В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точки D и E делят рёбра AC и SB в отношении 1 к 3
Задача. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС точки D и E делят соответственно рёбра АС и SB так, что AD : DC = SE : EB = 1 : 3. На продолжении ребра SC за точку S отмечена точка О. Прямые OD и ОЕ пересекают рёбра AS и ВС в точках P и F соответственно, причём СF = 2FВ.
а) Докажите, что отрезки DE и PF пересекаются.
б) Найдите отношение AP : PS.
Решение.
а) DPEF – плоский четырёхугольник, т.к. все его вершины лежат в плоскости
пересекающихся прямых OD и OF. Диагонали любого выпуклого четырёхугольника пересекаются.
б) Так как AD : DC = SE : EB = 1 : 3, то AD : АC = SE : SB = 1 : 4.
Проведём EN || BC. ΔSNE и ΔSCB подобны,
так как любой отрезок, проведённый в треугольнике параллельно любой стороне, отсекает от этого треугольника подобный ему треугольник.
Соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны:
Обозначим одну часть отрезка SС через x, тогда SN = x, SС = 4x,
следовательно, NC = SC – SN = 3x.
ΔONE и ΔOCF также подобны, так как NE || CF.
Соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны:
Обозначим одну часть отрезка ОС через y, тогда ON = 3y, OC = 8y,
следовательно, NC = OC – ON = 5y.
OS = OC – SC = 8y – 4x.
Проведём SK || CD в плоскости OCD.
Треугольники OKS и ODC подобны. Отсюда имеем
Это означает, что KS : DC = 1 : 6.
А так как AD : DC = 1 : 3, то DC = 3AD, значит, KS : (3AD) = 1 : 6.
Отсюда KS : AD = 1 : 2 или AD : KS = 2 : 1.
Так как AD || KS, то треугольники АDP и SKP подобны по двум равным углам (∠1 = ∠2 как накрест лежащие при KS || AC и секущей AS; углы при вершине Р равны как вертикальные).
Коэффициент подобия этих треугольников равен 2, (AD : KS = 2 : 1), следовательно, и AP : PS = 2 : 1.
Тогда искомое отношение AP : АS = 2 : 3.
Ответ: AP : АS = 2 : 3.
Смотрите видео решение:
Комментирование закрыто.