Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет более одного решения.
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы.
1) Пусть х2 + у2 -25 ≥ 0. Неравенство х2 + у2 ≥ 25 или х2 + у2 ≥ 52 описывает множество точек координатной плоскости, лежащих вне круга с центром в начале координат и радиусом R = 5. На чертеже круг показан зелёным цветом.
Раскроем модульные скобки.
х2 + 20х + у2 -20у + 75 = х2 + у2-25;
20x-20y + 100 = 0. Разделим обе части равенства на 20.
х-у + 5 = 0; у = х + 5. Графиком служит прямая у = х, смещённая вдоль оси Оу на 5 единичных отрезков. Нам подойдут только те точки прямой у = х + 5, которые будут лежать вне круга х2 + у2 = 25. На чертеже показана эта часть прямой синим цветом.
2) Пусть х2 + у2-25 ≤ 0. Неравенство х2 + у2 ≤ 25 или х2 + у2 ≤ 52 описывает множество точек координатной плоскости, лежащих внутри круга с центром в начале координат и радиусом R = 5.
Раскроем модульные скобки.
х2 + 20х + у2 -20у + 75 = -х2 -у2 + 25;
2х2 + 20х + 2у2 -20у + 50 = 0. Разделим обе части равенства на 2.
х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0. Преобразуем это выражение.
x2 + 2 ∙ х ∙ 5 + 52-52 + y2 -2 ∙ y ∙ 5 + 52-52 + 25 = 0;
(x2 + 2 ∙ х ∙ 5 + 52) + (y2 -2 ∙ y ∙ 5 + 52) = 25;
(х + 5)2 + (у-5)2 = 52.
Это уравнение описывает окружность с центром в точке (-5; 5) и радиусом R = 5. Нам подойдут только те точки этой окружности, которые будут лежать внутри окружности
х2 + у2 = 25. На чертеже эти точки окружности обозначены красным цветом.
Рассмотрим второе уравнение системы.
х-у = а. Запишем равенство в виде: у = х-а. Графиком этой функции будет служить прямая у = х, смещённая вдоль оси Оу на а единичных отрезков. Для того, чтобы система уравнений имела более одного решения прямая у = х-а должна пересечь сине-красную линию чертежа два и более раз.
Решим систему уравнений у = х-а и х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0.
Подставим значение у = х-а в выражение х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0. Получаем:
х2 + 10х + (х-а)2 -10(х-а) + 25 = 0. Раскроем скобки.
х2 + 10х + х2-2ах + а2-10х +10а + 25 = 0;
2х2 -2ах + а2 +10а + 25 = 0.
Дискриминант D1 = a2-2(а2 +10а + 25) = a2-2а2-20а-50 = -а2-20а-50. Если дискриминант больше нуля, то последнее уравнение, а значит, и вся система имеют два действительных корня.
D1 > 0 → -а2-20а-50 > 0 → а2 + 20а + 50 < 0.
Это неравенство будет верным при a1 < a < a2, где a1 и a2 — корни квадратного уравнения а2 + 20а + 50 = 0.
Решим уравнение а2 + 20а + 50 = 0.
D1 = 102-50 = 50.
Таким образом, а2 + 20а + 50 < 0
и не будет иметь общих точек с графиком первого уравнения данной системы (с сине-красной линией).
и будет касаться красной линии. В точке касания система будет иметь единственное решение. Очевидно, что если мы будем перемещать прямую
параллельно самой себе в направлении прямой у = х + 5, то каждый раз будем получать по две точки пересечения, и данная система будет иметь два решения.
совпадет с прямой у = х + 5, то это будет означать, что данная система имеет множество решений.
Если бы вторым уравнением данной системы было уравнение, приводящееся к виду
у = х + а, то мы бы сказали, что данная система будет иметь более двух решений
У нас же прямая у = х-а или у = х + (- а), следовательно, при условии:
прямая у = х + (- а) пересечёт сине-красную линию более двух раз и, значит, данная система будет иметь более одного решения.
15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 25 месяцев. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите r%.
Решение. Пусть ежемесячный платеж (без процентов) составляет х рублей. Тогда кредит был выдан в размере 25х рублей. Банку нужно вернуть эти 25х рублей плюс проценты за остаток вклада каждый месяц: 1-й месяц это 25х ∙ (r/100) ;
во 2-й месяц проценты на остаток вклада составят 24х ∙ (r/100) ;
в 3-й месяц проценты на остаток вклада составят 23х ∙ (r/100) ;
в 4-й месяц проценты на остаток вклада составят 22х ∙ (r/100) ;
…………………………………………………………………………..
во 24-й месяц проценты на остаток вклада составят 2х ∙ (r/100) ;
в последний 25-й месяц проценты на остаток вклада составят х ∙ (r/100) .
Общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования:
25х + (25х+24х+23х+22х+…+х) ∙ (r/100) =
По условию общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования, на 13% больше, чем сумма, взятая в кредит. Получаем равенство:
Разделим обе части равенства на 25х и получим:
Ответ: 1.
31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн рублей в кредит
Задача. 31 декабря 2014 года Арсений взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определенное число процентов), затем Арсений переводит очередной транш. Арсений выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 550 тыс. рублей, во второй 638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Арсению?
Решение. Рассмотрим два способа решения задачи.
1 способ. С помощью формулы.
Применим формулу:
Здесь S – сумма кредита, выданная банком, которая полностью погашается за n
осуществленных после начисления r% по вкладу. У нас n = 2, тогда формула примет вид:
Подставляем все данные в формулу:
Разделим обе части равенства на 100 и приведем его к общему знаменателю.
10000(1+0,01r)2 = 5500(1+0,01r) + 6384. Делим обе части равенства на 4.
2500(1+0,01r)2 = 1375(1+0,01r) + 1596. Обозначим 1+0,01r через а. Получаем:
2500а2 = 1375а + 1596 → 2500а2-1375а-1596 = 0.
Дискриминант D = 13752-4 ∙ 2500 ∙ (-1596) = 1890625+15960000 = 17850625;
D = 42252 > 0; уравнение имеет два действительных корня.
Как вручную извлекать квадратные корни из целого числа смотрите здесь.
Мы получили а = 1+0,01r = 1,12 → 0,01r = 0,12 → r = 0,12 : 0,01 = 12.
Ответ: 12.
2 способ. Рассуждения по смыслу задачи.
Обозначим взятую в кредит сумму через S (у нас S=1 млн рублей), а через r – искомый процент банка.
1-ый год. Банк начисляет r% к взятой сумме, и сумма долга составит 100% + r% от S. Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь и умножить эту дробь на данное число.
100% + r% =1+0,01r. Обозначим это выражение через k. Итак, 1+0,01r= k.
Умножаем k на S. Получаем Sk. Арсений переводит в банк 550 тысяч рублей. Считать будем в миллионах рублей. Остаток по вкладу равен Sk-0,55.
2-ой год. Банк начисляет r% к остатку, т.е. Арсений теперь должен 100% + r% от (Sk-0,55). Это составит (1+0,01r) или k от (Sk-0,55), т.е. составит k(Sk-0,55). Арсений переводит в банк 638,4 тысяч рублей.
Остаток по вкладу равен k(Sk-0,55)-0,6384. А так как за два года Арсений рассчитался с банком, то получим равенство:
k(Sk-0,55)-0,6384=0. Помним, что S=1 млн рублей.
k(k-0,55)-0,6384=0;
k2-0,55k-0,6384=0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле – находим дискриминант.
D=b2-4ac=0,552-4∙1∙(-0,6384)=0,3025+2,5536=2,8561=1,692>0; 2 действительных корня.
1+0,01r=k=1,12; отсюда 0,01r=0,12; r=12.
Ответ: 12%.
Выбор решения за тем, кто решает.
Как вручную извлекают квадратные корни из десятичной дроби смотрите здесь.
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?
Решение. Пусть ежемесячный взнос в банк (без процентов) составляет х рублей. Тогда в счет основного долга за первые 12 месяцев нужно возвратить 12х рублей. Теперь подсчитаем проценты. За 1-й месяц их набегает 24х ∙ 0,03; за 2-ой месяц – 23х ∙ 0,03; за 3-ий месяц – 22х ∙ 0,03 и т.д., а за 12-й месяц – 13х ∙ 0,03. Общая сумма процентов за первые 12 месяцев равна
(24х+23х+22х+ … +14х+13х) ∙ 0,03 = (24х+13х)/2 ∙ 12∙ 0,03 = 37х ∙ 6 ∙ 0,03 = 6,66х.
Зная, что в течение первого года кредитования нужно вернуть 466,5 тыс. рублей, составим уравнение:
12х + 6,66х = 466,5. Отсюда 18,66х = 466,5 → х = 466,5 : 18,66.
Получаем х = 25 тыс. рублей. Это ежемесячный взнос без процентов.
Кредит берётся на 24 месяца, следовательно, в кредит планируется взять
24 ∙ 25 тысяч рублей = 600 тысяч рублей.
Ответ: 600000.
15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что на 11-й месяц кредитования нужно выплатить 44,4 тыс. рублей.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение. Пусть ежемесячно нужно выплачивать х рублей без процентов. Тогда вся сумма кредита равна 21х рублей. Проценты насчитываются на остаток вклада после ежемесячной выплаты х рублей. На 11 месяц кредитования остаток вклада составит 11х (отсчитывайте 11-й месяц от 21-го месяца: 21-й, 20-й, 19-й, …) рублей. Так как по условию задачи долг возрастает на 1%, то проценты на сумму 11х равны 11х ∙ 0,01 = 0,11х рублей. Всего выплаты на 11-й месяц кредитования составят х + 0,11х = 1,11х рублей. По условию это 44,4 тысячи рублей. Получаем равенство: 1,11х = 44400, отсюда х = 44400 : 1,11 = 4440000 : 111 = 40000. Следовательно, ежемесячные выплаты (без процентов) составляют 40000 рублей, тогда сумма всего кредита равна 40000 ∙ 21 = 840000 рублей.
Посчитаем проценты за все время кредитования.
(21х + 20х + 19х + … + 2х + х) ∙ 0,01 = (21х+х)/2 ∙ 21∙ 0,01 = 11х ∙ 21∙ 0,01.
Подставим вместо х его значение 40000 рублей и получим:
11 ∙ 40000 ∙ 21∙ 0,01 = 92400 рублей. Вся сумма, которую нужно выплатить банку составляет 840000 + 92400 = 932400 рублей.
Ответ: 932400.
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000
Задача. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение.
Рассмотрим два способа решения задачи.
1 способ. С помощью формулы.
Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных
осуществленных после начисления r% по вкладу, то имеет место замечательная формула:
Кредит Алексея S = 9282000 полностью погашается за 4 платежа по Х рублей каждый, после начисления r = 10% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга. Получаем равенство:
Ответ: 2928200.
2 способ. Рассуждения по смыслу задачи.
Обозначим взятую в кредит сумму через S (у нас S=9282000).
1-ый год. Банк начисляет 10% ко взятой сумме, и сумма долга составит 110% от S. Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь и умножить эту дробь на данное число.
110%=1,1. Умножаем 1,1 на S. Получаем 1,1S. Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1S-Х.
2-ой год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,1S-Х). Это составит 1,1(1,1S-Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,1S-Х)-Х.
Упростим. 1,12 S-1,1Х-Х=1,21S-2,1Х.
3-ий год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,21S-2,1Х). Это составит 1,1(1,21S-2,1Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,21S-2,1Х)-Х.
Упростим. 1,331S-2,31Х-Х=1,331S-3,31Х.
4-ый год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,331S-3,31Х). Это составит 1,1(1,331S-3,31Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,331S-3,31Х)-Х.
Упростим. 1,1(1,331S-3,31Х)-Х=1,4641S-3,641Х-Х=1,4641S-4,641Х.
Так как за 4 года Алексей выплатит весь долг, то последняя сумма равна нулю. Решаем уравнение:
1,4641S-4,641Х=0.
4,641Х=1,4641S; помним, что у нас S=9282000. Тогда
Х=(1,4641∙928200):4,641;
Ответ: 2928200.
Выбор решения исключительно за решающим.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей
Задача. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн рублей.
Решение. Как всегда обозначим ежегодный платёж (без процентов) через х. Отсюда сумма кредита будет равна 9х. В этой задаче х = 4,5 млн : 9 = 4500000 : 9 = 500000 рублей.
Мы с вами знаем уже, что самый большой процент приходится на 1-й год выплат. Это r% от 9х, т.е. от всей суммы кредита, получается:
Таким образом наибольший годовой платёж по кредиту приходится на 1-й год и равен:
По условию этот платёж должен быть не больше 1,4 млн рублей. Получаем неравенство:
Вместо х запишем его значение 500000.
Разделим обе части на 500000.
Самый маленький платёж по кредиту будет в последний год, он будет
и по условию должен быть не меньше 0,6 млн рублей. Получаем:
Вместо х запишем его значение 500000.
Разделим обе части на 500000.
Смотрим на ( * ) и ( ** ). Делаем вывод:
следовательно, r = 100 : 5 = 20.
Ответ: 20.
В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу
Задача. В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 11000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?
Решение. В конце 2001 года цена бумаги увеличится на 4000 рублей и составит 15000 рублей. Если в начале 2002 года положить эту сумму на банковский счет, то к концу 2002 года сумма счета вырастет на 10%, т.е. на 1500 рублей. Это невыгодно, так как если бумагу не продать, то ее стоимость в конце 2002 года вырастет на 4000 рублей, поэтому нужно подождать когда стоимость бумаги станет больше 40000, тогда и можно продать, а деньги положить на банковский счет. В этом случае 10% с суммы, большей 40000 рублей будут больше 4000 рублей и через 15 лет сумма на банковском счете будет наибольшей возможной. Итак, не продаем ценную бумагу, а считаем: в конце 2002 года стоимость бумаги составит 19000 рублей;
в конце 2003 года стоимость бумаги составит 23000 рублей;
в конце 2004 года стоимость бумаги составит 27000 рублей;
в конце 2005 года стоимость бумаги составит 31000 рублей;
в конце 2006 года стоимость бумаги составит 35000 рублей;
в конце 2007 года стоимость бумаги составит 39000 рублей;
в конце 2008 года стоимость бумаги составит 43000 рублей.
Вот теперь в начале 2009 года Алексею стоит продать ценную бумагу, а деньги положить на банковский счет, и тогда в 2009 году на 43000 рублей будет начислено 4300 рублей, дальше – больше. Вывод: Алексею следует продать ценную бумагу в начале 2009 года.
Ответ: 2009.
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,8 млн рублей
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,8 млн рублей на 24 месяца. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?
Решение. Поймите правильно: «нужно вернуть» не означает, что будет возвращена такая сумма. Если клиент взял кредит на 24 месяца, то на эту сумму ему и будет составлен календарь обязательных ежемесячных равных платежей (вы ведь изучили мои объяснения, приведенные выше?). А это всего лишь задачка на проверку вашего понимания, сколько же процентов будет начислено клиенту за первые 12 месяцев кредитования. Разобьем сумму кредита на 24 части (т.к. 24 месяца кредитования). Получаем: 1800000 : 24 = 75000. Чтобы не таскать это число за собой, обозначим его, как в предыдущих примерах, через х и посчитаем проценты за первые 12 месяцев.
(24х + 23х + 22х + … 13х) ∙ 0,02. Здесь 0,02 – это 2% по условию задачи.
В скобках сумма арифметической прогрессии:
Так как х = 75000, то выходит, что за первые 12 месяцев сумма процентов составит:
222 ∙ 75000 ∙ 0,02 = 333000 рублей. А выплата по 75000 рублей ежемесячно в течение 12 месяцев составит:
75000 ∙ 12 = 900000 рублей.
Искомое число-сумма выплаты основного долга за 12 месяцев и процентов составляет 900000 + 333000 = 1233000 рублей.
Ответ: 1233000.
15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение. Пусть ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют х рублей. Тогда сумма кредита составляет 19х рублей. Выплатить нужно эти 19х рублей плюс проценты (как насчитывают проценты смотрите здесь):
Вручную сумму в скобках считать не стоит. Применим формулу суммы арифметической прогрессии.
Итак, будет выплачена сумма:
По условию эта сумма на 30% больше суммы, взятой в кредит. Иными словами, эта сумма составляет 130% или 1,3 от 19х. Получаем равенство:
Разделим обе части равенства на 19х и получим:
Ответ: 3.
