Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS

В треугольной пирамиде МАВС основанием является

Задача. В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 5. На ребре Ас находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ -точка L. Известно, что AD=AL=2 и ВЕ=1.

а) Постройте сечение пирамиды LAED плоскостью, проходящей через точку L и перпендикулярное ребру DE.

б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

Решение.

В пирамиде МАВС ребро МВ является высотой. Основание АВС – правильный треугольник со стороной 3.

По условию ребро АМ=5, AD=AL=2 и ВЕ=1. Тогда АЕ=АВ-ВЕ=3-1=2.

В прямоугольном треугольнике АВМ гипотенуза АМ=5, катет АВ=3, тогда катет МB=4 (египетский треугольник, т.е. треугольник со сторонами 3, 4 и 5).

а) Построим сечение пирамиды LAED плоскостью проходящей через точку L и перпендикулярное ребру DE.

Заметим, что основание этой этой пирамиды ADE-равносторонний треугольник со стороной 2. На самом деле: отрезок DE отсекает от каждой из сторон АС и АЕ отрезки по 2 см.

Следовательно, ∆ADE∾∆ACB по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Поэтому ∆ADE также является равносторонним со стороной 2.

Построение сечения: проведем LF⟘AB. Так как LF лежит в грани МАВ, перпендикулярной основанию АВС, то LF является высотой пирамиды LAED.

Из точки F опустим перпендикуляр FK на ребро DE, и точку К соединим с точкой L. По ТТП (теореме о трех перпендикулярах) LK⟘DE (LK-наклонная к плоскости  ADE,  KF-её проекция, DE-прямая на плоскости, проведенная через основание наклонной перпендикулярно её проекции).

Так как DE⟘ FK и DE⟘ LK, то DE перпендикулярно плоскости LFK.

Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

Таким образом, LFK-сечение пирамиды LAED плоскостью, проходящей через точку L перпендикулярно DЕ.

б) Найдем площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L, т.е. площадь треугольника DEL, которая будет равна половине произведения стороны DE на высоту LK, проведенную к этой стороне.

Так как LK-гипотенуза в прямоугольном треугольнике LFK, то потребуется найти катеты LF и FK.

∆ ABM ∾ ∆ AFL, как прямоугольные треугольники, имеющие один общий острый угол А. Отсюда

Из прямоугольного ∆AFL по теореме Пифагора находим:

Мы уже установили, что треугольник ADE, подобный треугольнику АВС, является равносторонним. Все углы равностороннего треугольника равны 60°. Из прямоугольного треугольника EKF следует:

Искомая площадь сечения:

 

Навигация

Оставить свой комментарий

Наверх