Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) имеет хотя бы одну точку максимума
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция
f(x) = x2-4|x-a2|-8x
имеет хотя бы одну точку максимума.
Решение. Раскроем модульные скобки.
1) Пусть х-а2 ≥ 0, т.е. х ≥ a2. Получаем:
f(x) = x2-4x + 4a2-8x;
f(x) = x2-12x + 4a2. Вершина параболы А(m; n).
n = f(m) = f(6) = 62-12 ∙ 6 + 4a2 = 36-72 + 4a2 = 4a2-36.
A(6; 4a2-36). Ветви параболы f(x) = x2-12x + 4a2 направлены вверх, следовательно,
A(6; 4a2-36) – точка минимума функции.
2) Пусть х-а2 < 0, т.е. х < a2. Получаем:
f(x) = x2 + 4x-4a2-8x;
f(x) = x2-4x-4a2. Вершина параболы В(m; n).
n = f(m) = f(2) = 22-4 ∙ 2-4a2 = 4-8-4a2 = -4-4a2.
В(2; -4-4a2). Ветви параболы f(x) = x2-4x-4a2 направлены вверх, следовательно,
В(2; -4-4a2) – точка минимума функции.
Как могут быть расположены на оси Ох числа а2, 2 и 6, чтобы функция имела точку максимума?
Точка, соответствующая значению а2 должна лежать между точками, соответствующими числам 2 и 6. Тогда возрастание функции
f(x) = x2-4x-4a2 при 2 < x < a2 сменится убыванием функции
f(x) = x2-12x + 4a2 при a2 < x < 6, и точка пересечения парабол будет являться точкой максимума функции.
Итак, данная функция будет иметь точку максимума при условии, что 2 < a2 < 6. Значение а найдём из решения системы неравенств:
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок [0; 1]
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции
Решение. Отрезок [0; 1] содержится в множестве значений данной функции тогда и только тогда, когда уравнения
имеют решения. Решаем каждое из этих уравнений.
Знаменатель этой дроби можно записать в виде:
(10х+а)2+15. Это выражение при любых а и х положительно, поэтому данная дробь будет равна нулю, если числитель дроби будет равен нулю.
5а+150х-10ах=0 → а+30х-2ах=0 → 2х(а-15)=а. Это уравнение имеет решение при любом а ≠ 15.
Умножим обе части равенства на знаменатель дроби.
5а+150х-10ах=100х2+20ах+а2+25. Упростим это выражение.
100х2+20ах+а2+25-5а-150х+10ах=0 → 100х2+30ах-150х+а2-5а+25=0;
100х2+2(15а-75)х+а2-5а+25=0. Это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен.
D1 = 225a2-2250a+5625-100a2+500a-2500=125a2-1750a+3125=125(a2-14a+25)≥0. Решим уравнение a2-14a+25=0. Дискриминант этого уравнения
D’=72-25=49-25=24.
Тогда корни уравнения
Решениями неравенства (a2-14a+25)≥0
служит множество значений переменной а, удовлетворяющих условию
Исключаем из этих промежутков значение а ≠ 15.
Найдите все значения а, при каждом из которых функция
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция
f(x) = x2-3|x-a2|-5x
имеет более двух точек экстремума.
Решение. Экстремум (минимум или максимум) функции возможен в точке, в которой производная функции меняет знак. Раскроем модульные скобки.
1) Случай. Пусть х-а2 ≥ 0 → х ≥ а2. Получаем f(x) = x2-3x + 3a2-5x;
f(x) = x2-8x + 3a2. Находим производную. f ’(x) = 2x-8 = 2(x-4). Критическая точка х = 4. Производная в точке х = 4 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке х = 4 функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет минимум.
Найдём значение функции в точке х = 4.
f(4) = 42-8 ∙ 4 + 3a2 = 3a2-16.
Итак, xmin = 4; fmin = 3a2-16.
2) Случай. Пусть х-а2 < 0 → х < а2. Получаем f(x) = x2 + 3x-3a2-5x;
f(x) = x2-2x-3a2. Находим производную.
f ’(x) = 2x-2 = 2(x-1). Критическая точка х = 1. Производная в точке х = 1 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке
х = 1 функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет минимум.
Найдём значение функции в точке х = 1.
f(1) = 12-2 ∙ 1-3a2 = -1-3a2.
Итак, xmin = 1; fmin = -1-3a2.
Чтобы изобразить функции графически в каждом из двух рассмотренных случаев нам нужно определиться со значением числа а2.
Возможны три варианта расположения числа а2.
Вариант 1.
а2 < 1 < 4. Для определённости возьмём а2 = 0.
Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4; fmin = 3a2-16 = -16.
Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -16).
Так как функцию f(x) = x2-8x + 3a2 мы получили при условии,
что х ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 0.
Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет
xmin = 1; fmin = -1-3a2= -1.
Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -1).
Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 0.
Смотрите рис.1. Получается только 1 экстремум.
Вывод: вариант 1 не подойдёт.
Вариант 2.
1 < а2 < 4. Для определённости возьмём а2 = 3.
Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4; fmin = 3a2-16 = 3 ∙ 3-16 = -7.
Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -7).
Так как функцию f(x) = x2-8x + 3a2 мы получили при условии,
что х ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 3.
Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет xmin = 1; fmin = -1-3a2= -1-3 ∙ 3 = -10.
Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -10).
Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 3. Смотрите рис.2. Получается 3 экстремума.
Вывод: вариант 2 (1 < а2 < 4 ) подходит. Найдём значение а, решив систему неравенств:
Получаем а (-2; -1) (1; 2).
Вариант 3.
1 < 4 < а2.
Для определённости возьмём а2 = 5.
Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет
xmin = 4; fmin = 3a2-16 = 3 ∙ 5-16 = -1.
Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -1).
Так как функцию f(x) = x2-8x + 3a2 мы получили при условии, что х ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 5.
Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет
xmin = 1; fmin = -1-3a2= -1-3 ∙ 5 = -16.
Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -16).
Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 5.
Смотрите рис.3. Получается только 1 экстремум. Вывод: вариант 3 не подойдёт.
Ответ: а (-2; -1) (1; 2).
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет 4 решения
Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
Решение. 1) Случай.
Построим график функции f(x) = ax2 на
Графиком служит ветвь параболы. Наименьшее значение f(0) = 0, наибольшее значение
Смотрите рис. 1.
Так как функция f(x) = ax2 по условию чётная, то её график симметричен относительно оси Оу. Рисуем левую часть параболы. Смотрите рис.2.
По условию функция f(x) = ax2 периодическая с периодом
поэтому параболу, изображённую на рис.2 отображаем далее вправо
служит кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и сжатая (или растянутая) вдоль оси Ох в зависимости от коэффициента |a + 2|. Чтобы понять, как же применить свойства функции
рассмотрим график этой функции. Смотрите рис. 4.
Так как мы проводили все рассуждения при условии, что а > 0, то раскрывая
Нам нужно так построить график этой функции, чтобы он пересекал параболы на рис. 3 в четырёх точках. Очевидно, что это произойдёт в случае, если общей точкой графиков
Смотрите рис.5.
Упростим это равенство и найдём значение а.
2) Случай.
Построим график функции f(x) = ax2 на
Графиком служит ветвь параболы, направленная вниз. Построим ветвь параболы, симметричную этой,
Пусть при а < 0 выражение (а + 2) остаётся положительным. Тогда ветви
находиться в первой и третьей четвертях. Продолжим параболу у = ax2 влево от уже построенной. Снизу параболы будут ограничены прямой
должна пересечь параболы в четырёх точках. Это произойдёт в том случае, если кривая 
пройдёт
которая также является точкой параболы. Смотрите рис. 6.
Пусть при а < 0 выражение (а + 2) станет отрицательным. Тогда ветви
будут находиться во второй и в четвёртой четвертях. Продолжим параболу у = ax2 вправо от уже построенной в четвёртой четверти. Снизу параболы будут ограничены
должна пересечь параболы в четырёх точках. Это произойдёт в том случае, если
которая также является точкой параболы. Смотрите рис. 7. Раскрываем модульные скобки: |a + 2| = -a -2 при условии, что (а + 2) < 0.
Однако, при этом значении а выражение (а + 2) не станет отрицательным, следовательно, случай, показанный на рис. 7, не имеет места.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений данной функции содержит отрезок [2; 3].
Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений
Решение. ОДЗ. a ≥ -1. Преобразуем функцию.
Так как наименьшее значение а = -1, то наименьшее значение с = 1.
По условию необходимо, чтобы у [2; 3],
Знаменатель этой дроби положителен при любых значениях х и с, поэтому, и числитель дроби должен быть неотрицателен.
c-2cos3x-2(sin23x + c2) ≥ 0 → c-2cos3x-2(1-cos23x)-2c2 ≥ 0;
c -2cos3x-2 + 2cos23x-2c2 ≥ 0 → 2cos23x-2cos3x + c-2c2-2 ≥ 0.
Сделаем замену: cos3x = z. Получаем неравенство: 2z2-2z + c-2c2-2 ≥ 0. ( * )
Решим уравнение: 2z2-2z + c-2c2-2 = 0. ( ** )
Найдём дискриминант D1 = 1-2(c-2c2-2) = 1-2с + 4с2 + 4 = 4с2-2с + 5 > 0 при любом значении с. Корни уравнения ( ** ):
Знаменатель этой дроби положителен при любых значениях х и с, поэтому, и числитель дроби должен быть неотрицателен.
c-2cos3x-3(sin23x + c2) ≤ 0 → c-2cos3x-3(1-cos23x)-3c2 ≤ 0;
c-2cos3x-3 + 3cos23x-2c2 ≤ 0 → 3cos23x-2cos3x + c-3c2-3 ≤ 0.
Сделаем замену: cos3x = z. Получаем неравенство: 3z2-2z + c-3c2-3 ≤ 0. ( *** )
Решим уравнение: 3z2-2z + c-3c2-3 = 0. ( **** )
Найдём дискриминант D1 = 1-3(c-3c2-3) = 1-3с + 9с2 + 9 = 9с2-3с + 10 > 0 при любом значении с. Корни уравнения ( **** ):
3) Чтобы найти общее решение неравенств ( * ) и ( *** ) нужно правильно расположить числа
на числовой прямой. Для определённости подставим с = 1 в каждое из выражений и получим:
Очевидно, что z’1 ≤ z1 ≤ z2 ≤ z‘2 . Отмечаем эти числа на числовой прямой.
Двойная штриховка показывает общее решение неравенств ( * ) и ( *** ).
Итак, мы получили: z’1 ≤ z ≤ z1,
Так как z = cos3x, а-1 ≤ cos3x ≤ 1, то -1 ≤ z ≤ 1, то есть необходимо, чтобы
Решаем первое неравенство.
(помним, что 9с2-3с + 10 > 0 при любом значении с).
9с2-3с-6 ≤ 0 → 3с2-с-2 ≤ 0.
Найдём корни уравнения 3с2-с-2 = 0. Дискриминант D = 1-4 ∙ 3 ∙ (-2) = 25.
Неравенство 3с2-с-2 ≤ 0 выполняется при
Решаем второе неравенство.
Это неравенство верно при любых значениях с
( а что неравенство 4с2-2с + 5 > 0 при любом значении с мы помним).
Итак, неравенство:
Так как наименьшее возможное значение с = 1, то получаем
Ответ: а = -1.
