Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS
Записи с меткой "функция с параметром а"

Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) имеет хотя бы одну точку максимума

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция

f(x) = x2-4|x-a2|-8x

имеет хотя бы одну точку максимума.

Решение. Раскроем модульные скобки.

1) Пусть х-а2 ≥ 0, т.е. х ≥ a2. Получаем:

f(x) = x2-4x + 4a2-8x;

f(x) = x2-12x + 4a2. Вершина параболы А(m; n).

n = f(m) = f(6) = 62-12 6 + 4a2 = 36-72 + 4a2 = 4a2-36.

A(6; 4a2-36). Ветви параболы f(x) = x2-12x + 4a2 направлены вверх, следовательно,

A(6; 4a2-36) – точка минимума функции.

2) Пусть х-а2 < 0, т.е. х < a2. Получаем:

f(x) = x2 + 4x-4a2-8x;

f(x) = x2-4x-4a2. Вершина параболы В(m; n).

n = f(m) = f(2) = 22-4 2-4a2 = 4-8-4a2 = -4-4a2.

В(2; -4-4a2). Ветви параболы f(x) = x2-4x-4a2 направлены вверх, следовательно,

В(2; -4-4a2) – точка минимума функции.

Как могут быть расположены на оси Ох числа а2, 2 и 6, чтобы функция имела точку максимума?

Точка, соответствующая значению а2 должна лежать между точками, соответствующими числам 2 и 6. Тогда возрастание функции

f(x) = x2-4x-4a2 при 2 < x < a2 сменится убыванием функции

f(x) = x2-12x + 4a2 при a2 < x < 6, и точка пересечения парабол будет являться точкой максимума функции.

Итак, данная функция будет иметь точку максимума при условии, что 2 < a2 < 6. Значение а найдём из решения системы неравенств:

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок [0; 1]

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции

Решение. Отрезок [0; 1] содержится в множестве значений данной функции тогда и только тогда, когда уравнения

имеют решения.  Решаем каждое из этих уравнений.

Знаменатель этой дроби можно записать в виде:

(10х+а)2+15. Это выражение  при любых а и х положительно, поэтому данная дробь будет равна нулю, если числитель дроби будет равен нулю.

5а+150х-10ах=0  →  а+30х-2ах=0   →  2х(а-15)=а. Это уравнение имеет решение при любом а ≠ 15.

Умножим обе части равенства на знаменатель дроби.

5а+150х-10ах=100х2+20ах+а2+25. Упростим это выражение.

100х2+20ах+а2+25-5а-150х+10ах=0   →   100х2+30ах-150х+а2-5а+25=0;

100х2+2(15а-75)х+а2-5а+25=0. Это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен.

D1 = 225a2-2250a+5625-100a2+500a-2500=125a2-1750a+3125=125(a2-14a+25)≥0. Решим уравнение  a2-14a+25=0. Дискриминант этого уравнения

D’=72-25=49-25=24.

Тогда корни уравнения

Решениями неравенства (a2-14a+25)≥0

служит множество значений переменной а, удовлетворяющих условию

Исключаем из этих промежутков значение а ≠ 15.

Найдите все значения а, при каждом из которых функция

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция

f(x) = x2-3|x-a2|-5x

имеет более двух точек экстремума.

Решение. Экстремум (минимум или максимум) функции возможен в точке, в которой производная функции меняет знак. Раскроем модульные скобки.

1) Случай. Пусть х-а2 ≥ 0   →   х  ≥ а2. Получаем f(x) = x2-3x + 3a2-5x;

f(x) = x2-8x + 3a2. Находим производную. f ’(x) = 2x-8 = 2(x-4). Критическая точка х = 4. Производная в точке х = 4 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке х = 4 функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет минимум.

Найдём значение функции в точке х = 4.

f(4) = 42-8 4 + 3a2 = 3a2-16.

Итак, xmin = 4;  fmin = 3a2-16.

2) Случай. Пусть х-а2 < 0   →   х  < а2. Получаем f(x) = x2 + 3x-3a2-5x;

f(x) = x2-2x-3a2. Находим производную.

f ’(x) = 2x-2 = 2(x-1). Критическая точка х = 1. Производная в точке х = 1 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке

х = 1 функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет минимум.

Найдём значение функции в точке х = 1.

f(1) = 12-2 1-3a2 = -1-3a2.

Итак, xmin = 1;  fmin =  -1-3a2.

Чтобы изобразить функции графически в каждом из двух рассмотренных случаев нам нужно определиться со значением числа а2.

Возможны три варианта расположения числа а2.

Вариант 1.

а2 < 1 < 4. Для определённости возьмём а2 = 0.

Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4;  fmin = 3a2-16 = -16.

Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -16).

Так как функцию f(x) = x2-8x + 3aмы получили при условии,

что х  ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 0.

Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет

xmin = 1;  fmin = -1-3a2= -1.

Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -1).

Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х  < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию     х < 0.

Смотрите рис.1. Получается только 1 экстремум.

Вывод: вариант 1 не подойдёт.

Вариант 2.

1 < а2 < 4. Для определённости возьмём а2 = 3.

Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4;  fmin = 3a2-16 = 3 3-16 = -7.

Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -7).

Так как функцию f(x) = x2-8x + 3aмы получили при условии,

что х  ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 3.

Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет xmin = 1;  fmin = -1-3a2= -1-3 3 = -10.

Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -10).

Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х  < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 3. Смотрите рис.2. Получается 3 экстремума.

Вывод: вариант 2 (1 < а2 < 4 ) подходит. Найдём значение а, решив систему неравенств:

Получаем а  (-2; -1)  (1; 2).

Вариант 3.

1 < 4 < а2.

Для определённости возьмём а2 = 5.

Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет

xmin = 4;  fmin = 3a2-16 = 3 5-16 = -1.

Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -1).

Так как функцию f(x) = x2-8x + 3aмы получили при условии, что х  ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 5.

Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет

xmin = 1;  fmin = -1-3a2= -1-3 5 = -16.

Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -16).

Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х  < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 5.

Смотрите рис.3. Получается только 1 экстремум. Вывод: вариант 3 не подойдёт.

Ответ: а  (-2; -1)  (1; 2).

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет 4 решения

Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

Решение. 1) Случай.

Построим график функции f(x) = ax2 на

Графиком служит ветвь параболы.  Наименьшее значение f(0) = 0, наибольшее значение

Смотрите рис. 1.

Так как функция f(x) = ax2 по условию чётная, то её график симметричен относительно оси Оу. Рисуем левую часть параболы. Смотрите рис.2.

По условию функция f(x) = ax2 периодическая с периодом

поэтому параболу, изображённую на рис.2 отображаем далее вправо

служит кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и сжатая (или растянутая) вдоль оси Ох в зависимости от коэффициента |a + 2|. Чтобы понять, как же применить свойства функции

рассмотрим график этой функции. Смотрите рис. 4.

Так как мы проводили все рассуждения при условии, что а > 0, то раскрывая

Нам нужно так построить график этой функции, чтобы он пересекал параболы на рис. 3 в четырёх точках. Очевидно, что это произойдёт в случае, если общей точкой графиков

Смотрите рис.5.

Упростим это равенство и найдём значение а.

2) Случай.

Построим график функции f(x) = ax2 на

Графиком служит ветвь параболы, направленная вниз. Построим ветвь параболы, симметричную этой,

Пусть при а < 0 выражение (а + 2) остаётся положительным. Тогда ветви

находиться в первой и третьей четвертях. Продолжим параболу у = ax2 влево от уже построенной. Снизу параболы будут ограничены прямой

должна пересечь параболы в четырёх точках. Это произойдёт в том случае, если кривая пройдёт

которая также является точкой параболы. Смотрите рис. 6.

Пусть при а < 0 выражение (а + 2) станет отрицательным. Тогда ветви

будут находиться во второй и в четвёртой четвертях. Продолжим параболу у = ax2 вправо от уже построенной в четвёртой четверти. Снизу параболы будут ограничены

должна пересечь параболы в четырёх точках. Это произойдёт в том случае, если

которая также является точкой параболы. Смотрите рис. 7. Раскрываем модульные скобки: |a + 2| = -a -2 при условии, что  (а + 2) < 0.

Однако, при этом значении а выражение (а + 2) не станет отрицательным, следовательно, случай, показанный на рис. 7, не имеет места.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений данной функции содержит отрезок [2; 3].

Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений

Решение. ОДЗ. a ≥ -1. Преобразуем функцию.

Так как наименьшее значение а = -1, то наименьшее значение с = 1.

По условию необходимо, чтобы у  [2; 3],

Знаменатель этой дроби положителен при любых значениях х и с, поэтому, и числитель дроби должен быть неотрицателен.

c-2cos3x-2(sin23x + c2) ≥ 0  →    c-2cos3x-2(1-cos23x)-2c2 ≥ 0;

c -2cos3x-2 + 2cos23x-2c2 ≥ 0  →   2cos23x-2cos3x + c-2c2-2 ≥ 0.

Сделаем замену: cos3x = z. Получаем неравенство: 2z2-2z + c-2c2-2 ≥ 0. ( * )

Решим уравнение: 2z2-2z + c-2c2-2 = 0. ( ** )

Найдём дискриминант D1 = 1-2(c-2c2-2) = 1-2с + 4с2 + 4 = 4с2-2с + 5 > 0 при любом значении с. Корни уравнения ( ** ):

Знаменатель этой дроби положителен при любых значениях х и с, поэтому, и числитель дроби должен быть неотрицателен.

c-2cos3x-3(sin23x + c2) ≤ 0  →    c-2cos3x-3(1-cos23x)-3c2 ≤ 0;

c-2cos3x-3 + 3cos23x-2c2 ≤ 0  →   3cos23x-2cos3x + c-3c2-3 ≤ 0.

Сделаем замену: cos3x = z. Получаем неравенство: 3z2-2z + c-3c2-3 ≤ 0. ( *** )

Решим уравнение: 3z2-2z + c-3c2-3 = 0. ( **** )

Найдём дискриминант D1 = 1-3(c-3c2-3) = 1-3с + 9с2 + 9 = 9с2-3с + 10 > 0 при любом значении с. Корни уравнения ( **** ):

3) Чтобы найти общее решение неравенств ( * ) и ( *** ) нужно правильно расположить числа

на числовой прямой. Для  определённости подставим с = 1    в каждое из выражений и получим:

Очевидно, что z’1 ≤  z1 ≤  z2 ≤  z‘2 . Отмечаем эти числа на числовой прямой.

Двойная штриховка показывает общее решение неравенств ( * ) и ( *** ).

Итак, мы получили: z’1  ≤  z  ≤  z1,

Так как z = cos3x, а-1 ≤ cos3x ≤ 1, то -1 ≤ z ≤ 1, то есть необходимо, чтобы

Решаем первое неравенство.

(помним, что  9с2-3с + 10 > 0 при любом значении с).

2-3с-6 ≤ 0   →  3с2-с-2 ≤ 0.

Найдём корни уравнения  3с2-с-2 = 0.  Дискриминант D = 1-4 3 (-2) = 25.

Неравенство 3с2-с-2 ≤ 0 выполняется при

Решаем второе неравенство.

Это неравенство верно при любых значениях с

( а что неравенство 4с2-2с + 5 > 0 при любом значении с мы помним).

Итак, неравенство:

Так как наименьшее возможное значение с = 1, то получаем

Ответ: а = -1.

Наверх