Как найти скалярное произведение векторов

Задача. На координатной плоскости (рис.1) изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите скалярное произведение векторов \( \vec{a}\ \)и \( 2\vec{b}\ \).

Решение.

Скалярным произведением векторов

\( \vec{a}\ \){a₁; a₂} и \( \vec{b}\ \){b₁; b₂}

называется число a₁b₁ + a₂b₂.

Произведением вектора \( \vec{a}\ \){a₁; a₂} на число λ называется вектор \( λ\vec{a}\ \){λa₁; λa₂}.

Пусть вектор \( \vec{a}\ \)имеет началом точку

А₁(х₁; у₁), а концом – точку А₂(х₂; у₂).

Координатами вектора \( \vec{a}\ \) будем называть числа а₁ = х₂ -х₁, а₂ = у₂ -у₁.

    

У нас (см. рис.2) А₁(-2; 5), А₂(-6; -4).

Тогда \( \vec{a}(-4; -9)\ \).

Так как В₁(6; 2), В₂(1; -2), то \( \vec{b}\ \){-5; -4}.

Следовательно, \( 2\vec{b}(-10; -8)\ \).

Итак, искомое скалярное произведение

\( \vec{a}\ \)и \( 2\vec{b}\ \):

\( \vec{a}\ \)∙ \( 2\vec{b}\ \)= -4 ∙ (-10) + (-9) ∙ (-8) = 40 + 72 = 112.

Ответ: 112.

Задача. На координатной плоскости (рис.3) изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите скалярное произведение векторов \( 2\vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).

         

Решение.

У нас (см. рис.4) А₁(-6; 4), А₂(-2; -2).

Тогда \( \vec{a}\ \){4; -6} и \( 2\vec{a}\ \){8; -12}.

Начало и конец вектора \( \vec{b}\ \) – точки В₁(-1; -4) и В₂(2; 3),

следовательно, \( \vec{b}\ \){3; 7}.

Итак, искомое скалярное произведение

\( 2\vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \):

\( 2\vec{a}\ \)∙ \( \vec{b}\ \)= 8 ∙ 3 + (-12) ∙ 7 = 24 -84 = -60.

Ответ: -60.

Задача. Даны векторы \( \vec{a}\ \)(2; -5) и  \( \vec{b}\ \)(5; 7). Найдите скалярное произведение векторов \( 0,6\vec{a}\ \)и \(1,4\vec{b}\ \).

Решение.

\( 0,6\vec{a}\ \)(0,6 ∙ 2; 0,6 ∙ (-5)); \( 0,6\vec{a}\ \)(1,2; -3).

\( 1,4\vec{b}\ \)(1,4 ∙ 5; 1,4 ∙ 7); \( 1,4\vec{b}\ \)(7; 9,8).

Скалярное произведение этих векторов

\( 0,6\vec{a}\ \)∙ \(1,4\vec{b}\ \) = 1,2 ∙ 7 + (-3) ∙ 9,8 = 8,4 -29,4 = -21.

Ответ: -21.

Задача. Даны векторы \( \vec{a}\ \)(2,2; -4) и

\( \vec{b}\ \)(-1,25; -1). Найдите скалярное произведение векторов \( 3\vec{a}\ \)и \(4\vec{b}\ \).

Решение.

Искомое скалярное произведение векторов

\( 3\vec{a}\ \)∙ \(4\vec{b}\ \) = 12\( \vec{a}\ \)∙ \( \vec{b}\ \) = 12(2,2 ∙ (-1,25) + (-4) ∙ (-1)) =

= 12(-2,75 + 4) = 12 ∙ 1,25 = 15.

Ответ: 15.

Задача. На координатной плоскости (рис.5) изображены векторы \( \vec{a}\ \), \( \vec{b}\ \)и \( \vec{c}\ \). Найдите скалярное произведение \( \vec{a}\ \)∙ \( (\vec{b}+\vec{c})\ \).

Решение.

Мы знаем, что скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответственных координат этих координат.

Сумму векторов \( \vec{b}\ \) и \( \vec{c}\ \) заменим вектором \( \vec{d}\ \).

Найдём координаты векторов \( \vec{a}\ \)и \( \vec{d}\ \).

Смотрим рис. 6.

     

А₁(-1; -2) и А₂(-7; 3). Тогда \( \vec{a}\ \){-6; 5}.

B₁(5; -4) и B₂(5; 1). Тогда \( \vec{b}\ \){0; 5}.

C₁(1; 4) и C₂(-6; -1). Тогда \( \vec{c}\ \){-7; -5}.

При сложении двух векторов, складываются соответственные координаты этих векторов.

Так как \( \vec{d}\ \)= \( \vec{b}\ \)+\( \vec{c}\ \), то \( \vec{d}\ \){-7; 0}. Тогда искомое скалярное произведение:

\( \vec{a}\ \)∙ \( ( \vec{b}+\vec{c})\ \)= \( \vec{a}\ \)∙ \( \vec{d}\ \) = -6 ∙ (-7) + 5 ∙ 0 = 42.

Ответ: 42.

Задача. На координатной плоскости (рис.7) изображены векторы \( \vec{a}\ \), \( \vec{b}\ \)и \( \vec{c}\ \). Найдите скалярное произведение \( \vec{a}\ \)∙ \( (3 \vec{a}- 2 \vec{b})\ \).

Решение.

Применим распределительный закон умножения векторов.

\( \vec{a}\ \)∙ \( (3 \vec{b}- 2 \vec{c})\ \)= \( 3\vec{a}\ \) ∙ \( \vec{b}\ \)- \( 2\vec{a}\ \) ∙ \( \vec{c}\ \).

Найдём скалярные произведения векторов: \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \); \( \vec{a}\ \)и \( \vec{c}\ \).

Определим координаты всех трёх векторов.

Смотрим рисунок 8.

     

А₁(-2; -1) и А₂(-7; 3). Тогда \( \vec{a}\ \){-5; 4}.

B₁(3; -1) и B₂(6; 4). Тогда \( \vec{b}\ \){3; 5}.

C₁(2; 5) и C₂(-2; 2). Тогда \( \vec{c}\ \){-4; -3}.

Тогда

\( \vec{a}\ \)∙ \( \vec{b}\ \)= -5 ∙ 3 + 4 ∙ 5 = -15 + 20 = 5;

\( \vec{a}\ \)∙ \( \vec{c}\ \)= -5 ∙ (-4) + 4 ∙ (-3) = 20 -12 = 8.

Искомое скалярное произведение векторов

\( \vec{a}\ \)∙ \( (3 \vec{b}- 2 \vec{c})\ \)= \( 3\vec{a}\ \) ∙ \( \vec{b}\ \)- \( 2\vec{a}\ \) ∙ \( \vec{c}\ \)= 3 ∙ 5 -2 ∙ 8 = 15 -16 = -1.

Ответ: -1.

Задача. Вычислите скалярное произведение векторов \( \vec{a}\ \) и \( \vec{b}\ \),

если |\( \vec{a}\ \)| = 3, |\( \vec{b}\ \)| = 4, а угол между ними равен 60°.

Решение.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

\( \vec{a}\ \) ∙ \( \vec{b}\ \)= |\( \vec{a}\ \)| ∙ |\( \vec{b}\ \)| ∙ cosφ,

где φ – угол между векторами \( \vec{a}\ \) и \( \vec{a}\ \).

Получаем

\( \vec{a}\ \) ∙ \( \vec{b}\ \)= 3 ∙ 4 ∙ cos60° = 12 ∙ 0,5 = 6.

Ответ: 6.

Задача. Вычислите скалярное произведение векторов

\( \vec{p}\ \) = \( \vec{a}\ \)- \( \vec{b}\ \)- \( \vec{c}\ \) и \( \vec{q}\ \) = \( \vec{a}\ \)- \( \vec{b}\ \)+\( \vec{c}\ \),

если |\( \vec{a}\ \)| = 5, |\( \vec{b}\ \)| = 2, |\( \vec{c}\ \)| = 4 и \( \vec{a} \perp \vec{b}\ \).

Решение.

\( \vec{p}\ \) ∙ \( \vec{q}\ \)= (\( \vec{a}\ \)- \( \vec{b}\ \)-\( \vec{c}\ \)) ∙ (\( \vec{a}\ \)- \( \vec{b}\ \)+\( \vec{c}\ \))=

= \( \vec{a}\ \)²-\( \vec{a}\ \)∙ \( \vec{b}\ \)-\( \vec{a}\ \)∙ \( \vec{c}\ \)-\( \vec{a}\ \) ∙ \( \vec{b}\ \)+\( \vec{b}\ \)²+\( \vec{b}\ \) ∙ \( \vec{c}\ \)+\( \vec{a}\ \) ∙ \( \vec{c}\ \)-\( \vec{b}\ \) ∙ \( \vec{c}\ \)-\( \vec{c}\ \)² =

= |\( \vec{a}\ \)|²+|\( \vec{b}\ \)|²-|\( \vec{c}\ \)|²-\(2 \vec{a}\ \)∙ \( \vec{b}\ \)= 5² + 2² -4² -0 =

= 25 + 4 -16 = 13.

Скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов равно нулю.

Так как у нас по условию \( \vec{a} \perp \vec{b}\ \), то \( \vec{a}\ \) ∙ \( \vec{b}\ \)= 0.

Ответ: 13.

Задача. Вычислите скалярное произведение векторов \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \),

если \( \vec{a}\ \)= 3\( \vec{p}\ \) -2\( \vec{q}\ \) и \( \vec{b}\ \)= \( \vec{p}\ \)+ 4\( \vec{q}\ \), где \( \vec{p}\ \)и \( \vec{q}\ \) – единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Решение.

\( \vec{a}\ \)∙ \( \vec{b}\ \)= (3\( \vec{p}\ \) -2\( \vec{q}\ \))(\( \vec{p}\ \)+ 4\( \vec{q}\ \)) = 3\( \vec{p}\ \)² -2\( \vec{p}\ \)∙ \( \vec{q}\ \)+ 12\( \vec{p}\ \)∙ \( \vec{q}\ \) -8\( \vec{q}\ \)² =

= 3|\( \vec{p}\ \)|² +10\( \vec{p}\ \)∙ \( \vec{q}\ \) -8|\( \vec{q}\ \)|² = 3 ∙ 1 + 10 · 0 -8 ∙ 1 = -5.

Ответ: -5.

Задача. Даны точки А(1; 3; 0), B(2; 3; -1),

C(1; 2; -1). Найдите скалярное произведение

векторов \( \vec{AB}\ \) и \( \vec{AC}\ \).

Решение.

Так как скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответственных координат этих векторов, то найдём эти координаты.

\( \vec{AB}\ \){2-1; 3-3; -1-0} → \( \vec{AB}\ \){1; 0; -1};

\( \vec{AC}\ \){1-1; 2-3; -1-0} → \( \vec{AC}\ \){0; -1; -1}.

\( \vec{AB}\ \) ∙ \( \vec{AC}\ \) = 1 ∙ 0 + 0 ∙ (-1) + (-1) ∙ (-1) = 1.

Ответ: 1.