Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений

имеет более одного решения.

Решение. Рассмотрим первое уравнение системы.

1) Пусть х² + у² -25 ≥ 0. Неравенство х² + у² ≥ 25 или х² + у² ≥ 5² описывает множество точек координатной плоскости, лежащих вне круга с центром в начале координат и радиусом R = 5. На чертеже круг показан зелёным цветом.

Раскроем модульные скобки.

х² + 20х + у² -20у + 75 = х² + у²-25;

20x-20y + 100 = 0. Разделим обе части равенства на 20.

х-у + 5 = 0; у = х + 5. Графиком служит прямая у = х, смещённая вдоль оси Оу на 5 единичных отрезков. Нам подойдут только те точки прямой у = х + 5, которые будут лежать вне круга х² + у² = 25. На чертеже показана эта часть прямой синим цветом.

2) Пусть х² + у²-25 ≤ 0. Неравенство х² + у² ≤ 25 или х² + у² ≤ 5² описывает множество точек координатной плоскости, лежащих внутри круга с центром в начале координат и радиусом R = 5.

Раскроем модульные скобки.

х² + 20х + у² -20у + 75 = -х² -у² + 25;

2х² + 20х + 2у² -20у + 50 = 0. Разделим обе части равенства на 2.

х² + 10х + у² -10у + 25 = 0. Преобразуем это выражение.

x² + 2 ∙ х ∙ 5 + 5²-5² + y² -2 ∙ y ∙ 5 + 5²-5² + 25 = 0;

(x² + 2 ∙ х ∙ 5 + 5²) + (y² -2 ∙ y ∙ 5 + 5²) = 25;

(х + 5)² + (у-5)² = 5².

Это уравнение описывает окружность с центром в точке (-5; 5) и радиусом R = 5. Нам подойдут только те точки этой окружности, которые будут лежать внутри окружности

х² + у² = 25. На чертеже эти точки окружности обозначены красным цветом.

Рассмотрим второе уравнение системы.

х-у = а. Запишем равенство в виде: у = х-а. Графиком этой функции будет служить прямая у = х, смещённая вдоль оси Оу на а единичных отрезков. Для того, чтобы система уравнений имела более одного решения прямая у = х-а должна пересечь сине-красную линию чертежа два и более раз.

Решим систему уравнений у = х-а и х² + 10х + у² -10у + 25 = 0.

Подставим значение  у = х-а в выражение х² + 10х + у² -10у + 25 = 0. Получаем:

х² + 10х + (х-а)² -10(х-а) + 25 = 0. Раскроем скобки.

х² + 10х + х²-2ах + а²-10х +10а + 25 = 0;

2х² -2ах + а² +10а + 25 = 0.

Дискриминант  D₁ = a²-2(а² +10а + 25) = a²-2а²-20а-50 = -а²-20а-50. Если дискриминант больше нуля, то последнее уравнение, а значит, и вся система имеют два действительных корня.

D₁ > 0    →    -а²-20а-50 > 0    →    а² + 20а + 50 < 0.

Это неравенство будет верным при a₁ < a < a₂, где a₁ и a₂  — корни квадратного уравнения а² + 20а + 50 = 0.

Решим уравнение а² + 20а + 50 = 0.

D₁ = 10²-50 = 50.

Таким образом, а² + 20а + 50 < 0

и не будет иметь общих точек с графиком первого уравнения данной системы (с сине-красной линией).

и будет касаться красной линии. В точке касания система будет иметь единственное решение. Очевидно, что если мы будем перемещать прямую

параллельно самой себе в направлении прямой у = х + 5, то каждый раз будем получать по две точки пересечения, и данная система будет иметь два решения.

совпадет с прямой у = х + 5, то это будет означать, что данная система имеет множество решений.

Если бы вторым уравнением данной системы было уравнение, приводящееся к виду

у = х + а, то мы бы сказали, что данная система будет иметь более двух решений

У нас же прямая у = х-а или у = х + (- а), следовательно, при условии:

прямая у = х + (- а) пересечёт сине-красную линию более двух раз и, значит, данная система будет иметь более одного решения.