Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два решения

Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два решения.

Решение. Найдём область допустимых значений данного уравнения. Под знаком квадратного корня должно быть неотрицательное выражение, поэтому

15 + 2х-х² ≥ 0. Тогда х²-2х-15 ≤ 0.

Находим корни квадратного уравнения х²-2х-15 = 0 и получаем х₁ = -3, х₂ = 5. Следовательно, неравенство х²-2х-15 ≤ 0 будет верным при х∈[-3; 5].

ОДЗ: х∈[-3; 5].

Перепишем данное уравнение в виде:

Левая часть равенства неотрицательна, следовательно и для правой части должно выполняться условие: ах + 4-9а ≥ 0. Так как х может принимать значения от -3 до 5, то наименьшее значение выражения

ах + 4-9а равно а ∙ (-3) + 4-9а = -3а + 4-9а = 4-12а = 0.

В неравенстве ах + 4-9а ≥ 0 выразим х.

ах ≥ 9а-4. Делим обе части на а. Так как а > 0, то знак неравенства не изменится.

При а = 0 правая часть равна 3.

Возведём обе части в квадрат.

15 + 2х-х² = 16. Упростим: х²-2х + 1 = 0   →    (х-1)² = 0.

Отсюда следует, что     х = 1 – единственный корень.

Вывод: значение а = 0 также удовлетворяет условию.