Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас! НАШЕ МЕНЮ НИЖЕ ВАМ В ПОМОЩЬ.
RSS
Записи с меткой "егэ геометрия"

Задания на векторы в 1 части профильного ЕГЭ по математике

Задача. Даны векторы \( \vec{a}\ \)(2; 3) и  \( \vec{b}\ \)(-3; b0). Найдите b0, если |\( \vec{b}\ \)| = 1,5|\( \vec{a}\ \)|. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них.

Решение.

Модуль вектора \( \vec{a}\ \)(а1; а2) равен квадратному корню из суммы квадратов его координат:

\( | \vec{a}|=\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2}\ \);

\( | \vec{a}|=\sqrt{2^2+3^2}\ \); \( | \vec{a}|=\sqrt{13}\ \).

Найдём модуль вектора \( \vec{b}\ \)(-3; b0).

\( | \vec{b}|=\sqrt{(-3)^2+(b_0)^2}\ \);

\( | \vec{b}|=\sqrt{9+(b_0)^2}\ \).

По условию |\( \vec{b}\ \)| = 1,5|\( \vec{a}\ \)|. Возведём обе части равенства в квадрат.

Получаем b2 = 2,25a2.

9 + (b0)2 = 2,25 ∙ 13;

9 + (b0)2 = 29,25;

(b0)2 = 20,25;

b0 = ±4,5.

В ответе требуется записать меньшее из значений b0.

Ответ: -4,5.

Задача. Даны векторы \( \vec{a}\ \)(4; -1) и  \( \vec{b}\ \)(b0; 8). Найдите b0, если |\( \vec{b}\ \)| = 2,5|\( \vec{a}\ \)|. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.

Решение.

Найдём модуль вектора \( \vec{a}\ \)(4; -1).

\( | \vec{a}|=\sqrt{4^2+(-1)^2}\ \);

\( | \vec{a}|=\sqrt{17}\ \).

Найдём модуль вектора \( \vec{b}\ \)(b0; 8).

\( | \vec{b}|=\sqrt{(b_0)^2+8^2}\ \);

\( | \vec{b}|=\sqrt{(b_0)^2+64}\ \);

По условию |\( \vec{b}\ \)| = 2,5|\( \vec{a}\ \)|. Возведём обе части равенства в квадрат.

Получаем b2 = 6,25a2.

(b0)2 + 64 = 6,25 ∙ 17;

(b0)2 + 64 = 106,25;

(b0)2 = 42,25;

b0 = ±6,5.

В ответе требуется записать большее из значений b0.

Ответ: 6,5.

Задача. Даны векторы \( \vec{a}(-1; 3)\ \), \( \vec{b}(4; 1)\ \), \( \vec{c}(2; c_0)\ \). Найдите с0, если \( ( \vec{a}+\vec{b})\: \cdot \: \vec{c} =0\ \).  

Решение.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведение соответственных координат этих векторов.

3 ∙ 2 + 4 ∙ с0 = 0;

с0 = -6 : 4;

с0 = -1,5.

Ответ: -1,5.

Задача. Даны векторы \( \vec{a}(3; -1)\ \), \( \vec{b}(2; 0)\ \), \( \vec{c}(4; c_0)\ \). Найдите с0, если \( ( \vec{a}- \vec{b})\: \cdot \: \vec{c} =0\ \). 

Решение аналогично решению предыдущей задачи.

1 ∙ 4 + (-1) ∙ с0 = 0;

0 = -4;

с0 = 4.

Ответ: 4.

Задача. Даны векторы \( \vec{a}(-2; 4)\ \)и \( \vec{b}(2; -1)\ \). Известно, что векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и  \( \vec{b}\ \) сонаправленные, а \( | \vec{c}|=| \vec{a}|\ \). Найдите хсс.

Решение.

Так как длина вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)вдвое больше длины вектора \( \vec{b}\ \), а векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и  \( \vec{b}\ \) сонаправлены, то и координаты вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \) больше координат вектора \( \vec{b}\ \) в два раза.

Получаем хс = 2 ∙ 2 = 4 и ус = -1 ∙ 2 = -2.

Тогда хс + ус = 4 + (-2) = 2.

Ответ: 2.

Задача. Даны векторы \( \vec{a}(4; -6)\ \)и \( \vec{b}(-2; 3)\ \). Известно, что \( | \vec{c}|=| \vec{a}|\ \), а векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и \( \vec{b}\ \) противоположно направленные. Найдите хсс.  

Решение аналогично решению предыдущей задачи.

Длина вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)вдвое больше длины вектора \( \vec{b}\ \), а векторы \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \)и  \( \vec{b}\ \), по условию, противоположно направлены, следовательно отношение координат вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \) к соответственным координатам вектора \( \vec{b}\ \) равно (-2).

Получаем хс = -2 ∙ (-2) = 4 и ус = -2 ∙ 3 = -6.

Тогда хс + ус = 4 + (-6) = -2.

Ответ: -2.

Каждую из двух предыдущих задач можно решить быстро и легко графическим способом.

Смотрите видео.

Задача. На координатной плоскости (рис.1) изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите координаты вектора \( \vec{c}\ \), если \( \vec{c}=0,5 \vec{b}- \vec{a}\ \). В ответ запишите сумму координат вектора \( \vec{c}\ \).

Решение.

Определим координаты данных векторов.

       

Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала.

Смотрим рис. 2.

А1(1; 2) и А2(-5; 6); В1(5; -4) и В2(2; 4). Тогда

Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

По условию \( \vec{c}=0,5 \vec{b}- \vec{a}\ \). Следовательно,

Таким образом, сумма координат вектора \( \vec{c}\ \) равна 4,5.

Ответ: 4,5.

Задача. На координатной плоскости (рис.3) изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите координаты вектора \( \vec{c}(x_c; y_c)\ \), если \( \vec{c}=\vec{a}-1,5 \vec{b}\ \).

В ответ запишите произведение хс ∙ ус.

Решение аналогично решению предыдущей задачи.

   

Определим координаты данных векторов.

Смотрим рис. 4.

А1(-7; -1) и А2(5; 5); В1(2; -4) и В2(-6; 3). Тогда

По условию \( \vec{c}=\vec{a}-1,5 \vec{b}\ \). Следовательно,

Таким образом, искомое произведение координат вектора \( \vec{c}\ \)

хс ∙ ус = 24 ∙ (- 4,5) = -108.

Ответ: -108.

Задача. Даны векторы \( \vec{a}(4; y_a)\ \)и \( \vec{b}(x_b; 0)\ \), косинус угла между которыми равен \( \frac{2}{\sqrt{5}}\ \). Найдите уа. Если таких значений несколько, в ответ запишите большее из них.  

Решение.

Скалярное произведение двух векторов равно произведению модулей этих векторов на косинус угла φ между ними.

В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов

\( \vec{a}(x_1; y_1)\ \)и \( \vec{b}(x_2; y_2)\ \) выражается формулой

\( \vec{a} \cdot \vec{b} =x_1x_2+y_1y_2\ \)

Получаем равенство:

Возведём обе части равенства в квадрат:

20 ∙ (xb)2 = (16 + (ya)2) ∙ (xb)2; делим на (xb)2 обе части равенства:

20 = 16 + (уа)2;

а)2 = 4;

уа = ±2.

Большее из этих значений уа = 2.

Ответ: 2.

Задача. Даны векторы \( \vec{a}(x_a; -2)\ \)и \( \vec{b}(0; y_b)\ \), косинус угла между которыми равен \( -\sqrt{0,2}\ \). Найдите xа. Если таких значений несколько, в ответ запишите меньшее из них. 

Решение аналогично решению предыдущей задачи.

Составим равенство на основании формулы:

Разделим обе части равенства на (-0,2).

Возведём обе части равенства в квадрат:

20 ∙ (уb)2 = ((хa)2 + 4) ∙ (уb)2; делим на (уb)2 обе части равенства:

20 = (ха)2 + 4;

а)2 = 16;

ха = ±4.

Меньшее из этих значений ха = -4.

Ответ: -4.

Задача. Даны векторы \( \vec{a}(14; -2)\ \)и \( \vec{b}(-7; -1)\ \). Найдите cosα, где α – угол между векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). 

Решение.

Найдём модули данных векторов.

Получаем:

14 ∙ (-7) + (-2) ∙ (-1) = 10 ∙ 5 ∙ cosα;

-98 + 2 = 100 ∙ cosα, отсюда cosα = -0,96.

Ответ: -0,96.

Задача. Даны векторы \( \vec{a}(-6; 2)\ \)и \( \vec{b}(9; 13)\ \). Найдите косинус угла между

векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). 

Решение аналогично решению предыдущей задачи.

Находим модули данных векторов.

Получаем:

-6 ∙ 9 + 2 ∙ 13 = 2 ∙ 5 ∙ cosα;

-54 + 26 = 100 ∙ cosα;

-54 + 26 = 100 ∙ cosα;

-28 = 100 ∙ cosα;

отсюда cosα = -0,28.

Ответ: -0,28.

Как найти косинус угла между векторами, изображёнными на координатной плоскости

Задача. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите cosα,

где α – угол между векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).

1 способ решения – традиционный.

Применим формулу \( cos \alpha=\frac{ \vec{a}\: \cdot\: \vec{b}}{| \vec{a}|\: \cdot\:| \vec{b}|}\ \)  ( * )

Здесь \( \vec{a}\: \cdot\: \vec{b}\ \)- скалярное произведение векторов \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \), которое равно сумме произведений соответственных координат этих векторов.

Требуется найти координаты и модули данных векторов.

Для вектора \( \vec{a}\ \)координаты начала А1(-1; -4) и конца А2(-4; 2).

Тогда абсцисса вектора \( \vec{a}\ \)равна -4-(-1) = -3; ордината 2-(-4) = 6.

Вектор \( \vec{a}\ \){-3; 6}, модуль вектора \( \vec{a}\ \):

\( | \vec{a}|=\sqrt{(-3)^2+6^2}\ \)= \( \sqrt{9+36}\ \)= \( \sqrt{45}\ \)= \( 3\sqrt{5}\ \).

Для вектора \( \vec{b}\ \)координаты начала В1(-3; 5) и конца В2(5; 1).

Тогда абсцисса  вектора \( \vec{b}\ \) равна 5-(-3) = 8; ордината 1-5 = -4.

Вектор \( \vec{b}\ \){8; -4}, модуль вектора \( \vec{b}\ \):

\( | \vec{b}|=\sqrt{8^2+(-4)^2}\ \)= \( \sqrt{64+16}\ \)= \( \sqrt{80}\ \)= \( 4\sqrt{5}\ \).

Все найденные значения подставляем в формулу ( * ):

\( cos \alpha=\frac{-3\: \cdot\:8\:+\:6\: \cdot\:(-4)}{3\sqrt{5}\ \cdot \:4\sqrt{5}}\ \);

\( cos \alpha=\frac{-48}{12\: \cdot\:5 }\ \);

\( cos \alpha=-\frac{4}{5}\ \);

cosα = -0,8.

Ответ: -0,8.

2 способ решения – нас не будут интересовать координаты векторов.

Выберем точку с целыми координатами на векторе \( \vec{a}\ \).

Пусть это будет точка М(-3; 0). Отложим от этой точки вектор \( \vec{MN}\ \), сонаправленный вектору \( \vec{b}\ \) так, чтобы точка N имела целые координаты. Достроим треугольник АМN.

     

Сторона АМ этого треугольника – это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1.

АМ2 = 22 + 12 = 4 + 1= 5;

\( AM=\sqrt{5}\ \).

Сторона МN этого треугольника – это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 4 и 2.

МN2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20;

\( MN=\sqrt{20}\ \) или \( MN=2\sqrt{5}\ \).

Сторона АN этого треугольника – это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5 и 4.

АN2 = 52 + 42 = 25 + 16 = 41;

\( AN=\sqrt{41}\ \).

Искомый угол АМТ обозначим через α

На основании теоремы косинусов

\( cos \alpha=\frac{AM^2+MN^2-AN^2}{2 \cdot AM\: \cdot\:MN}\ \);

\( cos \alpha=\frac{5+20-41}{2\sqrt{5}\: \cdot\:2\sqrt{5}}\ \);

\( cos \alpha=-\frac{16}{4\: \cdot\:5 }\ \);

\( cos \alpha=-\frac{4}{5}\ \);

cosα = -0,8.

Ответ: -0,8.

Ещё одна задача.

Задача. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите cosα, где α – угол между векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).

Смотрим видео.

Точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС

Задача. Точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1, пересекаются в одной точке.

б) Известно, что АВ=АС=17 и ВС=16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.

Решение.

Так как точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС, то отрезки А1В1, В1С1 и А1С1 являются средними линиями треугольника АВС (рис. 1).

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Вследствие этого мы получаем 4 треугольника, равных между собой по трём сторонам. Нас будут интересовать 3 из них (окрашены).

Около каждого из этих треугольников описана окружность.

Центр окружности, описанной около любого треугольника – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Пусть точка О1 – центр окружности (рис. 2), описанной около ΔА1СВ1 – пересечение серединных перпендикуляров О1Х и О1Х1 к сторонам А1С и В1С;

точка О2 – центр окружности, описанной около ΔА1ВС1 – пересечение серединных перпендикуляров О2Y и О2Y1 к сторонам А1B и ВС1. Заметим также, что точки Х, А1 и Y делят ВС на 4 равных отрезка.

точка О3 – центр окружности, описанной около ΔB1AC1 – пересечение серединных перпендикуляров О3Z и О3Z1 к сторонам АB1 и AC1; Заметим также, что точки Х1, В1 и Z делят AС на 4 равных отрезка, a точки Y1, C1 и Z1 делят AB на 4 равных отрезка.

а) Около равных треугольников А1СВ1 и A1BC1 будут описаны равные окружности, которые пересекаются в точках А1 и М (рис. 3).

Общая хорда А1М перпендикулярна линии центров О1О2 и проходит через точку К – середину отрезка О1О2. Следовательно, А1М будет осью симметрии для этих окружностей и является серединным перпендикуляром к отрезку ВС.

Итак, А1М Ʇ О1О2 и А1М Ʇ ВС, значит, О1О2 || BC.

В прямоугольнике ХО1О2Y О1О2 = XY, поэтому, очевидно, что О1О2 = ½ ВС.

Аналогично, прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О1 и О3 (рис. 4), будет являться серединным перпендикуляром к стороне АС треугольника АВС, и О1О3 || AC и О1О3 = ½ АС.

Точно так же прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О2 и О3 будет являться серединным перпендикуляром к стороне АВ треугольника АВС, и О2О3 || AВ и О2О3 = ½АВ.

Как известно, серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке, поэтому все три окружности пересекаются в точке М, ч.т.д. Точка М – центр окружности, описанной около треугольника АВС.

б) Так как длины сторон треугольника О1О2О3 равны соответственно половинам сторон треугольника АВС, то Δ О1О2О3 подобен ΔАВС по трём пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия 1/2. Следовательно, радиус окружности, вписанной в треугольник О1О2О3 будет равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС.

Радиус окружности, вписанной в ΔАВС найдём по формуле:

По условию АВ=АС=17 и ВС=16 (рис. 5). Проведём высоту AA1.

В равнобедренном ΔАВС высота AA1 – медиана, поэтому, в прямоугольном ΔAА1B гипотенуза АВ=17, катет ВA1=8, тогда второй катет AA1=15 (пифагорова «тройка» 8, 15, 17 или примените теорему Пифагора).

Тогда  2S = ВС ∙ AA1 = 16 ∙ 15 = 240.

Периметр ΔАВС равен 17+17+16 = 50.

Тогда r = 240 : 50 = 4,8.

Искомый радиус вписанной окружности для Δ О1О2О3 равен половине найденного радиуса вписанной окружности для ΔАВС, делим 4,8 пополам и получаем 2,4.

Ответ: 2,4. Смотреть видео решение.

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС

Задача. Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

а) Докажите, что ∠AOB = ∠COD = 90°.

б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со всеми сторонами трапеции составляет 12/49 площади трапеции ABCD.

Решение.

а) По условию трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности с центром О, следовательно, точка О есть пересечение биссектрис всех углов трапеции. Так как сумма углов трапеции, прилегающих к боковой стороне АВ, равна 180°, то сумма половинок этих углов равна 90°. Таким образом в ΔАОВ

∠OАB + ∠АВО = 90°, значит, и ∠АОВ = 90°.

Аналогично, так как ∠BCD + ∠ADC = 180°, то в ΔСOD

∠OCD + ∠ODC = 90°, следовательно, и ∠COD = 90°. Доказано.

б) По условию равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности с центром О. Пусть эта окружность касается сторон трапеции в точках М, Р, N и К. Четырёхугольник MPNK является вписанным в данную окружность. Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной.

Тогда ОМ⟘АВ, ОР⟘ВС, ОN⟘CD, ОK⟘АD. Смотреть видео решение этой задачи.

РК – диаметр окружности, перпендикулярен к основаниям трапеции и проходит через их середины, так как длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. РК – ось симметрии данной трапеции и четырёхугольника МРNК. Будем рассматривать половину данной трапеции слева от РК.

Площадь Δ МРК состоит из суммы площадей двух равновеликих треугольников МОР и МОК.

Действительно, площадь каждого из них равна половине произведения двух сторон (радиусов окружности) на синус угла (с вершиной в точке О) между ними; значения синусов смежных углов равны.

Проведём ОВ. Это биссектриса угла В трапеции ABCD.

В равнобедренном треугольнике МВР биссектриса ВТ является и медианой, и высотой (Т – середина МР, ВТ⟘МР). Тогда медиана ОТ (высота и биссектриса) делит равнобедренный треугольник ОМР на два равных треугольника РТО и МТО.

Аналогично рассуждая относительно ОА – биссектрисы угла А трапеции ABCD, делаем вывод, что равны треугольники МЕО и КЕО. Половинки равновеликих треугольников МОР и МОК также равновелики (и равны), значит, треугольник МРК состоит из четырёх равных треугольников, поэтому, разделив его площадь на 4, получим:

Выделим эти треугольники жёлтым цветом.

Итак, в рассматриваемой прямоугольной трапеции АВРК остаются:

Δ ВТР = Δ ВТМ (закрасим зелёным цветом) и

Δ АЕК = Δ АЕМ (закрасим розовым цветом).

Сумма этих четырёх, попарно равных треугольников, равна

Делим это значение пополам. Получаем:

В задаче требуется найти отношение AD : BC.

Обозначим AD = a, BC = b.

Нам нужно найти значение a : b.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности:

ОМ –радиус окружности, проведённый в точку касания, является высотой в прямоугольном треугольнике АОВ. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

РТ – высота прямоугольного треугольника ВРО, проведённая к гипотенузе ВО, делит треугольник ВРО на подобные треугольники ВТР и РТО с коэффициентом подобия, равным отношению сходственных сторон:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Точно так же, КЕ – высота прямоугольного Δ АКО, проведённая к гипотенузе АО, делит этот треугольник на подобные треугольники АЕК и КЕО. Тогда коэффициент их подобия:

6 + 6t2 = 37t;

6t2 -37t + 6 = 0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле.

D = 372 -4 ∙ 6 ∙ 6 = 1369 -144 = 1225 = 352;

Итак, AD : BC = 6.

Ответ: 6.

В правильной треугольной призме на рёбрах АС и ВС отмечены соответствующие точки M и N

Задача.

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответствующие точки M и N так, что AM : MC = CN : BN = 2 : 1,

точка К – середина ребра А1С1

а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину В1.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ = 6, АА1 = 2,4.

Решение.

а) В основании призмы лежит равносторонний треугольник АВС. Обозначим его сторону через а. Смотрите рис. 1.

Тогда АМ = 2а/3, МС = а/3 и

CN = 2а/3, BN = а/3.    

А1К = КС1 = а/2.

Проведём MN и КМ. Это линии пересечения плоскости MNK с нижним основанием призмы и боковой гранью АА1С1С соответственно.

Проведём KF Ʇ AC, тогда AF = FC = a/2. А так как МС = а/3, то

MF = FC-MC = a/2-a/3 = a/6

Проведём В1K и BF. 

Четырёхугольник BFKB1 является прямоугольником, отсюда В1K = BF.

В равностороннем треугольнике АВС медиана BF является и высотой.

Таким образом, BF Ʇ AC.

Имеем: MC : FC = a/3 : a/2 = 2 : 3 и CN : BC = 2a/3 : a = 2 : 3.

Треугольники MCN и FCB подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу С между ними. Соответственные углы подобных треугольников равны, поэтому прямые MN и BF параллельны по признаку параллельности прямых. Но BF и В1К параллельны, как противоположные стороны прямоугольника BFKB1, следовательно, параллельны и прямые MN и В1K.

Итак, плоскость MNK пересекает параллельные плоскости нижнего и верхнего основания по параллельным прямым MN и В1K, а так как через точку К можно провести единственную прямую параллельную данной, то очевидно, что плоскость MNK проходит через вершину В1, ч.т.д. Четырёхугольник MNB1K – плоскость сечения данной призмы.

б) Способ 1 (традиционный). Мы доказали, что прямые MN и BF параллельны,

а так как BF Ʇ АС, то и MN Ʇ АС. Для того, чтобы найти расстояние от точки С до плоскости KMN, определим плоскость, проходящую через точку С и перпендикулярную плоскости KMN. Проведём СК и рассмотрим плоскость МСК. Смотрите рис. 2.

На основании теоремы о трёх перпендикулярах MN Ʇ KM (MN – прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной КМ, перпендикулярно её проекции FM).

Итак, MN Ʇ KM и MN Ʇ MC, следовательно, MN Ʇ (MCK). Плоскость MNK проходит через прямую MN, перпендикулярную плоскости MСK, а потому будет перпендикулярна плоскости MCK. Так как плоскость МСК перпендикулярна плоскости MNK и пересекает её по прямой МК, то расстоянием от точки С до плоскости KMN будет длина перпендикуляра, проведённого из точки С к прямой МК.

Треугольник МСК тупоугольный (угол СМК тупой, так как является смежным с острым углом KMF), поэтому точка Т — основание перпендикуляра СТ будет лежать на продолжении стороны МК треугольника МСК. Обозначим угол СМТ через α. Тогда и угол KMF равен α (вертикальные углы равны). В прямоугольном треугольнике СТM катет СТ = МС ∙ sinα,

где sinα = KF/MK из прямоугольного треугольника KFM.

По условию АВ = а = 6 и АА1 = 2,4.

Тогда МС = а/3 = 2; MF = a/6 = 1; KF = АА1 = 2,4.

Из прямоугольного треугольника KFM по теореме Пифагора

MK2 = MF2 + KF2 = 12 + 2,42 = 1 + 5,76 = 6,76. Отсюда MK = 2,6.

Получаем sinα = KF/MK = 2,4 : 2,6 = 12/13.

Искомый отрезок СТ = МС ∙ sinα = 2 ∙ 12/13 = 24/13. Это и есть расстояние от точки С до плоскости KMN.

Примечание. СТ можно было найти и без применения тригонометрии. Из подобия прямоугольных треугольников KFM и СТМ по острому углу α справедливо равенство

KF : CT = KM : MC, из которого и находим СТ.

Ответ: 24/13.

б) Способ 2 (метод координат в пространстве).  

Решение.

Введём систему координат, считая точку F началом координат, a отрезки FC, FB и FK, лежащими соответственно на осях абсцисс, ординат и аппликат.

Смотрите рис. 3.

Точка М имеет координаты (1; 0; 0), так как MF = a/6 = 6 : 6 = 1.

Точка К имеет координаты (0; 0; 2,4), так как KF = АА1 = 2,4.

Точка С имеет координаты (3; 0; 0), так как FC = a/2 = 6 : 2 = 3.

Плоскость KMN параллельна оси Оу и отсекает от оси Ох отрезок равный 1, а от оси Оz отрезок, равный 2,4. Следовательно, плоскость KMN задаётся уравнением

которое равносильно уравнению 2,4x + z = 2,4 или 2,4x + z -2,4 = 0.

Требуется найти расстояние от точки С(3; 0; 0) до плоскости 2,4x + z -2,4 = 0.

Расстояние h от точки с координатами (xo; yo; zo)

до плоскости ax + by + cz + d = 0 определяется по формуле:

У нас х0 = 3, у0 = z0 = 0; а = 2,4; b = 0, c = 1, d = -2,4.

Тогда искомое расстояние от точки С до плоскости KMN:

Ответ: 24/13.

В правильной треугольной пирамиде МАВС

Задача. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 10. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ-точка L. Известно, что АD=АE=LМ=4.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Решение.

Высота данной правильной пирамиды проектируется в центр правильного треугольника АВС – точку пересечения медиан (высот и биссектрис). Обозначим эту точку через О. Мы знаем, что эта точка (пересечения медиан) делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины, поэтому АО : ОЕ = 2 : 1, что равнозначно отношению АО : АF = 2 : 3. Проводим отрезки DE, DL и LE.

а) Так как DE отсекает от сторон АС и АВ равностороннего треугольника АВС отрезки по 4 см, то ∆ AED ∾ ∆ ABC  по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, ведь AD : AC = 2 : 3 (на самом деле, 4 : 6 = 2 : 3) и AE : AB = 2 : 3, и общему углу ВАС. Отсюда следует, что ∆AED тоже равносторонний и сторона его DE=AD=AE=4.

Соответствующие медианы подобных треугольников∆ AED и ∆ ABC  тоже относятся как 2 : 3, а это и означает, что точка О лежит на отрезке DE.

б) Найдем площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L, иначе говоря, найдем площадь треугольника DEL. Проведем LO. В равнобедренном треугольнике DEL медиана LO является и высотой.

Мы знаем только, что DE= 4. Потребуется найти LO.

Проведем LK⟘AF. Прямоугольные треугольники AKL и AOM подобны по общему  углу МАО. Справедливо равенство:

Итак, нам лишь потребуется найти МО-высоту пирамиды, которая является катетом в прямоугольном треугольнике АОМ.

Найдем АО, как  радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, по формуле:

Из  треугольника АОМ по теореме Пифагора:

Значение ОК найдем как разность отрезков АО и АК.

Значение АК найдем также из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.

Из прямоугольного треугольника OКL по теореме Пифагора найдем LO.

Радиус основания конуса с вершиной Р

Задача. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р.

б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

Решение.

а) Пусть дан конус с осевым сечением РАС и высотой РО. Радиус основания конуса ОА=6, образующая PA=9. Через точки А, В и Р проведено сечение. Это ∆АВР. Так как точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 5, то дуга АВ составляет 1/6 часть длины окружности (всего 1+5=6 частей), и поэтому, центральный угол, соответствующий дуге АВ также составляет 1/6 часть угловой меры окружности.

Получается, что треугольник АОВ-равносторонний, и АВ=ОВ=ОА=6.

б) Проведем ОМ⟘АВ. Точка М-середина хорды АВ (радиус, перпендикулярный хорде делит её и стягиваемую ею дугу пополам).

Таким образом, АМ=ВМ=АВ : 2 = 6 : 2 = 3.

В равнобедренном треугольнике АВР с основанием АВ медиана РМ является и высотой. Площадь треугольника АВР равна половине произведения АВ на высоту треугольника РМ.

РМ-катет в прямоугольном  ∆АМР. По теореме Пифагора:

РМ2 = РА2 -АМ2 = 92— 32 = 81- 27 = 72, отсюда

Искомая площадь сечения конуса плоскостью АВР:

В треугольной пирамиде МАВС основанием является

Задача. В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 5. На ребре Ас находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ -точка L. Известно, что AD=AL=2 и ВЕ=1.

а) Постройте сечение пирамиды LAED плоскостью, проходящей через точку L и перпендикулярное ребру DE.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

Решение.

В пирамиде МАВС ребро МВ является высотой. Основание АВС – правильный треугольник со стороной 3.

По условию ребро АМ=5, AD=AL=2 и ВЕ=1. Тогда АЕ=АВ-ВЕ=3-1=2.

В прямоугольном треугольнике АВМ гипотенуза АМ=5, катет АВ=3, тогда катет МB=4 (египетский треугольник, т.е. треугольник со сторонами 3, 4 и 5).

а) Построим сечение пирамиды LAED плоскостью проходящей через точку L и перпендикулярное ребру DE.

Заметим, что основание этой этой пирамиды ADE-равносторонний треугольник со стороной 2. На самом деле: отрезок DE отсекает от каждой из сторон АС и АЕ отрезки по 2 см.

Следовательно, ∆ADE∾∆ACB по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Поэтому ∆ADE также является равносторонним со стороной 2.

Построение сечения: проведем LF⟘AB. Так как LF лежит в грани МАВ, перпендикулярной основанию АВС, то LF является высотой пирамиды LAED.

Из точки F опустим перпендикуляр FK на ребро DE, и точку К соединим с точкой L. По ТТП (теореме о трех перпендикулярах) LK⟘DE (LK-наклонная к плоскости  ADE,  KF-её проекция, DE-прямая на плоскости, проведенная через основание наклонной перпендикулярно её проекции).

Так как DE⟘ FK и DE⟘ LK, то DE перпендикулярно плоскости LFK.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Таким образом, LFK-сечение пирамиды LAED плоскостью, проходящей через точку L перпендикулярно DЕ.

б) Найдем площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L, т.е. площадь треугольника DEL, которая будет равна половине произведения стороны DE на высоту LK, проведенную к этой стороне.

Так как LK-гипотенуза в прямоугольном треугольнике LFK, то потребуется найти катеты LF и FK.

∆ ABM ∾ ∆ AFL, как прямоугольные треугольники, имеющие один общий острый угол А. Отсюда

Из прямоугольного ∆AFL по теореме Пифагора находим:

Мы уже установили, что треугольник ADE, подобный треугольнику АВС, является равносторонним. Все углы равностороннего треугольника равны 60°. Из прямоугольного треугольника EKF следует:

Искомая площадь сечения:

Радиус основания конуса с вершиной

Задача. Радиус основания конуса с вершиной Р равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки А и В, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:3.

а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р.

б) Найдите площадь сечения конуса плоскостью АВР.

Решение.

а) Сечение конуса плоскостью, проходящей через точки А, В и Р – это равнобедренный ∆АРВ, основание которого сторона АВ – хорда окружности, стягивающая дугу 90°. А почему? На самом деле, так как по условию,  точки А и В делят окружность на две дуги, отношение которых 1 : 3, то меньшая дуга будет равна  одной четвёртой части от 360°- градусной меры всей окружности.

Далее, имеем треугольник АОВ — прямоугольный равнобедренный с катетом АО=6 (радиус основания конуса). Тогда

Проведем радиус, перпендикулярный хорде, который пересечет хорду в точке К.

ОК –  медиана прямоугольного равнобедренного треугольника АОВ, поэтому,

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

б) Площадь сечения конуса плоскостью АВР -это площадь треугольника АВР, которую найдем как половину произведения его стороны АВ на высоту РК, проведенную к этой стороне.

где РК-медиана, а потому и высота равнобедренного треугольника АВР. Из прямоугольного треугольника АКР по теореме Пифагора:

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС

Задача. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 8. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ – точка L. Известно, что СD=ВE=LА=2.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Решение.

а) В равностороннем треугольнике АВС, CD=BE=2 по условию, следовательно,

AD=AE=4. Треугольники ADE и ABC подобны по общему углу ВАС и соответственно пропорциональным сторонам этого угла:

Соответственные высоты этих подобных треугольников относятся друг к другу так же, т.е. АО : AF = 2 : 3.

Это означает, что точка О – середина отрезка DE, делит отрезок AF в отношении 2 : 1, считая от вершины. Следовательно, точка О является точкой пересечения медиан правильного треугольника АВС, т.е. центром основания пирамиды. Мы доказали, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Проведем отрезки LE и LD.

∆ DEL — сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L. Требуется найти площадь этого сечения, т.е. площадь треугольника DEL. Проведем отрезок LO, этот отрезок является медианой, а, значит, и высотой равнобедренного треугольника DEL. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Проведем LK ⟘АО и получим прямоугольный ∆ LOK, из которого можно будет найти LO. Также потребуется найти DE.

Нам нужно найти и LK и OK.

Значение LK найдем из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.

Итак, нам лишь потребуется найти МО – высоту пирамиды, которая является катетом в прямоугольном треугольнике АОМ.

Найдем АО, как  радиус окружности, описанной около правильного треугольника АВС, по формуле:

Из  треугольника АОМ по теореме Пифагора:

Значение ОК найдем как разность отрезков АО и АК.

Значение АК найдем также из подобия прямоугольных треугольников АОМ и АКL.

Из прямоугольного треугольника LOК по теореме Пифагора найдем LO.

Осталось найти  DE. Из подобия треугольников АВС и AED следует, что

вход на сайт тестов онлайн по математике для 10 класса
Тесты по математике

Подготовка к ЕГЭ

Наверх