Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS
Записи с меткой "при каждом из которых функция имеет более двух точек экстремума"

Найдите все значения а, при каждом из которых функция

Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых функция

f(x) = x2-3|x-a2|-5x

имеет более двух точек экстремума.

Решение. Экстремум (минимум или максимум) функции возможен в точке, в которой производная функции меняет знак. Раскроем модульные скобки.

1) Случай. Пусть х-а2 ≥ 0   →   х  ≥ а2. Получаем f(x) = x2-3x + 3a2-5x;

f(x) = x2-8x + 3a2. Находим производную. f ’(x) = 2x-8 = 2(x-4). Критическая точка х = 4. Производная в точке х = 4 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке х = 4 функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет минимум.

Найдём значение функции в точке х = 4.

f(4) = 42-8 4 + 3a2 = 3a2-16.

Итак, xmin = 4;  fmin = 3a2-16.

2) Случай. Пусть х-а2 < 0   →   х  < а2. Получаем f(x) = x2 + 3x-3a2-5x;

f(x) = x2-2x-3a2. Находим производную.

f ’(x) = 2x-2 = 2(x-1). Критическая точка х = 1. Производная в точке х = 1 меняет знак с «-» на «+». Следовательно, в точке

х = 1 функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет минимум.

Найдём значение функции в точке х = 1.

f(1) = 12-2 1-3a2 = -1-3a2.

Итак, xmin = 1;  fmin =  -1-3a2.

Чтобы изобразить функции графически в каждом из двух рассмотренных случаев нам нужно определиться со значением числа а2.

Возможны три варианта расположения числа а2.

Вариант 1.

а2 < 1 < 4. Для определённости возьмём а2 = 0.

Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4;  fmin = 3a2-16 = -16.

Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -16).

Так как функцию f(x) = x2-8x + 3aмы получили при условии,

что х  ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 0.

Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет

xmin = 1;  fmin = -1-3a2= -1.

Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -1).

Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х  < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию     х < 0.

Смотрите рис.1. Получается только 1 экстремум.

Вывод: вариант 1 не подойдёт.

Вариант 2.

1 < а2 < 4. Для определённости возьмём а2 = 3.

Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет xmin = 4;  fmin = 3a2-16 = 3 3-16 = -7.

Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -7).

Так как функцию f(x) = x2-8x + 3aмы получили при условии,

что х  ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 3.

Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет xmin = 1;  fmin = -1-3a2= -1-3 3 = -10.

Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -10).

Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х  < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 3. Смотрите рис.2. Получается 3 экстремума.

Вывод: вариант 2 (1 < а2 < 4 ) подходит. Найдём значение а, решив систему неравенств:

Получаем а  (-2; -1)  (1; 2).

Вариант 3.

1 < 4 < а2.

Для определённости возьмём а2 = 5.

Функция f(x) = x2-8x + 3a2 имеет

xmin = 4;  fmin = 3a2-16 = 3 5-16 = -1.

Строим параболу f(x) = x2-8x + 3a2, вершина которой A(4; -1).

Так как функцию f(x) = x2-8x + 3aмы получили при условии, что х  ≥ а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х ≥ 5.

Функция f(x) = x2-2x-3a2 имеет

xmin = 1;  fmin = -1-3a2= -1-3 5 = -16.

Строим параболу f(x) = x2-2x-3a2 с вершиной В(1; -16).

Так как функцию f(x) = x2-2x-3a2 мы получили при условии, что х  < а2, то надо взять точки параболы, удовлетворяющие условию х < 5.

Смотрите рис.3. Получается только 1 экстремум. Вывод: вариант 3 не подойдёт.

Ответ: а  (-2; -1)  (1; 2).

Наверх