В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы: каждый январь долг увеличивается на 10%

Задача. В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:

-каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

-с февраля по июнь необходимо выплатить одним платежом часть долга;

-в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

-в июле 2030 года долг должен составлять 800 тысяч рублей;

-в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

Найдите начальную сумму кредита, если сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей.

Решение. Пусть в каждый из первых пяти лет долг будет уменьшаться на х тыс. рублей. Так как через эти 5 лет долг должен составлять 800 тыс. рублей, то первоначальный кредит равен (5х+800). С этой суммы посчитаем все проценты, которые будут начислены банком в первые 5 лет:

0,1(5х+800 + 4х+800 + 3х+800 + 2х+800 + х+800) =

= 0,1 ∙ 15х + 0,1 ∙ 800 ∙ 5 = 1,5х + 400 (тыс. руб.).

С июля 2030 года долг должен составлять 800 тысяч рублей по условию. Погашать его нужно будет следующие 5 лет на одну и ту же сумму. Мы легко определим эту сумму. Делим 800 на 5 и получаем 160 тысяч рублей. Однако, для удобства подсчёта процентов за последние 5 лет, обозначим эту сумму через у. Итак,

у=160, значит, долг 800=5у. Считаем проценты:

0,1(5у+4у+3у+2у+у) = 0,1 ∙ 15у = 1,5у.

Заменяем у на 160 и получаем 1,5 ∙ 160 = 240 тысяч рублей – проценты за последние 5 лет.

Таким образом, за всё время кредитования клиент выплатит:

(5х + 800) тыс. руб. — данную банком сумму;

(1,5х + 400) тыс. руб. — проценты за первые 5 лет;

240 тыс. руб. — проценты за последние 5 лет.

По условию сумма выплат по кредиту равна 2090 тысяч рублей. Получаем уравнение:

5х + 800 + 1,5х + 400 + 240 = 2090. Решаем:

6,5х = 2090-1440;

6,5х = 650;

х = 100.

На 100 тыс. руб. будет уменьшаться долг ежегодно в первые 5 лет.

А так как взятую сумму кредита мы обозначали через (5х+800) тысяч рублей, то она составит 5 ∙ 100 + 800 = 1300 тысяч рублей.

Ответ: 1300000 рублей.