Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей

Задача. Предприятие планирует 1 июня 2027 года взять в банке кредит на 2 года в размере 8400 тыс. рублей. Банк предложил предприятию два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.

Вариант 1. Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по май каждого года необходимо выплатить часть долга; кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.

Вариант 2. 1-го числа каждого квартала, начиная с 1 июля 2027 года долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего квартала; во втором месяце каждого квартала необходимо выплатить часть долга; на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала; к 1 июня 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для предприятия варианту погашения кредита?

Решение.

1) Рассуждаем согласно варианту 1.

Обозначим сумму кредита через S. Пусть S = 8400 тыс. рублей.

1 год. Январь. Банк начислит 10%, и долг станет равным 1,1S.

Февраль-май. Предприятие делает первый платёж, равный Х тыс. рублей. Весь этот платёж засчитывается и долг становится равным (1,1S — Х) тыс. рублей.

2 год. Январь. Банк начислит 10%, и долг станет равным 1,1(1,1S — Х) тыс. рублей.

Февраль-май. Предприятие делает второй платёж, равный первому, т.е. Х тыс. рублей. И этот платёж полностью засчитывается. Долг погашен. Имеет место равенство: 1,1(1,1S — Х) — Х = 0. Решаем уравнение и находим значение Х.

1,1² ∙ S — 1,1X — X = 0;

1,1² ∙ S = 2,1X; заменим сумму кредита S его значением:

1,21 ∙ 8400 = 2,1Х. Отсюда Х = 1,21 ∙ 8400 : 2,1. Получаем Х = 4840 тыс. рублей.

Таким образом, за два года клиент выплатит банку

2Х = 2 ∙ 4840 = 9680 тыс. рублей.

2) Рассмотрим условия кредитования по варианту 2.

В условии сказано: «на конец каждого квартала долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на конец предыдущего квартала», поэтому обозначим эту величину через Y тысяч рублей. Тогда вся сумма, взятая в кредит, равна 8Y (год состоит из 4-х кварталов). Мы эту сумму знаем, это 8400 тысяч рублей,

т.е. 8Y = 8400 тыс. рублей, но рассуждать удобнее с использованием введённой переменной Y. Почему? Так удобнее, потому что проценты банк ежеквартально начисляет на остаток долга, т.е. сначала на 8Y, через квартал на 7Y, ещё через квартал на 6Y и т.д. Подсчитаем начисленные банком проценты за всё время кредитования, т.е. за 2 года=8 кварталов.

Это 3% от 8Y плюс 3% от 7Y плюс 3% от 6Y и т.д. Получаем:

0,03(8Y + 7Y + 6Y + 5Y + 4Y + 3Y + 2Y + Y) = 0,03 ∙ 36Y = 1,08Y.

Итак, по 2-му варианту банку нужно будет выплатить взятую сумму 8Y плюс проценты 1,08Y. Итого 9,08Y тыс. рублей.

Так как 8Y = 8400 тыс. рублей, то Y = 8400 : 8 = 1050 тыс. рублей.

Итак, по варианту 2 нужно будет выплатить

9,08 ∙ 1050 = 9534 тыс. рублей.

Вариант 1 более выгодный, так как платить меньше, разница в выплаченных суммах составит:

9680 — 9534 = 146 тыс. рублей или 146000 рублей.

Ответ: 146000 рублей.