Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) имеет хотя бы одну точку максимума
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция
f(x) = x2-4|x-a2|-8x
имеет хотя бы одну точку максимума.
Решение. Раскроем модульные скобки.
1) Пусть х-а2 ≥ 0, т.е. х ≥ a2. Получаем:
f(x) = x2-4x + 4a2-8x;
f(x) = x2-12x + 4a2. Вершина параболы А(m; n).
n = f(m) = f(6) = 62-12 ∙ 6 + 4a2 = 36-72 + 4a2 = 4a2-36.
A(6; 4a2-36). Ветви параболы f(x) = x2-12x + 4a2 направлены вверх, следовательно,
A(6; 4a2-36) – точка минимума функции.
2) Пусть х-а2 < 0, т.е. х < a2. Получаем:
f(x) = x2 + 4x-4a2-8x;
f(x) = x2-4x-4a2. Вершина параболы В(m; n).
n = f(m) = f(2) = 22-4 ∙ 2-4a2 = 4-8-4a2 = -4-4a2.
В(2; -4-4a2). Ветви параболы f(x) = x2-4x-4a2 направлены вверх, следовательно,
В(2; -4-4a2) – точка минимума функции.
Как могут быть расположены на оси Ох числа а2, 2 и 6, чтобы функция имела точку максимума?
Точка, соответствующая значению а2 должна лежать между точками, соответствующими числам 2 и 6. Тогда возрастание функции
f(x) = x2-4x-4a2 при 2 < x < a2 сменится убыванием функции
f(x) = x2-12x + 4a2 при a2 < x < 6, и точка пересечения парабол будет являться точкой максимума функции.
Итак, данная функция будет иметь точку максимума при условии, что 2 < a2 < 6. Значение а найдём из решения системы неравенств:
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок [0; 1]
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции
Решение. Отрезок [0; 1] содержится в множестве значений данной функции тогда и только тогда, когда уравнения
имеют решения. Решаем каждое из этих уравнений.
Знаменатель этой дроби можно записать в виде:
(10х+а)2+15. Это выражение при любых а и х положительно, поэтому данная дробь будет равна нулю, если числитель дроби будет равен нулю.
5а+150х-10ах=0 → а+30х-2ах=0 → 2х(а-15)=а. Это уравнение имеет решение при любом а ≠ 15.
Умножим обе части равенства на знаменатель дроби.
5а+150х-10ах=100х2+20ах+а2+25. Упростим это выражение.
100х2+20ах+а2+25-5а-150х+10ах=0 → 100х2+30ах-150х+а2-5а+25=0;
100х2+2(15а-75)х+а2-5а+25=0. Это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен.
D1 = 225a2-2250a+5625-100a2+500a-2500=125a2-1750a+3125=125(a2-14a+25)≥0. Решим уравнение a2-14a+25=0. Дискриминант этого уравнения
D’=72-25=49-25=24.
Тогда корни уравнения
Решениями неравенства (a2-14a+25)≥0
служит множество значений переменной а, удовлетворяющих условию
Исключаем из этих промежутков значение а ≠ 15.
Найдите все значения а, при каждом из которых функция
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция
f(x) = x2-3|x-a2|-5x
имеет более двух точек экстремума.
Решение. Экстремум (минимум или максимум) функции возможен в точке, в которой производная функции меняет знак. Раскроем модульные скобки.
1) Случай. Пусть х-а2 ≥ 0 → х ≥ а2. Получаем f(x) = x2-3x + 3a2-5x;
f(x) = x2-8x + 3a2. Находим производную. f ’(x) = 2x-8 = 2(x-4). Критическая точка х = 4. Производная в точке х = 4 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке х = 4 функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет минимум.
Найдём значение функции в точке х = 4.
f(4) = 42-8 ∙ 4 + 3a2 = 3a2-16.
Итак, xmin = 4; fmin = 3a2-16.
2) Случай. Пусть х-а2 < 0 → х < а2. Получаем f(x) = x2 + 3x-3a2-5x;
f(x) = x2-2x-3a2. Находим производную.
f ’(x) = 2x-2 = 2(x-1). Критическая точка х = 1. Производная в точке х = 1 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке
х = 1 функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет минимум.
Найдём значение функции в точке х = 1.
f(1) = 12-2 ∙ 1-3a2 = -1-3a2.
Итак, xmin = 1; fmin = -1-3a2.
Чтобы изобразить функции графически в каждом из двух рассмотренных случаев нам нужно определиться со значением числа а2.
Возможны три варианта расположения числа а2.
Вариант 1.
а2 < 1 < 4. Для определённости возьмём а2 = 0.
Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4; fmin = 3a2-16 = -16.
Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -16).
Так как функцию f(x) = x2-8x + 3a2 мы получили при условии,
что х ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 0.
Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет
xmin = 1; fmin = -1-3a2= -1.
Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -1).
Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 0.
Смотрите рис.1. Получается только 1 экстремум.
Вывод: вариант 1 не подойдёт.
Вариант 2.
1 < а2 < 4. Для определённости возьмём а2 = 3.
Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4; fmin = 3a2-16 = 3 ∙ 3-16 = -7.
Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -7).
Так как функцию f(x) = x2-8x + 3a2 мы получили при условии,
что х ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 3.
Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет xmin = 1; fmin = -1-3a2= -1-3 ∙ 3 = -10.
Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -10).
Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 3. Смотрите рис.2. Получается 3 экстремума.
Вывод: вариант 2 (1 < а2 < 4 ) подходит. Найдём значение а, решив систему неравенств:
Получаем а (-2; -1) (1; 2).
Вариант 3.
1 < 4 < а2.
Для определённости возьмём а2 = 5.
Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет
xmin = 4; fmin = 3a2-16 = 3 ∙ 5-16 = -1.
Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -1).
Так как функцию f(x) = x2-8x + 3a2 мы получили при условии, что х ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 5.
Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет
xmin = 1; fmin = -1-3a2= -1-3 ∙ 5 = -16.
Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -16).
Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 5.
Смотрите рис.3. Получается только 1 экстремум. Вывод: вариант 3 не подойдёт.
Ответ: а (-2; -1) (1; 2).
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет более одного решения.
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы.
1) Пусть х2 + у2 -25 ≥ 0. Неравенство х2 + у2 ≥ 25 или х2 + у2 ≥ 52 описывает множество точек координатной плоскости, лежащих вне круга с центром в начале координат и радиусом R = 5. На чертеже круг показан зелёным цветом.
Раскроем модульные скобки.
х2 + 20х + у2 -20у + 75 = х2 + у2-25;
20x-20y + 100 = 0. Разделим обе части равенства на 20.
х-у + 5 = 0; у = х + 5. Графиком служит прямая у = х, смещённая вдоль оси Оу на 5 единичных отрезков. Нам подойдут только те точки прямой у = х + 5, которые будут лежать вне круга х2 + у2 = 25. На чертеже показана эта часть прямой синим цветом.
2) Пусть х2 + у2-25 ≤ 0. Неравенство х2 + у2 ≤ 25 или х2 + у2 ≤ 52 описывает множество точек координатной плоскости, лежащих внутри круга с центром в начале координат и радиусом R = 5.
Раскроем модульные скобки.
х2 + 20х + у2 -20у + 75 = -х2 -у2 + 25;
2х2 + 20х + 2у2 -20у + 50 = 0. Разделим обе части равенства на 2.
х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0. Преобразуем это выражение.
x2 + 2 ∙ х ∙ 5 + 52-52 + y2 -2 ∙ y ∙ 5 + 52-52 + 25 = 0;
(x2 + 2 ∙ х ∙ 5 + 52) + (y2 -2 ∙ y ∙ 5 + 52) = 25;
(х + 5)2 + (у-5)2 = 52.
Это уравнение описывает окружность с центром в точке (-5; 5) и радиусом R = 5. Нам подойдут только те точки этой окружности, которые будут лежать внутри окружности
х2 + у2 = 25. На чертеже эти точки окружности обозначены красным цветом.
Рассмотрим второе уравнение системы.
х-у = а. Запишем равенство в виде: у = х-а. Графиком этой функции будет служить прямая у = х, смещённая вдоль оси Оу на а единичных отрезков. Для того, чтобы система уравнений имела более одного решения прямая у = х-а должна пересечь сине-красную линию чертежа два и более раз.
Решим систему уравнений у = х-а и х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0.
Подставим значение у = х-а в выражение х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0. Получаем:
х2 + 10х + (х-а)2 -10(х-а) + 25 = 0. Раскроем скобки.
х2 + 10х + х2-2ах + а2-10х +10а + 25 = 0;
2х2 -2ах + а2 +10а + 25 = 0.
Дискриминант D1 = a2-2(а2 +10а + 25) = a2-2а2-20а-50 = -а2-20а-50. Если дискриминант больше нуля, то последнее уравнение, а значит, и вся система имеют два действительных корня.
D1 > 0 → -а2-20а-50 > 0 → а2 + 20а + 50 < 0.
Это неравенство будет верным при a1 < a < a2, где a1 и a2 — корни квадратного уравнения а2 + 20а + 50 = 0.
Решим уравнение а2 + 20а + 50 = 0.
D1 = 102-50 = 50.
Таким образом, а2 + 20а + 50 < 0
и не будет иметь общих точек с графиком первого уравнения данной системы (с сине-красной линией).
и будет касаться красной линии. В точке касания система будет иметь единственное решение. Очевидно, что если мы будем перемещать прямую
параллельно самой себе в направлении прямой у = х + 5, то каждый раз будем получать по две точки пересечения, и данная система будет иметь два решения.
совпадет с прямой у = х + 5, то это будет означать, что данная система имеет множество решений.
Если бы вторым уравнением данной системы было уравнение, приводящееся к виду
у = х + а, то мы бы сказали, что данная система будет иметь более двух решений
У нас же прямая у = х-а или у = х + (- а), следовательно, при условии:
прямая у = х + (- а) пересечёт сине-красную линию более двух раз и, значит, данная система будет иметь более одного решения.
