Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более 2-х решений
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений. 
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы.
Раскроем модульные скобки.
Определим знак каждого подмодульного выражения. Для этого воспользуемся методом интервалов.
а) x2-2х=х(х-2). x2-2х≥0 на промежутках (-∞; 0]U[2; +∞);
x2-2х<0 на промежутке (0; 2).
б) у2-2у≥0 на промежутках (-∞; 0]U[2; +∞); у2-2у<0 на промежутке (0; 2).
В зависимости от знака подмодульного выражения мы можем получить 4 разных уравнения.
1) Если x2-2х≥0 и у2-2у≥0, т.е. если
х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞), то после раскрытия модульных скобок мы получаем равенство:
х2+х2-2х=у2+у2-2у → 2х2-2х=2у2-2у → х2-х=у2-у → (х2-у2)-(х-у)=0;
(х-у)(х+у)-(х-у)=0 → (х-у)(х+у-1)=0.
Отсюда следует, что либо х-у=0, либо х+у-1=0, поэтому графиком этого уравнения будут служить точки, лежащие на прямых у=х и у= -х+1. Построим эти прямые на участках координатной плоскости для
х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞). Линии изобразим зеленым цветом. Смотрите координатную плоскость.
2) Если x2-2х<0 и у2-2у<0, т.е. если х∈(0; 2) и у∈(0; 2), то выражения в модульных скобках перепишем с противоположными знаками и получим:
х2-х2+2х=у2-у2+2у → у=х. График – прямая, которая является биссектрисой I и III-го координатных углов. Изобразим коричневым цветом только отрезок этой прямой при
х (0; 2) и у (0; 2).
3) Если x2-2х≥0 и у2-2у<0, т.е. если х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(0; 2), то получаем уравнение
х2+х2-2х= у2-у2+2у → 2у=2х2-2х → у=х2-х. Это квадратичная функция. Графиком служит парабола, пересекающая ось Ох в
точках (0; 0) и (2; 0), ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы O’(m; n), где m= -b : (2a) = 1 : 2 = 0,5;
n=у(m) = у(0,5)=0,52-0,5=0,25-0,5=-0,25. Синим цветом начертим часть этой параболы, точки которой удовлетворяют условиям:
х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(0; 2).
4) Если x2-2х<0 и у2-2у≥0, т.е.
если х∈(0; 2) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞), то после раскрытия модульных скобок мы получаем равенство:
х2-х2+2х=у2+у2-2у → 2х=2у2-2у → х=у2-у. Это квадратичная функция зависимости х от у. Эта парабола пересекает ось Оу в
точках (0; 0) и (0; 2). Вершина параболы
O”(m; n), m= -b : (2a) = 1 : 2 = 0,5;
n=x(m) = x(0,5)=0,52-0,5=0,25-0,5=-0,25. Так как функция у нас зависит от переменной у, то координаты вершины параболы х= -0,25, у=0,5.
Чертим красным цветом ту часть параболы, точки которой удовлетворяют условиям:
х∈(0; 2) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞).
Данная система уравнений должна иметь более двух решений, поэтому необходимо, чтобы прямая х + у = а пересекала построенный нами график более чем в двух точках. Запишем это уравнение в виде у = -х +а. График функции у = -х есть биссектриса II и IV-го координатных углов и имеет одну общую точку с графиком первого уравнения. Если этот график сдвинуть на один единичный отрезок вверх, то прямая у = -х +1 будет иметь множество общих точек с графиком первого уравнения (смотрите 1 пункт решения нашего задания), следовательно система будет иметь множество решений.
Вывод: при значениях 0< а ≤ 1 прямая у = -х + а будет иметь с графиком первого уравнения более двух общих точек. Ответ: 0< а ≤ 1.
Найдите все значения а, при каждом из которых функция
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция
f(x) = x2-3|x-a2|-5x
имеет более двух точек экстремума.
Решение. Экстремум (минимум или максимум) функции возможен в точке, в которой производная функции меняет знак. Раскроем модульные скобки.
1) Случай. Пусть х-а2 ≥ 0 → х ≥ а2. Получаем f(x) = x2-3x + 3a2-5x;
f(x) = x2-8x + 3a2. Находим производную. f ’(x) = 2x-8 = 2(x-4). Критическая точка х = 4. Производная в точке х = 4 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке х = 4 функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет минимум.
Найдём значение функции в точке х = 4.
f(4) = 42-8 ∙ 4 + 3a2 = 3a2-16.
Итак, xmin = 4; fmin = 3a2-16.
2) Случай. Пусть х-а2 < 0 → х < а2. Получаем f(x) = x2 + 3x-3a2-5x;
f(x) = x2-2x-3a2. Находим производную.
f ’(x) = 2x-2 = 2(x-1). Критическая точка х = 1. Производная в точке х = 1 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке
х = 1 функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет минимум.
Найдём значение функции в точке х = 1.
f(1) = 12-2 ∙ 1-3a2 = -1-3a2.
Итак, xmin = 1; fmin = -1-3a2.
Чтобы изобразить функции графически в каждом из двух рассмотренных случаев нам нужно определиться со значением числа а2.
Возможны три варианта расположения числа а2.
Вариант 1.
а2 < 1 < 4. Для определённости возьмём а2 = 0.
Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4; fmin = 3a2-16 = -16.
Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -16).
Так как функцию f(x) = x2-8x + 3a2 мы получили при условии,
что х ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 0.
Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет
xmin = 1; fmin = -1-3a2= -1.
Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -1).
Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 0.
Смотрите рис.1. Получается только 1 экстремум.
Вывод: вариант 1 не подойдёт.
Вариант 2.
1 < а2 < 4. Для определённости возьмём а2 = 3.
Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4; fmin = 3a2-16 = 3 ∙ 3-16 = -7.
Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -7).
Так как функцию f(x) = x2-8x + 3a2 мы получили при условии,
что х ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 3.
Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет xmin = 1; fmin = -1-3a2= -1-3 ∙ 3 = -10.
Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -10).
Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 3. Смотрите рис.2. Получается 3 экстремума.
Вывод: вариант 2 (1 < а2 < 4 ) подходит. Найдём значение а, решив систему неравенств:
Получаем а (-2; -1) (1; 2).
Вариант 3.
1 < 4 < а2.
Для определённости возьмём а2 = 5.
Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет
xmin = 4; fmin = 3a2-16 = 3 ∙ 5-16 = -1.
Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -1).
Так как функцию f(x) = x2-8x + 3a2 мы получили при условии, что х ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 5.
Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет
xmin = 1; fmin = -1-3a2= -1-3 ∙ 5 = -16.
Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -16).
Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 5.
Смотрите рис.3. Получается только 1 экстремум. Вывод: вариант 3 не подойдёт.
Ответ: а (-2; -1) (1; 2).
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет 4 решения
Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
Решение. 1) Случай.
Построим график функции f(x) = ax2 на
Графиком служит ветвь параболы. Наименьшее значение f(0) = 0, наибольшее значение
Смотрите рис. 1.
Так как функция f(x) = ax2 по условию чётная, то её график симметричен относительно оси Оу. Рисуем левую часть параболы. Смотрите рис.2.
По условию функция f(x) = ax2 периодическая с периодом
поэтому параболу, изображённую на рис.2 отображаем далее вправо
служит кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и сжатая (или растянутая) вдоль оси Ох в зависимости от коэффициента |a + 2|. Чтобы понять, как же применить свойства функции
рассмотрим график этой функции. Смотрите рис. 4.
Так как мы проводили все рассуждения при условии, что а > 0, то раскрывая
Нам нужно так построить график этой функции, чтобы он пересекал параболы на рис. 3 в четырёх точках. Очевидно, что это произойдёт в случае, если общей точкой графиков
Смотрите рис.5.
Упростим это равенство и найдём значение а.
2) Случай.
Построим график функции f(x) = ax2 на
Графиком служит ветвь параболы, направленная вниз. Построим ветвь параболы, симметричную этой,
Пусть при а < 0 выражение (а + 2) остаётся положительным. Тогда ветви
находиться в первой и третьей четвертях. Продолжим параболу у = ax2 влево от уже построенной. Снизу параболы будут ограничены прямой
должна пересечь параболы в четырёх точках. Это произойдёт в том случае, если кривая 
пройдёт
которая также является точкой параболы. Смотрите рис. 6.
Пусть при а < 0 выражение (а + 2) станет отрицательным. Тогда ветви
будут находиться во второй и в четвёртой четвертях. Продолжим параболу у = ax2 вправо от уже построенной в четвёртой четверти. Снизу параболы будут ограничены
должна пересечь параболы в четырёх точках. Это произойдёт в том случае, если
которая также является точкой параболы. Смотрите рис. 7. Раскрываем модульные скобки: |a + 2| = -a -2 при условии, что (а + 2) < 0.
Однако, при этом значении а выражение (а + 2) не станет отрицательным, следовательно, случай, показанный на рис. 7, не имеет места.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений
Решение. Так как правая часть равенства неотрицательна, то неотрицательной будет и левая часть неравенства.
Следовательно, x2-8x + y2 + 4y + 15 ≥ 0.
Выделим из алгебраических сумм (x2-8x) и (y2 + 4y) полные квадраты двучленов.
x2-2 ∙ х ∙ 4 + 42-42 + y2 + 2 ∙ y ∙ 2 + 22-22 + 15 ≥ 0;
(x2-2 ∙ х ∙ 4 + 42) + (y2 + 2 ∙ y ∙ 2 + 22) + 15 ≥ 16 + 4-15;
(х-4)2 + (у + 2)2 ≥ 5.
ОДЗ: решения системы находятся среди множества точек, лежащих вне окружности с центром в точке Q(4; -2) и радиусом R =√5 . Смотрите рисунок. Эта окружность изображена зелёным цветом
1) Раскроем модульные скобки в первом уравнении системы, считая подмодульное выражение отрицательным,
т.е. при 2х-у-10 < 0.
Запишем это неравенство в виде: у > 2x -10. Получаем:
x2-8x + y2 + 4y + 15 = 4 ∙ (-2х + у + 10);
x2-8x + y2 + 4y + 15 = -8х + 4у + 40;
x2 + y2 = 25. Графически это уравнение изображает окружность с центром в начале координат и радиусом R = 5.
Решением первого уравнения при условии у > 2x -10 является множество точек
окружности x2 + y2 = 25, лежащих выше прямой у = 2x-10 и находящихся вне окружности (х-4)2 + (у + 2)2 = 5. Эти точки изображены синим цветом.
2) Раскроем модульные скобки в первом уравнении системы, считая подмодульное выражение неотрицательным, т.е. при 2х-у-10 ≥ 0.
Запишем это неравенство в виде: у ≤ 2x -10. Получаем:
x2-8x + y2 + 4y + 15 = 4 ∙ (2х-у-10);
x2-8x + y2 + 4y + 15 = 8х-4у-40;
x2-16х + y2 + 8у = -55. Преобразуем это уравнение к виду:
x2-2 ∙ х ∙ 8 + 82-82 + y2 + 2 ∙ y ∙ 4 + 42-42 = -55;
(x2-2 ∙ х ∙ 8 + 82)-82 + (y2 + 2 ∙ y ∙ 4 + 42)-42 = -55 + 64 + 16;
(х-8)2 + (у + 4)2 = 25.
Графически это уравнение изображает окружность с центром
в точке (8; -4) и радиусом R = 5. Нам подойдут те точки этой окружности, которые лежат ниже прямой у = 2х-10 и находящиеся вне окружности (х-4)2 + (у + 2)2 = 5. Изображаем эти точки красным цветом.
3) Второе уравнение данной системы уравнений х + 2у = а запишем в виде:
занимала промежуточное положение между касательными к зелёной окружности и касательными к синей и красной окружностям, при этом последние касательные не подойдут, так как только в двух точках будут пересекать окружности. Числовое значение параметра а мы найдём, решив системы уравнений:
Будем решать каждую систему уравнений методом подстановки: значение у из первого уравнения подставляем во второе уравнение и получаем квадратное уравнение относительно переменной х. Далее потребуем, чтобы дискриминант квадратного уравнения был равен нулю. В этом случае квадратное уравнение, а значит и каждая система (1-3) будет иметь единственное решение, зависящее от значения а,
4x2-32x + 64 + x2 + a2 + 16-8x + 8a-2ax-20 = 0;
5x2-40x-2ax + 60 + a2 + 8a = 0;
5x2-2(20 + a)x + a2 + 8a + 60 = 0. Находим дискриминант по формуле для чётного второго коэффициента.
D1 = (20 + a)2-5(a2 + 8a + 60) = 400 + 40a + a2-5a2-40a-300 = 100-4a2.
D1 = 0 → 100-4a2 → a2 = 25 → a = ±5.
х2-16х + 64 + х2 + а2 + 16-4х + 4а-ах-25 = 0 | ∙ 4
4x2-64x + 256 + x2 + a2 + 64-16x + 16a-2ax-100 = 0;
5x2-80x-2ax + a2 + 16a + 220 = 0;
5x2-2(40 + a)x + a2 + 16a + 220 = 0. Находим дискриминант по формуле для чётного второго коэффициента.
D1 = (40 + a)2-5(a2 + 16a + 220) = 1600 + 80a + a2-5a2-80a-1100 = 500-4a2.
D1 = 0 → 500-4a2 → a2 = 125 .
являются касательными к окружности (х-8)2 + (у + 4)2 = 25 (красной на чертеже).
3) Убедимся, что к окружности x2 + y2 = 25 (синей окружности) касательными
4х2 + х2-2ах + а2-100 = 0 → 5х2-2ах + а2-100 = 0.
Дискриминант D1 = a2-5(a2-100) = a2-5a2 + 500 = 500-4a2. Смотрим рассуждения в пункте 2) и убеждаемся в том, что и к синей окружности касательными являются прямые
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений данной функции содержит отрезок [2; 3].
Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений
Решение. ОДЗ. a ≥ -1. Преобразуем функцию.
Так как наименьшее значение а = -1, то наименьшее значение с = 1.
По условию необходимо, чтобы у [2; 3],
Знаменатель этой дроби положителен при любых значениях х и с, поэтому, и числитель дроби должен быть неотрицателен.
c-2cos3x-2(sin23x + c2) ≥ 0 → c-2cos3x-2(1-cos23x)-2c2 ≥ 0;
c -2cos3x-2 + 2cos23x-2c2 ≥ 0 → 2cos23x-2cos3x + c-2c2-2 ≥ 0.
Сделаем замену: cos3x = z. Получаем неравенство: 2z2-2z + c-2c2-2 ≥ 0. ( * )
Решим уравнение: 2z2-2z + c-2c2-2 = 0. ( ** )
Найдём дискриминант D1 = 1-2(c-2c2-2) = 1-2с + 4с2 + 4 = 4с2-2с + 5 > 0 при любом значении с. Корни уравнения ( ** ):
Знаменатель этой дроби положителен при любых значениях х и с, поэтому, и числитель дроби должен быть неотрицателен.
c-2cos3x-3(sin23x + c2) ≤ 0 → c-2cos3x-3(1-cos23x)-3c2 ≤ 0;
c-2cos3x-3 + 3cos23x-2c2 ≤ 0 → 3cos23x-2cos3x + c-3c2-3 ≤ 0.
Сделаем замену: cos3x = z. Получаем неравенство: 3z2-2z + c-3c2-3 ≤ 0. ( *** )
Решим уравнение: 3z2-2z + c-3c2-3 = 0. ( **** )
Найдём дискриминант D1 = 1-3(c-3c2-3) = 1-3с + 9с2 + 9 = 9с2-3с + 10 > 0 при любом значении с. Корни уравнения ( **** ):
3) Чтобы найти общее решение неравенств ( * ) и ( *** ) нужно правильно расположить числа
на числовой прямой. Для определённости подставим с = 1 в каждое из выражений и получим:
Очевидно, что z’1 ≤ z1 ≤ z2 ≤ z‘2 . Отмечаем эти числа на числовой прямой.
Двойная штриховка показывает общее решение неравенств ( * ) и ( *** ).
Итак, мы получили: z’1 ≤ z ≤ z1,
Так как z = cos3x, а-1 ≤ cos3x ≤ 1, то -1 ≤ z ≤ 1, то есть необходимо, чтобы
Решаем первое неравенство.
(помним, что 9с2-3с + 10 > 0 при любом значении с).
9с2-3с-6 ≤ 0 → 3с2-с-2 ≤ 0.
Найдём корни уравнения 3с2-с-2 = 0. Дискриминант D = 1-4 ∙ 3 ∙ (-2) = 25.
Неравенство 3с2-с-2 ≤ 0 выполняется при
Решаем второе неравенство.
Это неравенство верно при любых значениях с
( а что неравенство 4с2-2с + 5 > 0 при любом значении с мы помним).
Итак, неравенство:
Так как наименьшее возможное значение с = 1, то получаем
Ответ: а = -1.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет более одного решения.
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы.
1) Пусть х2 + у2 -25 ≥ 0. Неравенство х2 + у2 ≥ 25 или х2 + у2 ≥ 52 описывает множество точек координатной плоскости, лежащих вне круга с центром в начале координат и радиусом R = 5. На чертеже круг показан зелёным цветом.
Раскроем модульные скобки.
х2 + 20х + у2 -20у + 75 = х2 + у2-25;
20x-20y + 100 = 0. Разделим обе части равенства на 20.
х-у + 5 = 0; у = х + 5. Графиком служит прямая у = х, смещённая вдоль оси Оу на 5 единичных отрезков. Нам подойдут только те точки прямой у = х + 5, которые будут лежать вне круга х2 + у2 = 25. На чертеже показана эта часть прямой синим цветом.
2) Пусть х2 + у2-25 ≤ 0. Неравенство х2 + у2 ≤ 25 или х2 + у2 ≤ 52 описывает множество точек координатной плоскости, лежащих внутри круга с центром в начале координат и радиусом R = 5.
Раскроем модульные скобки.
х2 + 20х + у2 -20у + 75 = -х2 -у2 + 25;
2х2 + 20х + 2у2 -20у + 50 = 0. Разделим обе части равенства на 2.
х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0. Преобразуем это выражение.
x2 + 2 ∙ х ∙ 5 + 52-52 + y2 -2 ∙ y ∙ 5 + 52-52 + 25 = 0;
(x2 + 2 ∙ х ∙ 5 + 52) + (y2 -2 ∙ y ∙ 5 + 52) = 25;
(х + 5)2 + (у-5)2 = 52.
Это уравнение описывает окружность с центром в точке (-5; 5) и радиусом R = 5. Нам подойдут только те точки этой окружности, которые будут лежать внутри окружности
х2 + у2 = 25. На чертеже эти точки окружности обозначены красным цветом.
Рассмотрим второе уравнение системы.
х-у = а. Запишем равенство в виде: у = х-а. Графиком этой функции будет служить прямая у = х, смещённая вдоль оси Оу на а единичных отрезков. Для того, чтобы система уравнений имела более одного решения прямая у = х-а должна пересечь сине-красную линию чертежа два и более раз.
Решим систему уравнений у = х-а и х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0.
Подставим значение у = х-а в выражение х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0. Получаем:
х2 + 10х + (х-а)2 -10(х-а) + 25 = 0. Раскроем скобки.
х2 + 10х + х2-2ах + а2-10х +10а + 25 = 0;
2х2 -2ах + а2 +10а + 25 = 0.
Дискриминант D1 = a2-2(а2 +10а + 25) = a2-2а2-20а-50 = -а2-20а-50. Если дискриминант больше нуля, то последнее уравнение, а значит, и вся система имеют два действительных корня.
D1 > 0 → -а2-20а-50 > 0 → а2 + 20а + 50 < 0.
Это неравенство будет верным при a1 < a < a2, где a1 и a2 — корни квадратного уравнения а2 + 20а + 50 = 0.
Решим уравнение а2 + 20а + 50 = 0.
D1 = 102-50 = 50.
Таким образом, а2 + 20а + 50 < 0
и не будет иметь общих точек с графиком первого уравнения данной системы (с сине-красной линией).
и будет касаться красной линии. В точке касания система будет иметь единственное решение. Очевидно, что если мы будем перемещать прямую
параллельно самой себе в направлении прямой у = х + 5, то каждый раз будем получать по две точки пересечения, и данная система будет иметь два решения.
совпадет с прямой у = х + 5, то это будет означать, что данная система имеет множество решений.
Если бы вторым уравнением данной системы было уравнение, приводящееся к виду
у = х + а, то мы бы сказали, что данная система будет иметь более двух решений
У нас же прямая у = х-а или у = х + (- а), следовательно, при условии:
прямая у = х + (- а) пересечёт сине-красную линию более двух раз и, значит, данная система будет иметь более одного решения.
15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r%.
Решение. Пусть ежемесячный платеж (без процентов) составляет х рублей. Тогда кредит был выдан в размере 25х рублей. Банку нужно вернуть эти 25х рублей плюс проценты за остаток вклада каждый месяц: 1-й месяц это 25х ∙ (r/100) ;
во 2-й месяц проценты на остаток вклада составят 24х ∙ (r/100) ;
в 3-й месяц проценты на остаток вклада составят 23х ∙ (r/100) ;
в 4-й месяц проценты на остаток вклада составят 22х ∙ (r/100) ;
…………………………………………………………………………..
во 24-й месяц проценты на остаток вклада составят 2х ∙ (r/100) ;
в последний 25-й месяц проценты на остаток вклада составят х ∙ (r/100) .
Общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования:
25х + (25х+24х+23х+22х+…+х) ∙ (r/100) =
По условию общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит. Получаем равенство:
Разделим обе части равенства на 25х и получим:
Ответ: 1.
31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн рублей в кредит
Задача. 31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определенное число процентов), затем Арсений переводит очередной транш. Арсений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй 638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Арсению?
Решение. Рассмотрим два способа решения задачи.
1 способ. С помощью формулы.
Применим формулу:
Здесь S – сумма кредита, выданная банком, которая полностью погашается за n
осуществленных после начисления r% по вкладу. У нас n = 2, тогда формула примет вид:
Подставляем все данные в формулу:
Разделим обе части равенства на 100 и приведем его к общему знаменателю.
10000(1+0,01r)2 = 5500(1+0,01r) + 6384. Делим обе части равенства на 4.
2500(1+0,01r)2 = 1375(1+0,01r) + 1596. Обозначим 1+0,01r через а. Получаем:
2500а2 = 1375а + 1596 → 2500а2-1375а-1596 = 0.
Дискриминант D = 13752-4 ∙ 2500 ∙ (-1596) = 1890625+15960000 = 17850625;
D = 42252 > 0; уравнение имеет два действительных корня.
Как вручную извлекать квадратные корни из целого числа смотрите здесь.
Мы получили а = 1+0,01r = 1,12 → 0,01r = 0,12 → r = 0,12 : 0,01 = 12.
Ответ: 12.
2 способ. Рассуждения по смыслу задачи.
Обозначим взятую в кредит сумму через S (у нас S=1 млн рублей), а через r – искомый процент банка.
1-ый год. Банк начисляет r% к взятой сумме, и сумма долга составит 100% + r% от S. Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь и умножить эту дробь на данное число.
100% + r% =1+0,01r. Обозначим это выражение через k. Итак, 1+0,01r= k.
Умножаем k на S. Получаем Sk. Арсений переводит в банк 550 тысяч рублей. Считать будем в миллионах рублей. Остаток по вкладу равен Sk-0,55.
2-ой год. Банк начисляет r% к остатку, т.е. Арсений теперь должен 100% + r% от (Sk-0,55). Это составит (1+0,01r) или k от (Sk-0,55), т.е. составит k(Sk-0,55). Арсений переводит в банк 638,4 тысяч рублей.
Остаток по вкладу равен k(Sk-0,55)-0,6384. А так как за два года Арсений рассчитался с банком, то получим равенство:
k(Sk-0,55)-0,6384=0. Помним, что S=1 млн рублей.
k(k-0,55)-0,6384=0;
k2-0,55k-0,6384=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле – находим дискриминант.
D=b2-4ac=0,552-4∙1∙(-0,6384)=0,3025+2,5536=2,8561=1,692>0; 2 действительных корня.
1+0,01r=k=1,12; отсюда 0,01r=0,12; r=12.
Ответ: 12%.
Выбор решения за тем, кто решает.
Как вручную извлекают квадратные корни из десятичной дроби смотрите здесь.
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение. Пусть ежемесячный взнос в банк (без процентов) составляет х рублей. Тогда в счет основного долга за первые 12 месяцев нужно возвратить 12х рублей. Теперь подсчитаем проценты. За 1-й месяц их набегает 24х ∙ 0,03; за 2-ой месяц – 23х ∙ 0,03; за 3-ий месяц – 22х ∙ 0,03 и т.д., а за 12-й месяц – 13х ∙ 0,03. Общая сумма процентов за первые 12 месяцев равна
(24х+23х+22х+ … +14х+13х) ∙ 0,03 = (24х+13х)/2 ∙ 12∙ 0,03 = 37х ∙ 6 ∙ 0,03 = 6,66х.
Зная, что в течение первого года кредитования нужно вернуть 466,5 тыс. рублей, составим уравнение:
12х + 6,66х = 466,5. Отсюда 18,66х = 466,5 → х = 466,5 : 18,66.
Получаем х = 25 тыс. рублей. Это ежемесячный взнос без процентов.
Кредит берётся на 24 месяца, следовательно, в кредит планируется взять
24 ∙ 25 тысяч рублей = 600 тысяч рублей.
Ответ: 600000.
15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение. Пусть ежемесячно нужно выплачивать х рублей без процентов. Тогда вся сумма кредита равна 21х рублей. Проценты насчитываются на остаток вклада после ежемесячной выплаты х рублей. На 11 месяц кредитования остаток вклада составит 11х (отсчитывайте 11-й месяц от 21-го месяца: 21-й, 20-й, 19-й, …) рублей. Так как по условию задачи долг возрастает на 1%, то проценты на сумму 11х равны 11х ∙ 0,01 = 0,11х рублей. Всего выплаты на 11-й месяц кредитования составят х + 0,11х = 1,11х рублей. По условию это 44,4 тысячи рублей. Получаем равенство: 1,11х = 44400, отсюда х = 44400 : 1,11 = 4440000 : 111 = 40000. Следовательно, ежемесячные выплаты (без процентов) составляют 40000 рублей, тогда сумма всего кредита равна 40000 ∙ 21 = 840000 рублей.
Посчитаем проценты за все время кредитования.
(21х + 20х + 19х + … + 2х + х) ∙ 0,01 = (21х+х)/2 ∙ 21∙ 0,01 = 11х ∙ 21∙ 0,01.
Подставим вместо х его значение 40000 рублей и получим:
11 ∙ 40000 ∙ 21∙ 0,01 = 92400 рублей. Вся сумма, которую нужно выплатить банку составляет 840000 + 92400 = 932400 рублей.
Ответ: 932400.
