Как найти косинус угла между векторами, изображёнными на координатной плоскости

Задача. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите cosα,

где α – угол между векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).

1 способ решения – традиционный.

Применим формулу \( cos \alpha=\frac{ \vec{a}\: \cdot\: \vec{b}}{| \vec{a}|\: \cdot\:| \vec{b}|}\ \)  ( * )

Здесь \( \vec{a}\: \cdot\: \vec{b}\ \)- скалярное произведение векторов \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \), которое равно сумме произведений соответственных координат этих векторов.

Требуется найти координаты и модули данных векторов.

Для вектора \( \vec{a}\ \)координаты начала А₁(-1; -4) и конца А₂(-4; 2).

Тогда абсцисса вектора \( \vec{a}\ \)равна -4-(-1) = -3; ордината 2-(-4) = 6.

Вектор \( \vec{a}\ \){-3; 6}, модуль вектора \( \vec{a}\ \):

\( | \vec{a}|=\sqrt{(-3)^2+6^2}\ \)= \( \sqrt{9+36}\ \)= \( \sqrt{45}\ \)= \( 3\sqrt{5}\ \).

Для вектора \( \vec{b}\ \)координаты начала В₁(-3; 5) и конца В₂(5; 1).

Тогда абсцисса  вектора \( \vec{b}\ \) равна 5-(-3) = 8; ордината 1-5 = -4.

Вектор \( \vec{b}\ \){8; -4}, модуль вектора \( \vec{b}\ \):

\( | \vec{b}|=\sqrt{8^2+(-4)^2}\ \)= \( \sqrt{64+16}\ \)= \( \sqrt{80}\ \)= \( 4\sqrt{5}\ \).

Все найденные значения подставляем в формулу ( * ):

\( cos \alpha=\frac{-3\: \cdot\:8\:+\:6\: \cdot\:(-4)}{3\sqrt{5}\ \cdot \:4\sqrt{5}}\ \);

\( cos \alpha=\frac{-48}{12\: \cdot\:5 }\ \);

\( cos \alpha=-\frac{4}{5}\ \);

cosα = -0,8.

Ответ: -0,8.

2 способ решения – нас не будут интересовать координаты векторов.

Выберем точку с целыми координатами на векторе \( \vec{a}\ \).

Пусть это будет точка М(-3; 0). Отложим от этой точки вектор \( \vec{MN}\ \), сонаправленный вектору \( \vec{b}\ \) так, чтобы точка N имела целые координаты. Достроим треугольник АМN.

     

Сторона АМ этого треугольника – это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1.

АМ² = 2² + 1² = 4 + 1= 5;

\( AM=\sqrt{5}\ \).

Сторона МN этого треугольника – это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 4 и 2.

МN² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20;

\( MN=\sqrt{20}\ \) или \( MN=2\sqrt{5}\ \).

Сторона АN этого треугольника – это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5 и 4.

АN² = 5² + 4² = 25 + 16 = 41;

\( AN=\sqrt{41}\ \).

Искомый угол АМТ обозначим через α

На основании теоремы косинусов

\( cos \alpha=\frac{AM^2+MN^2-AN^2}{2 \cdot AM\: \cdot\:MN}\ \);

\( cos \alpha=\frac{5+20-41}{2\sqrt{5}\: \cdot\:2\sqrt{5}}\ \);

\( cos \alpha=-\frac{16}{4\: \cdot\:5 }\ \);

\( cos \alpha=-\frac{4}{5}\ \);

cosα = -0,8.

Ответ: -0,8.

Ещё одна задача.

Задача. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите cosα, где α – угол между векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).

Смотрим видео.