В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 2

Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 2.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки В, А₁ и F₁.

б) Найдите расстояние от точки В до прямой А₁F₁.

а) Верхнее основание плоскость BA₁F₁ пересекает по прямой A₁F₁. С нижним основанием секущая плоскость имеет общую точку В. Плоскость пересекает параллельные плоскости A₁B₁C₁D₁E₁F₁ и ABCDEF по параллельным прямым, следовательно, так как BE параллельна AF, то параллельна A₁F₁ и является прямой пересечения плоскости BA₁F₁ с нижним основанием призмы. Соединим A₁ и B; F₁ и E.

Трапеция A₁BEF₁ – сечение призмы плоскостью, проходящей через точки B, A₁ и F₁.

Так как A₁B и EF₁ – диагонали равных квадратов, то мы имеем равнобокую трапецию, в которой расстояние от B до A₁F₁ является расстоянием между основаниями трапеции, т.е. является высотой трапеции. Рассмотрим трапецию A₁BEF₁.

A₁F₁ = 2 (все ребра призмы по 2); BE = 4;

Это диагональ квадрата со стороной 2. Проведем F₁H⟘BE – высоту трапеции. Отрезок ЕН=(4-2) : 2=1.

Из прямоугольного ∆ EHF₁  по теореме Пифагора: