Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS

Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) имеет хотя бы одну точку максимума

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция

f(x) = x2-4|x-a2|-8x

имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение. Раскроем модульные скобки.

1) Пусть х-а2 ≥ 0, т.е. х ≥ a2. Получаем:

f(x) = x2-4x + 4a2-8x;

f(x) = x2-12x + 4a2. Вершина параболы А(m; n).

n = f(m) = f(6) = 62-12 6 + 4a2 = 36-72 + 4a2 = 4a2-36.

A(6; 4a2-36). Ветви параболы f(x) = x2-12x + 4a2 направлены вверх, следовательно,

A(6; 4a2-36) – точка минимума функции.

2) Пусть х-а2 < 0, т.е. х < a2. Получаем:

f(x) = x2 + 4x-4a2-8x;

f(x) = x2-4x-4a2. Вершина параболы В(m; n).

n = f(m) = f(2) = 22-4 2-4a2 = 4-8-4a2 = -4-4a2.

В(2; -4-4a2). Ветви параболы f(x) = x2-4x-4a2 направлены вверх, следовательно,

В(2; -4-4a2) – точка минимума функции.

Как могут быть расположены на оси Ох числа а2, 2 и 6, чтобы функция имела точку максимума?

Точка, соответствующая значению а2 должна лежать между точками, соответствующими числам 2 и 6. Тогда возрастание функции

f(x) = x2-4x-4a2 при 2 < x < a2 сменится убыванием функции

f(x) = x2-12x + 4a2 при a2 < x < 6, и точка пересечения парабол будет являться точкой максимума функции.

Итак, данная функция будет иметь точку максимума при условии, что 2 < a2 < 6. Значение а найдём из решения системы неравенств:

 

Комментирование закрыто.

Наверх