Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS
Рубрика "Геометрия 9 класс"

Фигуры на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1

Рассмотрим задачи по нахождению элементов и площадей треугольников и четырёхугольников по их изображениям на клетчатой бумаге. Такие задачи по силам и восьмиклассникам, а предлагаются выпускникам на ЕГЭ. Ниже приведены (с решениями) прототипы задачи 3 из ЕГЭ.

Задача 1. На клетчатой бумаге изображён прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Задача 2. На клетчатой бумаге изображён треугольник. Найдите его площадь.

Площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведённую к этому основанию.

Задача 3. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге.

Для нахождения площади данного треугольника АВС, можно из площади прямоугольника МКРС вычесть площади прямоугольных треугольников АМС, АКВ и ВРС.

Задача 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольник.

Найдите: а) диагональ прямоугольника; б) площадь прямоугольника; в) радиус описанной окружности.

а) Находим диагональ АС. Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора

АС2 = АВ2 + ВС2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.

АС = 5.

б) Площадь прямоугольника ABCD находим по формуле:

S = ab; S = AB ∙ BC = 3 ∙ 4 = 12.

в) диаметром окружности, описанной около прямоугольника ABCD, является диагональ АС. Следовательно, радиус описанной окружности R = АС : 2 = 5 : 2 = 2,5.

Ответ: а) 5; б) 12; в) 2,5.

Задача 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён квадрат. Найдите площадь квадрата.

Площадь квадрата S = AB2. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВС:

АВ2 = АС2 + ВС2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20. Ответ: S = 20.

Задача 6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён квадрат.

Найдите: а) площадь квадрата; б) радиус описанной окружности.

а) Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей.

У нас диагонали АС = BD = 6.

б) Центр окружности, описанной около квадрата есть точка пересечения его диагоналей. Следовательно, искомый радиус R = 3.

Ответ: S = 18; R = 3.

Задача 7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм.

Найдите: а) площадь параллелограмма;

б) большую высоту параллелограмма.

а) Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию.

 S = AD ∙ BH = 6 ∙ 4 = 24.

б) Проведём высоту ВК. Из прямоугольного треугольника АНВ

с катетами АН = 3 и ВН = 4 по теореме Пифагора находим гипотенузу АВ=5.

CD = AB = 5. Итак, стороны параллелограмма АD = 6 и CD = 5. Сторона

CD – меньшая, значит высота ВК, проведённая к ней, является большей.

S = CD ∙ BK;

24 = 5 ∙ BK;   

BK = 24 : 5 = 4,8.  Ответ: S = 24; BK = 4,8.

Задача 8. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён ромб.

Найдите: а) площадь ромба;

б) радиус вписанной окружности.

а) Площадь ромба S = AD ∙ BH, где AD – основание, ВН – высота ромба.

S = 6 ∙ 4 = 24.

б) Окружность вписана в ромб. Её диаметр равен высоте ромба ВН.

Так как диаметр окружности равен 4, то радиус r = 2.

Ответ: S = 24; r = 2.

Задача 9. Найти площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Задача 10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите: длину средней линии и площадь этой трапеции.

Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.

MN – средняя линия.

Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту трапеции.

Ответ: MN=4,5; S=13,5.

Задача 11. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 30. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

Площадь заштрихованной фигуры – это площадь кольца, которую мы найдём как разность площадей данных кругов с общим центром.

Пусть R -радиус большего круга, r – радиус меньшего круга.

Все круги подобны.

Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.

 У нас R : r = 3 : 2, а площадь меньшего круга радиуса r равна 30.

Отсюда площадь заштрихованной фигуры равна:

Наверх