Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС

Задача. Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

а) Докажите, что ∠AOB = ∠COD = 90°.

б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со всеми сторонами трапеции составляет 12/49 площади трапеции ABCD.

Решение.

а) По условию трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности с центром О, следовательно, точка О есть пересечение биссектрис всех углов трапеции. Так как сумма углов трапеции, прилегающих к боковой стороне АВ, равна 180°, то сумма половинок этих углов равна 90°. Таким образом в ΔАОВ

∠OАB + ∠АВО = 90°, значит, и ∠АОВ = 90°.

Аналогично, так как ∠BCD + ∠ADC = 180°, то в ΔСOD

∠OCD + ∠ODC = 90°, следовательно, и ∠COD = 90°. Доказано.

б) По условию равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности с центром О. Пусть эта окружность касается сторон трапеции в точках М, Р, N и К. Четырёхугольник MPNK является вписанным в данную окружность. Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной.

Тогда ОМ⟘АВ, ОР⟘ВС, ОN⟘CD, ОK⟘АD. Смотреть видео решение этой задачи.

РК – диаметр окружности, перпендикулярен к основаниям трапеции и проходит через их середины, так как длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. РК – ось симметрии данной трапеции и четырёхугольника МРNК. Будем рассматривать половину данной трапеции слева от РК.

Площадь Δ МРК состоит из суммы площадей двух равновеликих треугольников МОР и МОК.

Действительно, площадь каждого из них равна половине произведения двух сторон (радиусов окружности) на синус угла (с вершиной в точке О) между ними; значения синусов смежных углов равны.

Проведём ОВ. Это биссектриса угла В трапеции ABCD.

В равнобедренном треугольнике МВР биссектриса ВТ является и медианой, и высотой (Т – середина МР, ВТ⟘МР). Тогда медиана ОТ (высота и биссектриса) делит равнобедренный треугольник ОМР на два равных треугольника РТО и МТО.

Аналогично рассуждая относительно ОА – биссектрисы угла А трапеции ABCD, делаем вывод, что равны треугольники МЕО и КЕО. Половинки равновеликих треугольников МОР и МОК также равновелики (и равны), значит, треугольник МРК состоит из четырёх равных треугольников, поэтому, разделив его площадь на 4, получим:

Выделим эти треугольники жёлтым цветом.

Итак, в рассматриваемой прямоугольной трапеции АВРК остаются:

Δ ВТР = Δ ВТМ (закрасим зелёным цветом) и

Δ АЕК = Δ АЕМ (закрасим розовым цветом).

Сумма этих четырёх, попарно равных треугольников, равна

Делим это значение пополам. Получаем:

В задаче требуется найти отношение AD : BC.

Обозначим AD = a, BC = b.

Нам нужно найти значение a : b.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности:

ОМ –радиус окружности, проведённый в точку касания, является высотой в прямоугольном треугольнике АОВ. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

РТ – высота прямоугольного треугольника ВРО, проведённая к гипотенузе ВО, делит треугольник ВРО на подобные треугольники ВТР и РТО с коэффициентом подобия, равным отношению сходственных сторон:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Точно так же, КЕ – высота прямоугольного Δ АКО, проведённая к гипотенузе АО, делит этот треугольник на подобные треугольники АЕК и КЕО. Тогда коэффициент их подобия:

6 + 6t² = 37t;

6t² -37t + 6 = 0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле.

D = 37² -4 ∙ 6 ∙ 6 = 1369 -144 = 1225 = 35²;

Итак, AD : BC = 6.

Ответ: 6.