Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) имеет хотя бы одну точку максимума

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция

f(x) = x²-4|x-a²|-8x

имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение. Раскроем модульные скобки.

1) Пусть х-а² ≥ 0, т.е. х ≥ a². Получаем:

f(x) = x²-4x + 4a²-8x;

f(x) = x²-12x + 4a². Вершина параболы А(m; n).

n = f(m) = f(6) = 6²-12 ∙ 6 + 4a² = 36-72 + 4a² = 4a²-36.

A(6; 4a²-36). Ветви параболы f(x) = x²-12x + 4a² направлены вверх, следовательно,

A(6; 4a²-36) – точка минимума функции.

2) Пусть х-а² < 0, т.е. х < a². Получаем:

f(x) = x² + 4x-4a²-8x;

f(x) = x²-4x-4a². Вершина параболы В(m; n).

n = f(m) = f(2) = 2²-4 ∙ 2-4a² = 4-8-4a² = -4-4a².

В(2; -4-4a²). Ветви параболы f(x) = x²-4x-4a² направлены вверх, следовательно,

В(2; -4-4a²) – точка минимума функции.

Как могут быть расположены на оси Ох числа а², 2 и 6, чтобы функция имела точку максимума?

Точка, соответствующая значению а² должна лежать между точками, соответствующими числам 2 и 6. Тогда возрастание функции

f(x) = x²-4x-4a² при 2 < x < a² сменится убыванием функции

f(x) = x²-12x + 4a² при a² < x < 6, и точка пересечения парабол будет являться точкой максимума функции.

Итак, данная функция будет иметь точку максимума при условии, что 2 < a² < 6. Значение а найдём из решения системы неравенств: