Точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС
Задача. Точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1, пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ=АС=17 и ВС=16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.
Решение.
Так как точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС, то отрезки А1В1, В1С1 и А1С1 являются средними линиями треугольника АВС (рис. 1).
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
Вследствие этого мы получаем 4 треугольника, равных между собой по трём сторонам. Нас будут интересовать 3 из них (окрашены).
Около каждого из этих треугольников описана окружность.
Центр окружности, описанной около любого треугольника – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Пусть точка О1 – центр окружности (рис. 2), описанной около ΔА1СВ1 – пересечение серединных перпендикуляров О1Х и О1Х1 к сторонам А1С и В1С;
точка О2 – центр окружности, описанной около ΔА1ВС1 – пересечение серединных перпендикуляров О2Y и О2Y1 к сторонам А1B и ВС1. Заметим также, что точки Х, А1 и Y делят ВС на 4 равных отрезка.
точка О3 – центр окружности, описанной около ΔB1AC1 – пересечение серединных перпендикуляров О3Z и О3Z1 к сторонам АB1 и AC1; Заметим также, что точки Х1, В1 и Z делят AС на 4 равных отрезка, a точки Y1, C1 и Z1 делят AB на 4 равных отрезка.
а) Около равных треугольников А1СВ1 и A1BC1 будут описаны равные окружности, которые пересекаются в точках А1 и М (рис. 3).
Общая хорда А1М перпендикулярна линии центров О1О2 и проходит через точку К – середину отрезка О1О2. Следовательно, А1М будет осью симметрии для этих окружностей и является серединным перпендикуляром к отрезку ВС.
Итак, А1М Ʇ О1О2 и А1М Ʇ ВС, значит, О1О2 || BC.
В прямоугольнике ХО1О2Y О1О2 = XY, поэтому, очевидно, что О1О2 = ½ ВС.
Аналогично, прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О1 и О3 (рис. 4), будет являться серединным перпендикуляром к стороне АС треугольника АВС, и О1О3 || AC и О1О3 = ½ АС.
Точно так же прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О2 и О3 будет являться серединным перпендикуляром к стороне АВ треугольника АВС, и О2О3 || AВ и О2О3 = ½АВ.
Как известно, серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке, поэтому все три окружности пересекаются в точке М, ч.т.д. Точка М – центр окружности, описанной около треугольника АВС.
б) Так как длины сторон треугольника О1О2О3 равны соответственно половинам сторон треугольника АВС, то Δ О1О2О3 подобен ΔАВС по трём пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия 1/2. Следовательно, радиус окружности, вписанной в треугольник О1О2О3 будет равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС.
Радиус окружности, вписанной в ΔАВС найдём по формуле:
По условию АВ=АС=17 и ВС=16 (рис. 5). Проведём высоту AA1.
В равнобедренном ΔАВС высота AA1 – медиана, поэтому, в прямоугольном ΔAА1B гипотенуза АВ=17, катет ВA1=8, тогда второй катет AA1=15 (пифагорова «тройка» 8, 15, 17 или примените теорему Пифагора).
Тогда 2S = ВС ∙ AA1 = 16 ∙ 15 = 240.
Периметр ΔАВС равен 17+17+16 = 50.
Тогда r = 240 : 50 = 4,8.
Искомый радиус вписанной окружности для Δ О1О2О3 равен половине найденного радиуса вписанной окружности для ΔАВС, делим 4,8 пополам и получаем 2,4.
Ответ: 2,4. Смотреть видео решение.
Навигация
Предыдущая статья: ← Найдите все такие значения а, при каждом из которых
Следующая статья: Производная. Часть 1 →
Комментирование закрыто.