыс. рублей.
Решение.
Пусть ежегодно в первые 5 лет долг будет уменьшаться на Q тыс. рублей (не рублей, а тысяч рублей). Посчитаем сумму процентов, которые будут выплачены за эти 5 лет:
0,15 ∙ (2560 + (2560-Q) + (2560-2Q) + (2560-3Q) + (2560-4Q)) =
= 0,15 ∙ (5 ∙ 2560-10Q) = (1920-1,5Q) тыс. рублей.
Следовательно, за первые 5 лет общие выплаты составят
5Q + 1920-1,5Q = (3,5Q + 1920) тыс. рублей. Остаток долга станет равным
(2560-5Q) тыс. рублей (ежегодно будут списывать только Q тыс. рублей).
Обозначим эту сумму (остаток долга) через S.
S = 2560-5Q. Эта сумма будет выплачена в 2033 и 2034 годах двумя равными платежами – обозначим каждый такой платёж через Y. Как это будет происходить?
Банк увеличит сумму долга на 15% — получится 115% от S, т.е 1,15S.
Клиент платит Y тыс. рублей, и долг станет равным (1,15S-Y) тыс. рублей.
Банк начисляет на эту сумму 15% — долг составит 1,15(1,15S-Y).
Клиент выплачивает Y тыс. рублей, и долг обнулится, т.е. мы имеем равенство:
1,15 ∙ (1,15S -Y)-Y = 0.
1,152 ∙ S -1,15Y-Y = 0
1,3225S -1,15Y -Y = 0
2,15Y = 1,3225S.
А так как S = (2560-5Q), то 2,15Y = 1,3225(2560-5Q). Выразим Y.
Так как Y – это платёж в каждый из двух последних лет кредитования, то за 2 последних года банку будет выплачено 2Y тыс. рублей.
Общие выплаты за все 7 лет составят:
3,5Q + 1920 + 2Y или 4168 тыс. рублей.
3,5Q + 1920 + 2Y = 4168;
3,5Q + 2Y = 4168-1920;
3,5Q + 2Y = 2248;
Подставим вместо Y его значение и решим уравнение относительно Q.
Умножаем обе части равенства на 86.
301Q + 529(512-Q) = 193328;
301Q + 270848 -529Q = 193328;
301Q -529Q = 193328 -270848;
-228Q = -77520;
Q = 340. Мы нашли Q в тысячах рублей, ответ нужно дать в рублях.
Ответ: 340000 рублей.
В июле 2027 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тыс. рублей
Задача. В июле 2027 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг будет возрастать на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
-с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
-в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
-в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
-к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2029 году?
Решение.
Условие «-в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;» означает, что банк в первые 5 лет будет ежегодно погашать долг клиенту на одну и ту же сумму. Мы обозначим эту сумму через х. Это ежегодный платёж (в первые 5 лет) без процентов. Посчитаем проценты за первые 5 лет.
15% банк насчитывает на остаток долга.
0,15 ∙ (1500 + (1500-х) + (1500-2х) + (1500-3х) + (1500-4х)) =
= 0,15 ∙ (5 ∙ 1500 -10х) = 0,15(7500-10х) = (1125-1,5х) тыс. рублей.
Итак, к концу 2032 года (после 5 лет ежегодных выплат) долг составит (1500-5х) тыс. рублей или 5(300-х) тыс. рублей. Так как клиенту остаётся платить 5 лет – банк ежегодно будет засчитывать в счёт погашения долга пятую часть оставшейся суммы, т.е. (300-х) тыс. рублей, не забывая начислять проценты перед этим. Считаем проценты за вторые 5 лет кредитования.
0,15 ∙ (5(300-х) + 4(300-х) + 3(300-х) + 2(300-х) + (300-х)) =
= 0,15 ∙ 15(300-х) = 2,25 ∙ (300-х) = (675-2,25х) тыс. рублей.
По условию общая сумма выплат 2400 тыс. рублей, значит, сумма выплаченных процентов составит 2400-1500 = 900 тыс. рублей. Составим уравнение.
1125-1,5х + 675-2,25х = 900;
-1,5х-2,25х = 900-1125-675;
-3,75х = -900 | : (-3,75);
х = 240. Следовательно, ежегодно в первые 5 лет банк будет засчитывать клиенту в счёт погашения долга по 240 тыс. рублей.
Искомый платёж за 2029 год составит эти 240 тыс. рублей плюс 15% от остатка долга, т.е. от суммы 1500-240 = 1260 тыс. рублей, так как в 2028 году уже было погашено 240 тыс. рублей.
Считаем: 240 + 0,15 ∙ 1260 = 240 + 189 = 429 тыс. рублей.
Ответ: 429000 рублей.
Задача. В июле 2026 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
-с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
-в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
-в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
-к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году?
Решение.
Условие «-в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;» означает, что банк в первые 5 лет будет ежегодно погашать долг клиенту на одну и ту же сумму. Мы обозначим эту сумму через х. Это ежегодный платёж (в первые 5 лет) без процентов. Посчитаем проценты за первые 5 лет.
20% банк насчитывает на остаток долга.
0,2 ∙ (1300 + (1300-х) + (1300-2х) + (1300-3х) + (1300-4х)) =
= 0,2 ∙ (5 ∙ 1300 -10х) = 0,2(6500-10х) = (1300-2х) тыс. рублей.
Итак, к концу 2031 года (после 5 лет ежегодных выплат) долг составит (1300-5х) тыс. рублей или 5(260-х) тыс. рублей. Так как клиенту остаётся платить 5 лет – банк ежегодно будет засчитывать в счёт погашения долга пятую часть оставшейся суммы, т.е. (260-х) тыс. рублей, не забывая начислять проценты перед этим. Считаем проценты за вторые 5 лет кредитования.
0,2 ∙ (5(260-х) + 4(260-х) + 3(260-х) + 2(260-х) + (260-х)) =
= 0,2 ∙ 15(260-х) = 3 ∙ (260-х) = (780-3х) тыс. рублей.
По условию общая сумма выплат 2780 тыс. рублей, значит, сумма выплаченных процентов составит 2780-1300 = 1480 тыс. рублей. Составим уравнение.
1300-2х + 780-3х = 1480;
-2х-3х = 1480-1300-780;
-5х = -600 | : (-5);
х = 120. Следовательно, ежегодно в первые 5 лет банк будет засчитывать клиенту в счёт погашения долга по 120 тыс. рублей.
Искомый платёж за 2027 год составит эти 120 тыс. рублей плюс 20% от взятой суммы кредита в 1300 тыс. рублей, так как в 2027 году состоится самая первая выплата банку.
Считаем: 120 + 0,2 ∙ 1300 = 120 + 260 = 380 тыс. рублей.
Ответ: 380000 рублей.
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;
— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.
Решение.
За 15 месяцев банку заплатили 1100 — 500 = 600 тысяч рублей основного долга,
И, следовательно, 600 : 15 = 40 тысяч рублей – это та сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг.
Однако, r % ежемесячно нужно выплачивать с суммы остатка долга, начиная с выданной суммы кредита 1100 тысяч рублей, а затем с суммы за вычетом 40 тысяч рублей ежемесячно. Проценты считаются так:
1 месяц. 1100 ∙ 0,01r = 11r;
2 месяц (1100 — 40) ∙ 0,01r = 1060 ∙ 0,01r = 10,6r;
3 месяц (1060 — 40) ∙ 0,01r =1020 ∙ 0,01r = 10,2r;
4 месяц (1020 — 40) ∙ 0,01r = 980 ∙ 0,01r = 9,8r и так далее.
Заметим, что последовательность чисел 11r; 10,6r; 10,2r; 9,8r и т.д. представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
а1 = 11r и разностью d = -0,4r. Нам нужно найти сумму 15-ти членов этой арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой:
Итак, банку придётся отдать 600 тысяч рублей плюс 123r тысяч рублей процентов за первые 15 месяцев и ещё за 16-й месяц долг 500 тысяч рублей плюс проценты с этой суммы, т.е. r % от 500 тысяч (это 0,01r ∙ 500 = 5r). Общая сумма выплат по условию равна 1228 тысяч рублей. Получим равенство:
600+123r+500+5r = 1228;
128r = 128;
r = 1.
Ответ: 1%.
А можно рассуждать так.
Решение2.
За 15 месяцев банку заплатили 1100 — 500 = 600 тысяч рублей основного долга,
И, следовательно, 600 : 15 = 40 тысяч рублей – это та сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг в первые 15 месяцев.
Однако, r % ежемесячно нужно выплачивать с суммы остатка долга, начиная с выданной суммы кредита 1100 тысяч рублей, а затем с суммы за вычетом 40 тысяч рублей ежемесячно. Проценты считаются так:
1 месяц. 1100 ∙ 0,01r;
2 месяц (1100 — 40) ∙ 0,01r = 1060 ∙ 0,01r;
3 месяц (1100 — 40 ∙ 2) ∙ 0,01r =1020 ∙ 0,01r;
4 месяц (1100 — 40 ∙ 3) ∙ 0,01r = 980 ∙ 0,01r;
……………………………………………………..
15 месяц (1100 — 40 ∙ 14) ∙ 0,01r = 540 ∙ 0,01r.
Сложим полученные результаты, вынеся общий множитель 0,01r за скобки:
(1100+1060+1020+980+…+540) ∙ 0,01r. Это сумма процентов за 15 месяцев.
В скобках сумма 15-ти членов арифметической прогрессии с первым членом
а1 = 1100 и пятнадцатым членом а15 = 540.
Тогда 12300 ∙ 0,01r = 123r тысяч рублей составят начисленные банком проценты за первые 15 месяцев.
За последний 16-й месяц, когда долг останется равным 500 тысяч рублей, банк возьмёт r % с этой суммы, т.е. 500 ∙ 0,01r = 5r тысяч рублей.
Следовательно, начисленные банком за всё время кредитования проценты составят
123r +5r =128r тысяч рублей.
По условию сумма всех платежей после полного погашения кредита (1100 тысяч рублей) будет составлять 1228 тысяч рублей. Это означает, что на проценты банку приходится 1228-1100=128 тысяч рублей.
Имеем равенство 128r = 128, отсюда r = 1%.
Ответ: 1%.
Ну всё понятно! А как же оформить эту задачу на ЕГЭ?
Решение.
Банку будет выплачена сумма взятого кредита 1100 тысяч рублей плюс проценты. Так как по условию вся выплаченная сумма 1228 тысяч рублей, то сумма процентов составит 128 тысяч рублей. В первые 15 месяцев будет выплачено 1100-500=600 тысяч рублей основного долга, следовательно, долг ежемесячно уменьшается на 600:15=40 тысяч рублей.
Проценты (r % ежемесячно) начисляются на остаток долга так, как показано в таблице.
15 числа 15-го месяца будут выплачены последний раз 40 тысяч рублей, и долг станет равным 500 тысяч рублей. На эту сумму также будет начислено r %, т.е.
500 ∙ 0,01r = 5r тысяч рублей.
Всего переплата 123r + 5r = 128r или 128 тысяч рублей. Отсюда r = 1%.
Ответ: 1%.
Напоминание. Чтобы найти проценты от числа, нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем умножить данное число на эту дробь.
Примеры.
45% от числа 1100 равны 0,45 ∙ 1100 = 495;
3% от 1100 равны 0,03 ∙ 1100 = 33;
r% от 1100 равны 0,01r ∙ 1100 = 11r.
Проценты и кредиты ЕГЭ 2022. Часть 3
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 21. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Решение. Пусть кредит берётся на n месяцев. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято хn рублей, нужно вернуть хn плюс проценты. Разница в 20% от суммы, взятой в кредит – это как раз проценты. Получаем равенство:
0,2xn=(xn+x(n-1)+x(n-2)+…+x)⋅0,01. Вынесем х из правой части равенства и разделим на х обе части равенства.
0,2n=(n+(n-1)+(n-2)+…+1)⋅0,01.
В скобках сумма арифметической прогрессии.
0,2n=(n+1)/2 ⋅ n ⋅ 0,01 → 0,2=(n+1)/2 ⋅ 0,01 → 20=(n+1)/2;
n+1=40 → n=39. Кредит берётся на 39 месяцев.
Ответ: 39.
Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 22. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Решение. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято 49х рублей, нужно вернуть 49х плюс проценты. Посчитаем проценты:
(49х+48х+47х+…+2х+х) ⋅ 0,01=(49х+х)/2 ⋅ 49 ⋅ 0,01=25х ⋅ 49 ⋅ 0,01=49х ⋅0,25.
Сумма всех выплат после полного погашения составит:
49х+49х ⋅ 0,25 = 1,25 ⋅ 49х = 5/4 ⋅ 49х или 2 млн рублей по условию. Нас интересует значение 49х.
Получаем 49х = 2 ⋅ 4/5 = 1,6 млн рублей. Ответ: 1,6.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 23. Задача 15.
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,587 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что долг был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?
Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.
1) В январе на эту сумму насчитают 15%, и долг составит 115% от S, т.е.
1,15S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.
Тогда долг составит 1,15S-1,587 млн рублей.
2) В январе на последнюю сумму насчитают 15% и долг составит 115% от последней суммы,
т.е. (1,15S-1,587) ⋅ 1,15 или 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15 млн рублей.
В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.
Тогда долг составит 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15-1,587 или
1,3225S-1,587 ⋅ 2,15 или 1,3225S-3,41205 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3225S-3,41205 = 0.
1,3225S = 3,41205 → S = 3,41205 : 1,3225 → S = 2,58 млн рублей было взято в банке.
Ответ: 2,58 млн рублей.
Примечание. Можно было применить формулу Sk2 = X(k +1) .
У нас Х = 1,587 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,15 = 1,15.
Тогда S ⋅ 1,152 = 1,587(1,15+1); S ⋅ 1,152 = 1,587 ⋅ 2,15;
S ⋅ 1,3225 = 1,587 ⋅ 2,15; разделим обе части равенства на 1,3225.
S = 1,2 ⋅ 2,15 = 2,58. Итак, в банке было взято 2,58 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 24. Задача 15.
В июле года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,523 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?
Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.
1) В январе на эту сумму насчитают 16%, и долг составит 116% от S, т.е.
1,16S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.
Тогда долг составит 1,16S-2,523 млн рублей.
2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 16% и долг составит 116% от последней суммы,
т.е. (1,16S-2,523) ⋅ 1,16 или 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16 млн рублей.
В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.
Тогда долг составит 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16-2,523 или
1,3456S-2,523 ⋅ 2,16 или 1,3456S-5,44968 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3456S-5,44968 = 0.
1,3456S = 5,44968 → S = 5,44968 : 1,3456 → S = 4,05 млн рублей было взято в банке.
Ответ: 4,05 млн рублей.
Примечание. Можно было применить формулу Sk2 = X(k +1) .
У нас Х = 2,523 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,16 = 1,16.
Тогда S ⋅ 1,162 = 2,523(1,16+1); S ⋅ 1,162 = 2,523 ⋅ 2,16;
S ⋅ 1,3456 = 2,523 ⋅ 2,16; разделим обе части равенства на 1,3456.
S = 1,875 ⋅ 2,16 = 4,05. Итак, в банке было взято 4,05 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 29. Задача 15.
В июле года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 3,249 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?
Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.
1) В январе на эту сумму насчитают 14%, и долг составит 114% от S, т.е.
1,14S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.
Тогда долг составит 1,14S-3,249 млн рублей.
2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 14% и долг составит 114% от последней суммы, т.е.
(1,14S-3,249) ⋅ 1,14 или 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14 млн рублей.
В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.
Тогда долг составит 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14-3,249 или
1,2996S-3,249 ⋅ 2,14 или 1,2996S-6,95286 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,2996S-6,95286 = 0.
1,2996S = 6,95286 → S = 6,95286 : 1,2996 → S = 5,35 млн рублей было взято в банке. Ответ: 5,35 млн рублей.
Примечание. Можно было применить формулу Sk2 = X(k +1) .
У нас Х = 3,249 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,14 = 1,14.
Тогда S ⋅ 1,142 = 3,249(1,14+1); S ⋅ 1,142 = 3,249 ⋅ 2,14;
S ⋅ 1,2996 = 3,249 ⋅ 2,14; разделим обе части равенства на 1,2996.
S = 2,5 ⋅ 2,14 = 5,35. Итак, в банке было взято 5,35 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 25. Задача 15.
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на n+1 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.
Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 600-200=400 тысяч рублей, т.е. nХ=400.
Подсчитаем проценты за все (n+1) месяцев кредитования. Сумму, взятую в кредит запишем как nХ+200.
((nX+200)+((n-1)X+200)+((n-2)X+200)+((n-3)X+200)+…+200) ⋅ 0,03.
В скобках у нас сумма арифметической прогрессии. Здесь a1 = nX+200; an = 200. Применим формулу Sn = (a1+an)/2 ⋅ n.
(nX+200+200)/2 ⋅ (n+1) ⋅ 0,03 = (nX+400)(n+1) ⋅ 0,15. Так как nХ=400, то имеем
(400+400)(n+1) ⋅ 0,15 = 800(n+1) ⋅ 0,15 = 120(n+1). Такова сумма процентов за всё время кредитования. Переплата составит 852-600=252 тысячи рублей. Это как раз сумма выплаченных процентов. Получаем равенство:
120(n+1)=252, отсюда n+1=252:120;
n+1=21, тогда n=20. Ответ: 20.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 26. Задача 15.
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысячи рублей.
Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. У нас Х=40 тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 1000-200=800 тысяч рублей, т.е. nХ=800.
Отсюда n=800 : 40 = 20. Кредит собираются взять на 21 месяц.
Подсчитаем проценты за все 21 месяц кредитования. Сумму, взятую в кредит, запишем как 20Х+200.
((20Х+200)+(19Х+200)+(18Х+200)+…+200) ⋅ 0,01r.
В скобках у нас сумма арифметической прогрессии.
Здесь a1 = 20X+200; an = 200. Применим формулу Sn = (a1+an)/2 ⋅ n.
(20X+200+200)/2 ⋅ 21 ⋅ 0,01r = (10X+200) ⋅21 ⋅ 0,01r. Так как 20Х=800, то имеем
(400+200) ⋅21 ⋅ 0,01r. = 600 ⋅21 ⋅ 0,01r = 126r. Такова сумма процентов за всё время кредитования. Переплата составит 1378-1000=378 тысячи рублей. Это как раз сумма выплаченных процентов. Получаем равенство:
126r = 378, отсюда r = 3%. Ответ: 3.
15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r%.
Решение. Пусть ежемесячный платеж (без процентов) составляет х рублей. Тогда кредит был выдан в размере 25х рублей. Банку нужно вернуть эти 25х рублей плюс проценты за остаток вклада каждый месяц: 1-й месяц это 25х ∙ (r/100) ;
во 2-й месяц проценты на остаток вклада составят 24х ∙ (r/100) ;
в 3-й месяц проценты на остаток вклада составят 23х ∙ (r/100) ;
в 4-й месяц проценты на остаток вклада составят 22х ∙ (r/100) ;
…………………………………………………………………………..
во 24-й месяц проценты на остаток вклада составят 2х ∙ (r/100) ;
в последний 25-й месяц проценты на остаток вклада составят х ∙ (r/100) .
Общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования:
25х + (25х+24х+23х+22х+…+х) ∙ (r/100) =
По условию общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит. Получаем равенство:
Разделим обе части равенства на 25х и получим:
Ответ: 1.
31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн рублей в кредит
Задача. 31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определенное число процентов), затем Арсений переводит очередной транш. Арсений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй 638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Арсению?
Решение. Рассмотрим два способа решения задачи.
1 способ. С помощью формулы.
Применим формулу:
Здесь S – сумма кредита, выданная банком, которая полностью погашается за n
осуществленных после начисления r% по вкладу. У нас n = 2, тогда формула примет вид:
Подставляем все данные в формулу:
Разделим обе части равенства на 100 и приведем его к общему знаменателю.
10000(1+0,01r)2 = 5500(1+0,01r) + 6384. Делим обе части равенства на 4.
2500(1+0,01r)2 = 1375(1+0,01r) + 1596. Обозначим 1+0,01r через а. Получаем:
2500а2 = 1375а + 1596 → 2500а2-1375а-1596 = 0.
Дискриминант D = 13752-4 ∙ 2500 ∙ (-1596) = 1890625+15960000 = 17850625;
D = 42252 > 0; уравнение имеет два действительных корня.
Как вручную извлекать квадратные корни из целого числа смотрите здесь.
Мы получили а = 1+0,01r = 1,12 → 0,01r = 0,12 → r = 0,12 : 0,01 = 12.
Ответ: 12.
2 способ. Рассуждения по смыслу задачи.
Обозначим взятую в кредит сумму через S (у нас S=1 млн рублей), а через r – искомый процент банка.
1-ый год. Банк начисляет r% к взятой сумме, и сумма долга составит 100% + r% от S. Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь и умножить эту дробь на данное число.
100% + r% =1+0,01r. Обозначим это выражение через k. Итак, 1+0,01r= k.
Умножаем k на S. Получаем Sk. Арсений переводит в банк 550 тысяч рублей. Считать будем в миллионах рублей. Остаток по вкладу равен Sk-0,55.
2-ой год. Банк начисляет r% к остатку, т.е. Арсений теперь должен 100% + r% от (Sk-0,55). Это составит (1+0,01r) или k от (Sk-0,55), т.е. составит k(Sk-0,55). Арсений переводит в банк 638,4 тысяч рублей.
Остаток по вкладу равен k(Sk-0,55)-0,6384. А так как за два года Арсений рассчитался с банком, то получим равенство:
k(Sk-0,55)-0,6384=0. Помним, что S=1 млн рублей.
k(k-0,55)-0,6384=0;
k2-0,55k-0,6384=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле – находим дискриминант.
D=b2-4ac=0,552-4∙1∙(-0,6384)=0,3025+2,5536=2,8561=1,692>0; 2 действительных корня.
1+0,01r=k=1,12; отсюда 0,01r=0,12; r=12.
Ответ: 12%.
Выбор решения за тем, кто решает.
Как вручную извлекают квадратные корни из десятичной дроби смотрите здесь.
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение. Пусть ежемесячный взнос в банк (без процентов) составляет х рублей. Тогда в счет основного долга за первые 12 месяцев нужно возвратить 12х рублей. Теперь подсчитаем проценты. За 1-й месяц их набегает 24х ∙ 0,03; за 2-ой месяц – 23х ∙ 0,03; за 3-ий месяц – 22х ∙ 0,03 и т.д., а за 12-й месяц – 13х ∙ 0,03. Общая сумма процентов за первые 12 месяцев равна
(24х+23х+22х+ … +14х+13х) ∙ 0,03 = (24х+13х)/2 ∙ 12∙ 0,03 = 37х ∙ 6 ∙ 0,03 = 6,66х.
Зная, что в течение первого года кредитования нужно вернуть 466,5 тыс. рублей, составим уравнение:
12х + 6,66х = 466,5. Отсюда 18,66х = 466,5 → х = 466,5 : 18,66.
Получаем х = 25 тыс. рублей. Это ежемесячный взнос без процентов.
Кредит берётся на 24 месяца, следовательно, в кредит планируется взять
24 ∙ 25 тысяч рублей = 600 тысяч рублей.
Ответ: 600000.
15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение. Пусть ежемесячно нужно выплачивать х рублей без процентов. Тогда вся сумма кредита равна 21х рублей. Проценты насчитываются на остаток вклада после ежемесячной выплаты х рублей. На 11 месяц кредитования остаток вклада составит 11х (отсчитывайте 11-й месяц от 21-го месяца: 21-й, 20-й, 19-й, …) рублей. Так как по условию задачи долг возрастает на 1%, то проценты на сумму 11х равны 11х ∙ 0,01 = 0,11х рублей. Всего выплаты на 11-й месяц кредитования составят х + 0,11х = 1,11х рублей. По условию это 44,4 тысячи рублей. Получаем равенство: 1,11х = 44400, отсюда х = 44400 : 1,11 = 4440000 : 111 = 40000. Следовательно, ежемесячные выплаты (без процентов) составляют 40000 рублей, тогда сумма всего кредита равна 40000 ∙ 21 = 840000 рублей.
Посчитаем проценты за все время кредитования.
(21х + 20х + 19х + … + 2х + х) ∙ 0,01 = (21х+х)/2 ∙ 21∙ 0,01 = 11х ∙ 21∙ 0,01.
Подставим вместо х его значение 40000 рублей и получим:
11 ∙ 40000 ∙ 21∙ 0,01 = 92400 рублей. Вся сумма, которую нужно выплатить банку составляет 840000 + 92400 = 932400 рублей.
Ответ: 932400.
