В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4350 тыс. рублей.

Задача. В октябре 2027 года Анна планирует взять кредит в банке на 7 лет в размере 4350 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

-в январе каждого года действия кредита долг увеличивается на 10% от суммы долга на конец предыдущего года;

-в период с февраля по сентябрь необходимо выплатить часть долга;

-в октябре каждого года в первые пять лет действия кредита (2028 – 2032 гг.) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на октябрь предыдущего года;

-в 2033 и 2034 годах выплаты по кредиту равны;

-к октябрю 2034 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту должна составить 6025 тыс. рублей. Сколько рублей составит выплата 2031 года?

Решение.

Пусть ежегодно в первые 5 лет долг будет уменьшаться на х тыс. рублей. Посчитаем сумму процентов, которые будут выплачены за эти 5 лет:

0,1 ∙ (4350 + (4350-х) + (4350-2х) + (4350-3х) + (4350-4х)) =

= 0,1 ∙ (5 ∙ 4350-10х) = (2175-х) тыс. рублей.

Следовательно, за первые 5 лет общие выплаты составят

5х + 2175-х = (4х + 2175) тыс. рублей. Остаток долга станет равным

(4350-5х) тыс. рублей (ежегодно будут списывать только х тыс. рублей).

Обозначим эту сумму (остаток долга) через S.

S = 4350-5x. Эта сумма будет выплачена в 2033 и 2034 годах двумя равными платежами – обозначим каждый такой платёж через Y. Как это будет происходить?

Банк увеличит сумму долга на 10% — получится 110% от S, т.е 1,1S.

Клиент платит Y тыс. рублей, и долг станет равным (1,1S-Y) тыс. рублей.

Банк начисляет на эту сумму 10% — долг составит 1,1(1,1S-Y).

Клиент выплачивает Y тыс. рублей, и долг обнулится, т.е. мы имеем равенство:

1,1 ∙ (1,1S -Y)-Y = 0.

1,1² ∙ S -1,1Y-Y = 0

1,21S -1,1Y -Y = 0

2,1Y = 1,21S.

А так как S = (4350-5х), то 2,1Y = 1,21(4350-5x). Выразим Y.

Так как Y – это платёж в каждый из двух последних лет кредитования, то за 2 последних года банку будет выплачено 2Y тыс. рублей.

Общие выплаты за все 7 лет составят:

4х + 2175 + 2Y или 6025 тыс. рублей.

4х + 2175 + 2Y = 6025;

4х + 2Y = 6025-2175;

4х + 2Y = 3850;

2х + Y = 1925.

Подставим вместо Y его значение и решим уравнение относительно х.

Умножаем обе части равенства на 42.

84х + 121(870-х) = 80850;

84х + 105270-121х = 80850;

84х -121х = 80850 -105270;

-37х = -24420;

х = 660.

Итак, на х или 660 тысяч рублей долг будет уменьшаться ежегодно в первые 5 лет.

За 2031 год выплата составит х + 0,1(4350-3х) = 0,7х+435. Так как х=660, то получим

0,7 ∙ 660 + 435 = 462 + 435 = 897 (тыс. рублей)

Ответ: 897 тысяч рублей.