31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн рублей в кредит

Задача. 31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определенное число процентов), затем Арсений переводит очередной транш. Арсений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй 638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Арсению?

Решение. Рассмотрим два способа решения задачи.

1 способ. С помощью формулы.

Применим формулу:

Здесь S – сумма кредита, выданная банком, которая  полностью погашается за n

осуществленных после начисления r% по вкладу. У нас n = 2, тогда формула примет вид:

Подставляем все данные в формулу:

Разделим обе части равенства на 100 и приведем его к общему знаменателю.

10000(1+0,01r)² = 5500(1+0,01r) + 6384. Делим обе части равенства на 4.

2500(1+0,01r)² = 1375(1+0,01r) + 1596. Обозначим 1+0,01r через а. Получаем:

2500а² = 1375а + 1596   →   2500а²-1375а-1596  = 0.

Дискриминант D = 1375²-4 ∙ 2500 ∙ (-1596) = 1890625+15960000 = 17850625;

D = 4225² > 0; уравнение имеет два действительных корня.

Как вручную извлекать квадратные корни из целого числа смотрите здесь.

Мы получили  а = 1+0,01r = 1,12   →   0,01r = 0,12   →  r = 0,12 : 0,01 = 12.

Ответ: 12.

2 способ. Рассуждения по смыслу задачи.

Обозначим взятую в кредит сумму через S (у нас S=1 млн рублей), а через r – искомый процент банка.

1-ый год. Банк начисляет r% к взятой сумме, и сумма долга составит 100% + r% от S. Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь и умножить эту дробь на данное число.

100% + r% =1+0,01r. Обозначим это выражение через k. Итак, 1+0,01r= k.

Умножаем k на S. Получаем Sk. Арсений переводит в банк 550 тысяч рублей. Считать будем в миллионах рублей. Остаток по вкладу равен Sk-0,55.

2-ой год. Банк начисляет r% к остатку, т.е. Арсений теперь должен 100% + r%  от (Sk-0,55). Это составит (1+0,01r) или  k  от (Sk-0,55), т.е. составит  k(Sk-0,55). Арсений переводит в банк 638,4 тысяч рублей.

Остаток по вкладу равен k(Sk-0,55)-0,6384. А так как за два года Арсений рассчитался с банком, то получим равенство:

k(Sk-0,55)-0,6384=0. Помним, что S=1 млн рублей.

k(k-0,55)-0,6384=0;

k²-0,55k-0,6384=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле – находим дискриминант.

D=b²-4ac=0,55²-4∙1∙(-0,6384)=0,3025+2,5536=2,8561=1,69²>0; 2 действительных корня.

1+0,01r=k=1,12; отсюда 0,01r=0,12; r=12.

Ответ: 12%.

Выбор решения за тем, кто решает.

Как вручную извлекают квадратные корни из десятичной дроби смотрите здесь.