Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас! НАШЕ МЕНЮ НИЖЕ ВАМ В ПОМОЩЬ.
RSS

Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) имеет хотя бы одну точку максимума

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция

f(x) = x2-4|x-a2|-8x

имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение. Раскроем модульные скобки.

1) Пусть х-а2 ≥ 0, т.е. х ≥ a2. Получаем:

f(x) = x2-4x + 4a2-8x;

f(x) = x2-12x + 4a2. Вершина параболы А(m; n).

n = f(m) = f(6) = 62-12 6 + 4a2 = 36-72 + 4a2 = 4a2-36.

A(6; 4a2-36). Ветви параболы f(x) = x2-12x + 4a2 направлены вверх, следовательно,

A(6; 4a2-36) – точка минимума функции.

2) Пусть х-а2 < 0, т.е. х < a2. Получаем:

f(x) = x2 + 4x-4a2-8x;

f(x) = x2-4x-4a2. Вершина параболы В(m; n).

n = f(m) = f(2) = 22-4 2-4a2 = 4-8-4a2 = -4-4a2.

В(2; -4-4a2). Ветви параболы f(x) = x2-4x-4a2 направлены вверх, следовательно,

В(2; -4-4a2) – точка минимума функции.

Как могут быть расположены на оси Ох числа а2, 2 и 6, чтобы функция имела точку максимума?

Точка, соответствующая значению а2 должна лежать между точками, соответствующими числам 2 и 6. Тогда возрастание функции

f(x) = x2-4x-4a2 при 2 < x < a2 сменится убыванием функции

f(x) = x2-12x + 4a2 при a2 < x < 6, и точка пересечения парабол будет являться точкой максимума функции.

Итак, данная функция будет иметь точку максимума при условии, что 2 < a2 < 6. Значение а найдём из решения системы неравенств:

 

Комментирование закрыто.

вход на сайт тестов онлайн по математике для 10 класса
Тесты по математике

Подготовка к ЕГЭ

Наверх