В правильной треугольной призме на рёбрах АС и ВС отмечены соответствующие точки M и N

Задача.

В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ на рёбрах АС и ВС отмечены соответствующие точки M и N так, что AM : MC = CN : BN = 2 : 1,

точка К – середина ребра А₁С₁. 

а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину В₁.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ = 6, АА₁ = 2,4.

Решение.

а) В основании призмы лежит равносторонний треугольник АВС. Обозначим его сторону через а. Смотрите рис. 1.

Тогда АМ = 2а/3, МС = а/3 и

CN = 2а/3, BN = а/3.    

А₁К = КС₁ = а/2.

Проведём MN и КМ. Это линии пересечения плоскости MNK с нижним основанием призмы и боковой гранью АА₁С₁С соответственно.

Проведём KF Ʇ AC, тогда AF = FC = a/2. А так как МС = а/3, то

MF = FC-MC = a/2-a/3 = a/6

Проведём В₁K и BF. 

Четырёхугольник BFKB₁ является прямоугольником, отсюда В₁K = BF.

В равностороннем треугольнике АВС медиана BF является и высотой.

Таким образом, BF Ʇ AC.

Имеем: MC : FC = a/3 : a/2 = 2 : 3 и CN : BC = 2a/3 : a = 2 : 3.

Треугольники MCN и FCB подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу С между ними. Соответственные углы подобных треугольников равны, поэтому прямые MN и BF параллельны по признаку параллельности прямых. Но BF и В₁К параллельны, как противоположные стороны прямоугольника BFKB₁, следовательно, параллельны и прямые MN и В₁K.

Итак, плоскость MNK пересекает параллельные плоскости нижнего и верхнего основания по параллельным прямым MN и В₁K, а так как через точку К можно провести единственную прямую параллельную данной, то очевидно, что плоскость MNK проходит через вершину В₁, ч.т.д. Четырёхугольник MNB₁K – плоскость сечения данной призмы.

б) Способ 1 (традиционный). Мы доказали, что прямые MN и BF параллельны,

а так как BF Ʇ АС, то и MN Ʇ АС. Для того, чтобы найти расстояние от точки С до плоскости KMN, определим плоскость, проходящую через точку С и перпендикулярную плоскости KMN. Проведём СК и рассмотрим плоскость МСК. Смотрите рис. 2.

На основании теоремы о трёх перпендикулярах MN Ʇ KM (MN – прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной КМ, перпендикулярно её проекции FM).

Итак, MN Ʇ KM и MN Ʇ MC, следовательно, MN Ʇ (MCK). Плоскость MNK проходит через прямую MN, перпендикулярную плоскости MСK, а потому будет перпендикулярна плоскости MCK. Так как плоскость МСК перпендикулярна плоскости MNK и пересекает её по прямой МК, то расстоянием от точки С до плоскости KMN будет длина перпендикуляра, проведённого из точки С к прямой МК.

Треугольник МСК тупоугольный (угол СМК тупой, так как является смежным с острым углом KMF), поэтому точка Т — основание перпендикуляра СТ будет лежать на продолжении стороны МК треугольника МСК. Обозначим угол СМТ через α. Тогда и угол KMF равен α (вертикальные углы равны). В прямоугольном треугольнике СТM катет СТ = МС ∙ sinα,

где sinα = KF/MK из прямоугольного треугольника KFM.

По условию АВ = а = 6 и АА₁ = 2,4.

Тогда МС = а/3 = 2; MF = a/6 = 1; KF = АА₁ = 2,4.

Из прямоугольного треугольника KFM по теореме Пифагора

MK² = MF² + KF² = 1² + 2,4² = 1 + 5,76 = 6,76. Отсюда MK = 2,6.

Получаем sinα = KF/MK = 2,4 : 2,6 = 12/13.

Искомый отрезок СТ = МС ∙ sinα = 2 ∙ 12/13 = 24/13. Это и есть расстояние от точки С до плоскости KMN.

Примечание. СТ можно было найти и без применения тригонометрии. Из подобия прямоугольных треугольников KFM и СТМ по острому углу α справедливо равенство

KF : CT = KM : MC, из которого и находим СТ.

Ответ: 24/13.

б) Способ 2 (метод координат в пространстве).  

Решение.

Введём систему координат, считая точку F началом координат, a отрезки FC, FB и FK, лежащими соответственно на осях абсцисс, ординат и аппликат.

Смотрите рис. 3.

Точка М имеет координаты (1; 0; 0), так как MF = a/6 = 6 : 6 = 1.

Точка К имеет координаты (0; 0; 2,4), так как KF = АА₁ = 2,4.

Точка С имеет координаты (3; 0; 0), так как FC = a/2 = 6 : 2 = 3.

Плоскость KMN параллельна оси Оу и отсекает от оси Ох отрезок равный 1, а от оси Оz отрезок, равный 2,4. Следовательно, плоскость KMN задаётся уравнением

которое равносильно уравнению 2,4x + z = 2,4 или 2,4x + z -2,4 = 0.

Требуется найти расстояние от точки С(3; 0; 0) до плоскости 2,4x + z -2,4 = 0.

Расстояние h от точки с координатами (x_o; y_o; z_o)

до плоскости ax + by + cz + d = 0 определяется по формуле:

У нас х₀ = 3, у₀ = z₀ = 0; а = 2,4; b = 0, c = 1, d = -2,4.

Тогда искомое расстояние от точки С до плоскости KMN:

Ответ: 24/13.