Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок [0; 1]

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции

Решение. Отрезок [0; 1] содержится в множестве значений данной функции тогда и только тогда, когда уравнения

имеют решения.  Решаем каждое из этих уравнений.

Знаменатель этой дроби можно записать в виде:

(10х+а)²+15. Это выражение  при любых а и х положительно, поэтому данная дробь будет равна нулю, если числитель дроби будет равен нулю.

5а+150х-10ах=0  →  а+30х-2ах=0   →  2х(а-15)=а. Это уравнение имеет решение при любом а ≠ 15.

Умножим обе части равенства на знаменатель дроби.

5а+150х-10ах=100х²+20ах+а²+25. Упростим это выражение.

100х²+20ах+а²+25-5а-150х+10ах=0   →   100х²+30ах-150х+а²-5а+25=0;

100х²+2(15а-75)х+а²-5а+25=0. Это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен.

D₁ = 225a²-2250a+5625-100a²+500a-2500=125a²-1750a+3125=125(a²-14a+25)≥0. Решим уравнение  a²-14a+25=0. Дискриминант этого уравнения

D’=7²-25=49-25=24.

Тогда корни уравнения

Решениями неравенства (a²-14a+25)≥0

служит множество значений переменной а, удовлетворяющих условию

Исключаем из этих промежутков значение а ≠ 15.