Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS

Найдите все значения а, при каждом из которых функция

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция

f(x) = x2-3|x-a2|-5x

имеет более двух точек экстремума.

Решение. Экстремум (минимум или максимум) функции возможен в точке, в которой производная функции меняет знак. Раскроем модульные скобки.

1) Случай. Пусть х-а2 ≥ 0   →   х  ≥ а2. Получаем f(x) = x2-3x + 3a2-5x;

f(x) = x2-8x + 3a2. Находим производную. f ’(x) = 2x-8 = 2(x-4). Критическая точка х = 4. Производная в точке х = 4 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке х = 4 функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет минимум.

Найдём значение функции в точке х = 4.

f(4) = 42-8 4 + 3a2 = 3a2-16.

Итак, xmin = 4;  fmin = 3a2-16.

2) Случай. Пусть х-а2 < 0   →   х  < а2. Получаем f(x) = x2 + 3x-3a2-5x;

f(x) = x2-2x-3a2. Находим производную.

f ’(x) = 2x-2 = 2(x-1). Критическая точка х = 1. Производная в точке х = 1 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке

х = 1 функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет минимум.

Найдём значение функции в точке х = 1.

f(1) = 12-2 1-3a2 = -1-3a2.

Итак, xmin = 1;  fmin =  -1-3a2.

Чтобы изобразить функции графически в каждом из двух рассмотренных случаев нам нужно определиться со значением числа а2.

Возможны три варианта расположения числа а2.

Вариант 1.

а2 < 1 < 4. Для определённости возьмём а2 = 0.

Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4;  fmin = 3a2-16 = -16.

Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -16).

Так как функцию f(x) = x2-8x + 3aмы получили при условии,

что х  ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 0.

Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет

xmin = 1;  fmin = -1-3a2= -1.

Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -1).

Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х  < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию     х < 0.

Смотрите рис.1. Получается только 1 экстремум.

Вывод: вариант 1 не подойдёт.

Вариант 2.

1 < а2 < 4. Для определённости возьмём а2 = 3.

Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4;  fmin = 3a2-16 = 3 3-16 = -7.

Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -7).

Так как функцию f(x) = x2-8x + 3aмы получили при условии,

что х  ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 3.

Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет xmin = 1;  fmin = -1-3a2= -1-3 3 = -10.

Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -10).

Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х  < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 3. Смотрите рис.2. Получается 3 экстремума.

Вывод: вариант 2 (1 < а2 < 4 ) подходит. Найдём значение а, решив систему неравенств:

Получаем а  (-2; -1)  (1; 2).

Вариант 3.

1 < 4 < а2.

Для определённости возьмём а2 = 5.

Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет

xmin = 4;  fmin = 3a2-16 = 3 5-16 = -1.

Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -1).

Так как функцию f(x) = x2-8x + 3aмы получили при условии, что х  ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 5.

Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет

xmin = 1;  fmin = -1-3a2= -1-3 5 = -16.

Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -16).

Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х  < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 5.

Смотрите рис.3. Получается только 1 экстремум. Вывод: вариант 3 не подойдёт.

Ответ: а  (-2; -1)  (1; 2).

 

Оставить свой комментарий

Наверх