В июле 2027 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тыс. рублей
Задача. В июле 2027 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1500 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг будет возрастать на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
-с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
-в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
-в июле 2033, 2034, 2035, 2036 и 2037 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
-к июлю 2037 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2400 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2029 году?
Решение.
Условие «-в июле 2028, 2029, 2030, 2031 и 2032 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;» означает, что банк в первые 5 лет будет ежегодно погашать долг клиенту на одну и ту же сумму. Мы обозначим эту сумму через х. Это ежегодный платёж (в первые 5 лет) без процентов. Посчитаем проценты за первые 5 лет.
15% банк насчитывает на остаток долга.
0,15 ∙ (1500 + (1500-х) + (1500-2х) + (1500-3х) + (1500-4х)) =
= 0,15 ∙ (5 ∙ 1500 -10х) = 0,15(7500-10х) = (1125-1,5х) тыс. рублей.
Итак, к концу 2032 года (после 5 лет ежегодных выплат) долг составит (1500-5х) тыс. рублей или 5(300-х) тыс. рублей. Так как клиенту остаётся платить 5 лет – банк ежегодно будет засчитывать в счёт погашения долга пятую часть оставшейся суммы, т.е. (300-х) тыс. рублей, не забывая начислять проценты перед этим. Считаем проценты за вторые 5 лет кредитования.
0,15 ∙ (5(300-х) + 4(300-х) + 3(300-х) + 2(300-х) + (300-х)) =
= 0,15 ∙ 15(300-х) = 2,25 ∙ (300-х) = (675-2,25х) тыс. рублей.
По условию общая сумма выплат 2400 тыс. рублей, значит, сумма выплаченных процентов составит 2400-1500 = 900 тыс. рублей. Составим уравнение.
1125-1,5х + 675-2,25х = 900;
-1,5х-2,25х = 900-1125-675;
-3,75х = -900 | : (-3,75);
х = 240. Следовательно, ежегодно в первые 5 лет банк будет засчитывать клиенту в счёт погашения долга по 240 тыс. рублей.
Искомый платёж за 2029 год составит эти 240 тыс. рублей плюс 15% от остатка долга, т.е. от суммы 1500-240 = 1260 тыс. рублей, так как в 2028 году уже было погашено 240 тыс. рублей.
Считаем: 240 + 0,15 ∙ 1260 = 240 + 189 = 429 тыс. рублей.
Ответ: 429000 рублей.
Задача. В июле 2026 года планируется взять кредит на 10 лет в размере 1300 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
-каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
-с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга;
-в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
-в июле 2032, 2033, 2034, 2035 и 2036 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
-к июлю 2036 года долг должен быть выплачен полностью.
Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2780 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2027 году?
Решение.
Условие «-в июле 2027, 2028, 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;» означает, что банк в первые 5 лет будет ежегодно погашать долг клиенту на одну и ту же сумму. Мы обозначим эту сумму через х. Это ежегодный платёж (в первые 5 лет) без процентов. Посчитаем проценты за первые 5 лет.
20% банк насчитывает на остаток долга.
0,2 ∙ (1300 + (1300-х) + (1300-2х) + (1300-3х) + (1300-4х)) =
= 0,2 ∙ (5 ∙ 1300 -10х) = 0,2(6500-10х) = (1300-2х) тыс. рублей.
Итак, к концу 2031 года (после 5 лет ежегодных выплат) долг составит (1300-5х) тыс. рублей или 5(260-х) тыс. рублей. Так как клиенту остаётся платить 5 лет – банк ежегодно будет засчитывать в счёт погашения долга пятую часть оставшейся суммы, т.е. (260-х) тыс. рублей, не забывая начислять проценты перед этим. Считаем проценты за вторые 5 лет кредитования.
0,2 ∙ (5(260-х) + 4(260-х) + 3(260-х) + 2(260-х) + (260-х)) =
= 0,2 ∙ 15(260-х) = 3 ∙ (260-х) = (780-3х) тыс. рублей.
По условию общая сумма выплат 2780 тыс. рублей, значит, сумма выплаченных процентов составит 2780-1300 = 1480 тыс. рублей. Составим уравнение.
1300-2х + 780-3х = 1480;
-2х-3х = 1480-1300-780;
-5х = -600 | : (-5);
х = 120. Следовательно, ежегодно в первые 5 лет банк будет засчитывать клиенту в счёт погашения долга по 120 тыс. рублей.
Искомый платёж за 2027 год составит эти 120 тыс. рублей плюс 20% от взятой суммы кредита в 1300 тыс. рублей, так как в 2027 году состоится самая первая выплата банку.
Считаем: 120 + 0,2 ∙ 1300 = 120 + 260 = 380 тыс. рублей.
Ответ: 380000 рублей.
На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных
Задача. На одной полке стоит 36 блюдец: 14 синих и 22 красных. На другой полке стоит 36 чашек: 27 синих и 9 красных. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.
Решение. Будем брать 1 блюдце с первой полки и 1 чашку со второй полки, затем снова 1 блюдце с первой полки и 1 чашку со второй полки. Необходимо получить 2 чайные (одного цвета) пары. Подойдут следующие случаи:
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
Рассмотрим вероятность наступления каждого из этих случаев.
1)блюдце и чашка, блюдце и чашка — берём синее блюдце с первой полки (любое из 14, а всего 36 блюдец) и синюю чашку со второй полки (любую из 27, а всего 36 чашек), затем берём синее блюдце с первой полки (любое из 13, а всего 35 блюдец) и синюю чашку со второй полки (любую из 26, а всего 35 чашек). Эти 4 события независимы друг от друга, поэтому, вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей выбора каждого из предметов:
Ответ: 0,29.
Задача. На одной полке стоит 25 блюдец: 16 красных и 9 синих. На другой полке стоит 25 чашек: 13 красных и 12 синих. Наугад берут два блюдца и две чашки. Найдите вероятность, что из них можно будет составить две чайные пары (блюдце с чашкой), каждая из которых будет одного цвета.
Решение. Будем брать 1 блюдце с первой полки и 1 чашку со второй полки, затем снова 1 блюдце с первой полки и 1 чашку со второй полки. Необходимо получить 2 чайные (одного цвета) пары. Подойдут следующие случаи:
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка;
блюдце и чашка, блюдце и чашка.
Рассмотрим вероятность наступления каждого из этих случаев.
1) блюдце и чашка, блюдце и чашка – берём синее блюдце с первой полки (любое из 9, а всего 25 блюдец) и синюю чашку со второй полки (любую из 12, а всего 25 чашек), затем берём синее блюдце с первой полки (любое из 8, а всего 24 блюдец) и синюю чашку со второй полки (любую из 11, а всего 24 чашек). Эти 4 события независимы друг от друга, поэтому, вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей выбора каждого из предметов:
Искомая вероятность p = p1 + p2 + p3 + p4 + p5 + p6.
Ответ: 0,38.
Делимость чисел. Теория сравнений. Малая теорема Ферма. Примеры
Если целые числа а и b при делении на натуральное число m дают равные остатки, то говорят, что эти числа сравнимы по модулю m, и пишут a ≡ b (mod m).
(знак ≡ читают: сравнимо)
Пример.
25 = 11 ∙ 2 + 3 (число 25 при делении на 11 даёт 3 в остатке).
69 = 11 ∙ 6 + 3 (число 69 при делении на 11 даёт 3 в остатке).
По определению выше числа 25 и 69 сравнимы по модулю 11, и, следовательно, справедлива запись: 25 ≡ 69 (mod 11).
У нас а = 25, b = 69, m = 11.
Запись a ≡ b (mod m) также означает, что число a-b делится на m.
Действительно, 25-69 = -44 делится на 11.
Так же верны записи: 25 ≡ 3 (mod 11) и 69 ≡ 3 (mod 11), так как число 3 при делении на 11 тоже даёт в остатке 3. Число 25 сравнимо с числом 3 по модулю 11. Число 69 сравнимо с числом 3 по модулю 11.
Числа 25-3 и 69-3 также делятся на 11 без остатка.
Поэтому запись a ≡ b (mod m) при b < m чаще трактуют так:
b – остаток при делении а на m.
25 ≡ 3 (mod 11) – остаток при делении 25 на 11 равен 3.
69 ≡ 3 (mod 11) – остаток при делении 69 на 11 равен 3.
Запись a ≡ 0 (mod m) означает, что число а делится на m без остатка.
Свойства сравнений.
Сравнения по одному модулю можно складывать, вычитать, перемножать и возводить в степень n (натуральное), как и верные числовые равенства. Покажем это на рассмотренных сравнениях
25 ≡ 3 (mod 11) и 69 ≡ 3 (mod 11).
Складываем. 25 + 69 ≡ 3 + 3 (mod 11) → 94 ≡ 6 (mod 11). При делении 94 на 11 в остатке получаем 6.
Вычитаем. 25-69 ≡ 3-3 (mod 11) → -44 ≡ 0 (mod 11). При делении -44 на 11 в остатке получаем 0, т.е. число -44 делится на 11 без остатка.
Перемножаем. 25 ∙ 69 ≡ 3 ∙ 3 (mod 11) → 1725 ≡ 9 (mod 11). При делении 1725 на 11 в остатке получаем 9.
Возводим в степень. Имеем 25 ≡ 3 (mod 11). А нам нужен остаток от деления 252 на 11.
25 ≡ 3 (mod 11) → 252 ≡ 32 (mod 11) → 625 ≡ 9 (mod 11).
Проверьте: при делении 625 на 11 в остатке получится 9.
Ещё одно свойство сравнений.
Если ak ≡ bk (mod m), m ≠ 1, а числа k и m взаимно просты, то a ≡ b (mod m). Обе части сравнения можно сокращать на общий множитель, если он и модуль m – взаимно простые числа.
А может остаток выражаться отрицательным числом? Да. Например, при делении числа 24 на 5 в остатке получается 4.
Значит, 24 ≡ 4 (mod 5), что означает: 24 — 4 делится на 5 без остатка.
Но запись 24 ≡ -1 (mod 5) так же верна, потому что 24 -(-1) = 25 также делится на 5 без остатка.
Записи 24 ≡ 4 (mod 5) и 24 ≡ -1 (mod 5) эквивалентны.
Ещё пример: 20 ≡ 6 (mod 7) и 20 ≡ -1 (mod 7) равнозначны,
так как 20-6 = 14 делится на 7, и 20-(-1) = 21 делится на 7 без остатка.
Малая теорема Фермá.
Если m — простое число, m и а – взаимно просты, то am-1–1 делится на m.
Следствие. Для простого m и любого натурального а число am — a делится без остатка на m.
Так как из утверждения am-1–1 делится на m следует, что am-1 ≡ 1 (mod m), то именно последнее утверждение удобно применять при нахождении остатков от деления степени числа а на простое число m при условии, что числа а и m взаимно просты. Понимаем так: число am-1 даёт в остатке 1 при делении на m.
Примеры.
Найти остаток от деления на 11 числа 22002 + 32002.
Решение.
Используем сравнение am-1 ≡ 1 (mod m). У нас m = 11, значит, m-1 = 10.
Выделим из степеней 22002 и 32002 степени 210 и 310.
22002 = 22 ∙ 22000 = 4 ∙ (210)200.
32002 = 32 ∙ 32000 = 9 ∙ (310)200.
22002 + 32002 = 4 ∙ (210)200 + 9 ∙ (310)200 ≡ 4 ∙ 1200 (mod 11) + 9 ∙ 1200 (mod 11) ≡ 4 + 9 (mod 11) ≡ 2 (mod 11). Искомый остаток равен 2.
Ответ: остаток от деления на 11 числа 22002 + 32002 равен 2.
Хотите подробнее?
Мы применили утверждение am-1 ≡ 1 (mod m).
На самом деле: 210 = 211-1 ≡ 1 (mod 11) и 310 = 311-1 ≡ 1 (mod 11), что на основании теоремы Фермá означает: числа 210 и 310 при делении на 11 дают в остатке 1.
Использовали свойство возведения в степень сравнений:
(210)200 ≡ 1200 (mod 11) ≡ 1 (mod 11), а затем свойство умножения и сложения сравнений:
4 ∙ 1 (mod 11) + 9 ∙ 1 (mod 11) ≡ 4 + 9 (mod 11) ≡ 13 (mod 11) ≡ 2 (mod 11), так как число 13 при делении на 11 даёт 2 в остатке.
А если нужно найти остаток от деления на 7 этого же числа?
Найти остаток от деления на 7 числа 22002 + 32002.
Решение. Рассуждаем точно так же.
Используем сравнение am-1 ≡ 1 (mod m). У нас m = 7, значит, m-1 = 6.
Выделим из степеней 22002 и 32002 степени 26 и 36.
22002 = 24∙ 21998 = 16 ∙ (26)333.
32002 = 34 ∙ 31998 = 81 ∙ (36)333.
22002 + 32002 = 16 ∙ (26)333 + 81 ∙ (36)333.
16 ≡ 2 (mod 7);
26 = 27-1 ≡ 1 (mod 7) → (26)333 ≡ 1333 (mod 7) ≡ 1 (mod 7);
81 ≡ 4 (mod 7);
36 = 37-1 ≡ 1 (mod 7) → (36)333 ≡ 1333 (mod 7) ≡ 1 (mod 7). Тогда получим:
22002 + 32002 = 16 ∙ (26)333 + 81 ∙ (36)333 ≡ 2 ∙ 1 + 4 ∙ 1 (mod 7) ≡ 6 (mod 7).
Ответ: остаток от деления на 7 числа 22002 + 32002 равен 6.
Найти остаток от деления на 11 числа 32002 + 72002 .
Решение.
На основании малой теоремы Фермá используем сравнение am-1 ≡ 1 (mod m).
У нас m = 11, значит, m-1 = 10.
Выделим из степеней 32002 и 72002 степени 210 и 310.
32002 = 32 ∙ 32000 = 9 ∙ (310)200.
72002 = 72 ∙ 22000 = 49 ∙ (210)200.
32002 + 72002 = 9 ∙ (210)200 + 49 ∙ (310)200 ≡ 9 ∙ 1200 + 49 ∙ 1200 (mod 11).
49 ≡ 5 (mod 11) т.к. при делении числа 49 на 11 в остатке будет 5. Получаем:
9 ∙ 1 + 5 ∙ 1 (mod 11) ≡ 14 (mod 11) ≡ 3 (mod 11) Искомый остаток равен 3.
Ответ: остаток от деления на 11 числа 32002 + 72002 равен 3.
Найти остаток от деления на 17 числа 2367 + 43.
Решение.
На основании малой теоремы Фермá ( а = 2, m = 17 – простое число, числа a и m – взаимно просты) используем сравнение am-1 ≡ 1 (mod m).
Так как m = 17, то m-1 = 16.
Выделим из степени 2367 степень 216.
2367 = 215 ∙ (216)22 = 210 ∙ 25 ∙ (216)22 = 1024 ∙ 32 ∙ (217-1)22.
1024 ≡ 4 (mod 17) – при делении 1024 на 17 получаем в остатке 4;
32 ≡ 15 (mod 17) – при делении 32 на 17 получаем в остатке 15;
217-1 ≡ 1 (mod 17).
Итак, 2367 = 1024 ∙ 32 ∙ (217-1)22 ≡ 4 ∙ 15 ∙ 1 (mod 17) ≡ 60 (mod 17) ≡ 9 (mod 17).
Тогда 2367 + 43 ≡ 9 + 43 (mod 17) ≡ 52 (mod 17) ≡ 1 (mod 17).
Ответ: остаток от деления на 17 числа 2367 + 43 равен 1.
Замечание. Мы могли бы вместо 32 ≡ 15 (mod 17) записать 32 ≡ -2 (mod 17).
И тогда 2367 = 1024 ∙ 32 ∙ (217-1)22 ≡ 4 ∙ (-2) ∙ 1 (mod 17) ≡ -8 (mod 17).
Отсюда 2367 + 43 ≡ -8 + 43 (mod 17) ≡ 35 (mod 17) ≡ 1 (mod 17).
Найти остаток от деления на 11 числа 32023.
Решение.
На основании малой теоремы Фермá имеем am-1 ≡ 1 (mod m).
Здесь а = 3, m = 11. Будет верным сравнение 311-1 ≡ 1 (mod 11).
32023 = 33 ∙ 32020 = 27 ∙ (310)202.
27 ≡ 5 (mod 11) – число 27 при делении на 11 даёт в остатке 5.
(310)202 = (311-1)202 ≡ 1202 (mod 11) ≡ 1 (mod 11).
Тогда 27 ∙ (310)202 ≡ 5 ∙ 1 (mod 11) ≡ 5 (mod 11).
Ответ: остаток от деления на 11 числа 32023 равен 5.
Найти остаток от деления на 11 числа 20212023.
Решение.
2021 ≡ 8 (mod 11), что означает: число 2021 сравнимо с числом 8 по модулю 11, так как при делении числа 2021 на число 11 в остатке получается 8.
20212023 ≡ 82023 (mod 11).
На основании малой теоремы Фермá имеем am-1 ≡ 1 (mod m).
Здесь а = 8, m = 11. Будет верным сравнение 811-1 ≡ 1 (mod 11).
82023 = 83 ∙ 82020 = 512 ∙ (810)202.
512 ≡ 6 (mod 11) и (810)202 = (811-1)202 ≡ 1202 (mod 11) ≡ 1 (mod 11).
Тогда 512 ∙ (810)202 ≡ 6 ∙ 1 (mod 11) ≡ 6 (mod 11).
Ответ: остаток от деления на 11 числа 20212023 равен 6.
Найти остаток от деления на 9 числа 23277.
Решение. число m = 9 (наш делитель) является составным, и теорема Ферма не применима.
Немного теории.
Если число А при делении на число m даёт в остатке d, то
An (mod m) ≡ dn ( mod m).
У нас 23 при делении на 9 даёт в остатке 5, поэтому
23277 (mod 9 ) ≡ 5277 (mod 9).
5277 (mod 9) ≡ 5 ∙ (53)92 (mod 9) ≡ 5 ∙ 12592 (mod 9) ≡ 5 ∙ 892 (mod 9) ≡
≡ 5 ∙ 6446 (mod 9) ≡ 5 ∙ 146 (mod 9) ≡ 5 (mod 9).
Ответ: остаток от деления на 9 числа 23277 равен 5.
Найти остаток от деления на 9 числа 102021 + 5.
Решение.
102021 ≡ 12021 (mod 9) ≡ 1 (mod 9). Ну на самом деле, ведь остаток от деления числа 10 на число 9 равен 1. И тогда:
102021 + 5 ≡ 1 + 5 (mod 9) ≡ 6 (mod 9).
Ответ: остаток от деления на 9 числа 102021 + 5 равен 6.
Найти остаток от деления на 5 числа 3946.
Решение.
Так как 39 = 5 ∙ 7 + 4, то 39 ≡ 4 (mod 5), следовательно, и
3946 ≡ 446 (mod 5).
446 = 42 ∙ 23 = (42)23 = 1623.
1623 ≡ 123 (mod 5) ≡ 1 (mod 5). При делении числа 16 на число 5 в остатке получается 1.
Ответ: остаток от деления на 5 числа 3946 равен 1.
Найти остаток от деления на 7 числа 6429.
Решение.
Так как 64 = 7 ∙ 9 +1, то 64 ≡ 1 (mod 7), следовательно, и
6429 ≡ 129 (mod 7) ≡ 1 (mod 7).
Ответ: остаток от деления на 7 числа 6429 равен 1.
Найти остаток от деления числа 3624 + 2145 + 78 на 10.
Решение.
Так как 36 ≡ 6 (mod 10), 21 ≡ 1 (mod 10), то данное число сравнимо с числом
624 + 145 + 78, и здесь нам не поможет малая теорема Фермá, так как не выполняются её основные условия: делитель должен быть простым числом, а основание степени и делитель взаимно просты. У нас же делитель m = 10, а это число составное.
Искомый остаток равен сумме остатков каждого из чисел 624, 145 и 78.
Любая степень числа 6 оканчивается цифрой 6, и при делении на 10 остаток будет равен 6.
Любая определённая степень числа 1 равна 1.
Подробнее рассмотрим степень числа 7.
71 = 7; 72 = 49; 73 = 343; 74 = 2401; 75 = 16807.
Мы поняли, что последние цифры таких чисел повторяются через 4.
Поэтому последняя цифра числа 7k, где k Є N, определяется только тем, каков остаток от деления числа k на 4. У нас 78 и k = 8, это число кратно 4, поэтому, последняя цифра числа 78 равна 1, как у числа 74.
Собираем остатки.
624 + 145 + 78 ≡ 6 + 1 + 1 (mod 10) ≡ 8 (mod 10).
Ответ: остаток от деления числа 3624 + 2145 + 78 на 10 равен 8.
Найти последнюю цифру числа 23275.
Решение. Задачу можно сформулировать иначе:
найти остаток от деления числа 23275 на 10.
Задача похожа на предыдущую.
23 ≡ 3 (mod 10). Это означает, что данное число будет иметь тот же остаток от деления на 10, что и число 3275.
Рассмотрим степени числа 3.
31 = 3; 32 = 9; 33 = 27; 34 = 81; 35 = 243, …
Последние цифры этих степеней повторяются через 4.
Поэтому последняя цифра числа 3k, где k Є N, определяется только тем, каков остаток от деления числа k на 4. У нас k = 275. Делим 275 на 4 и получаем в остатке 3. Значит, число 3275 оканчивается той же цифрой, что и число 33, т.е. цифрой 7.
Итак, 23275 ≡ 3275 (mod 10) ≡ 7 (mod 10).
Ответ: последняя цифра числа 23275 равна 7 или остаток от деления числа 23275 на число 10 равен 7.
Остаток от деления числа а на число 3 равен 1, а от деления на 7 равен 5. Чему равен остаток от деления числа а на 21?
Решение.
Запишем условие задачи на основании теории сравнений.
Известно: a ≡ 1 (mod 3) и a ≡ 5 (mod 7). Требуется найти х, если a ≡ x (mod 21).
Мы знаем, что если число делится на 21, то оно делится и на 3 и на 7, а это означает, что a ≡ x (mod 3), а также, что a ≡ x (mod 7).
Следовательно, х ≡ 1 (mod 3) и х ≡ 5 (mod 7).
Получается, что и число х при делении на 3 даёт в остатке 1, а при делении на 7 даёт в остатке 5. И это число меньше 21. Его несложно подобрать: х = 19.
На самом деле, 19 : 3 = 6 (ост 1); 19 : 7 = 2 (ост 5) или
19 ≡ 1 (mod 3) и 19 ≡ 5 (mod 7). Итак, a ≡ 19 (mod 21).
Ответ: 19.
Найти остаток от деления числа 59 ∙ 60 ∙ 61-62 на 7.
Решение. Воспользуемся свойствами умножения и сложения сравнений.
59 ∙ 60 ∙ 61–62 ≡ 59 (mod 7) ∙ 60 (mod 7) ∙ 61 (mod 7)–62 (mod 7) ≡
≡ 3 ∙ 4 ∙ 5–6 (mod 7) ≡ 54 (mod 7) ≡ 5 (mod 7).
Ответ: 5.
Найти остаток от деления на 7 числа 6543 + 5432.
Решение.
Так как 65 ≡ 2 (mod 7) и 54 ≡ 5 (mod 7), то задача сводится к нахождению остатка от деления числа 243 + 532 на число 7.
На основании малой теоремы Фермá используем сравнение am-1 ≡ 1 (mod m). У нас m = 7, значит, m-1 = 6.
Выделим из степеней 243 и 532 степени 26 и 56.
243 = 2∙ 242 = 2 ∙ (26)7.
532 = 52 ∙ 530 = 25 ∙ (56)5.
243 + 532 = 2 ∙ (26)7 + 25 ∙ (56)5.
25 ≡ 4 (mod 7);
26 = 27-1 ≡ 1 (mod 7) → (26)7 ≡ 17 (mod 7) ≡ 1 (mod 7);
56 = 57-1 ≡ 1 (mod 7) → (56)5 ≡ 15 (mod 7) ≡ 1 (mod 7). Тогда получим:
2 ∙ (26)7 + 25 ∙ (56)5 ≡ 2 ∙ 1 + 4 ∙ 1 (mod 7) ≡ 6 (mod 7).
Ответ: остаток от деления на 7 числа 6543 + 5432 равен 6.
Найти остаток от деления на 11 числа 229.
Решение.
На основании малой теоремы Фермá имеем am-1 ≡ 1 (mod m).
Здесь а = 2, m = 11. Будет верным сравнение 211-1 ≡ 1 (mod 11).
229 = 29 ∙ 220 = 512 ∙ (210)2.
512 ≡ 6 (mod 11) – число 512 при делении на 11 даёт в остатке 6.
(210)2 = (211-1)2 ≡ 12 (mod 11) ≡ 1 (mod 11).
Тогда 512 ∙ (210)2 ≡ 6 ∙ 1 (mod 11) ≡ 6 (mod 11).
Ответ: остаток от деления на 11 числа 229 равен 6.
Найти остаток от деления числа 3217 + 3522 на 10.
Решение.
Так как 32 ≡ 2 (mod 10), 35 ≡ 5 (mod 10), то данное число сравнимо с числом
217 + 522, и здесь нам не поможет малая теорема Фермá, так как не выполняются её основные условия: делитель должен быть простым числом, а основание степени и делитель взаимно просты. У нас же делитель m = 10, а это число составное.
Искомый остаток равен сумме остатков каждого из чисел 217 и 522.
Любая степень числа 5 оканчивается цифрой 5, и при делении на 10 остаток будет равен 5.
Подробнее рассмотрим степень числа 2.
21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32.
Мы поняли, что последние цифры таких чисел повторяются через 4.
Поэтому последняя цифра числа 2k, где k Є N, определяется только тем, каков остаток от деления числа k на 4. У нас 217 = 24∙4+1, следовательно, последняя цифра числа 217 равна 2, как у числа 21. Итак:
217 + 522 ≡ 2 + 5 (mod 10) ≡ 7 (mod 10).
Ответ: остаток от деления числа 3217 + 3522 на 10 равен 7.
Найти остаток от деления числа 2013 ∙ 2014 + 20152 на число 7.
Решение.
Используем свойства сравнений.
Найдём остатки от деления чисел 2013, 2014 и 2015 на 7.
2013 ≡ 4 (mod 7); 2014 ≡ 5 (mod 7); 2015 ≡ 6 (mod 7).
2013 ∙ 2014 + 20152 ≡ 4 ∙ 5 + 62 (mod 7) ≡ 56 (mod 7) ≡ 0 (mod 7).
Это означает, что данное число делится нацело на 7.
Ответ: остаток от деления числа 2013 ∙ 2014 + 20152 на число 7 равен 0.
Найти остаток от деления числа 2016 + 2016 на 9.
Решение.
По теории сравнений 20 ≡ 2 (mod 9) и 201 ≡ 3 (mod 9).
На основании свойств сравнений:
2016 + 2016 ≡ 216 + 36 (mod 9), и нам нужно найти остаток от деления числа
216 + 36 на 9. Заметим, что число 36 делится на 9 нацело, и остаток равен 0.
Найдём остаток от деления на 9 числа 216. Это и будет ответом к данной задаче.
216 = (26)2 ∙ 24 = 642 ∙ 16 ≡ 12 ∙ 7 (mod 9) ≡ 7 (mod 9).
Ответ: остаток от деления числа 2016 + 2016 на 9 равен 7.
Хотите порешать такие примеры самостоятельно? Отлично! Лучше решать их в виде теста онлайн — вы сразу будете видеть свои результаты и отзывы к вашим решениям. Тест «Делимость чисел» многовариантный, так что пока решаете 2-3 варианта — научитесь!
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1100 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг будет возрастать на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 15-го месяца долг должен быть равен 500 тысяч рублей;
— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет составлять 1228 тысяч рублей.
Решение.
За 15 месяцев банку заплатили 1100 — 500 = 600 тысяч рублей основного долга,
И, следовательно, 600 : 15 = 40 тысяч рублей – это та сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг.
Однако, r % ежемесячно нужно выплачивать с суммы остатка долга, начиная с выданной суммы кредита 1100 тысяч рублей, а затем с суммы за вычетом 40 тысяч рублей ежемесячно. Проценты считаются так:
1 месяц. 1100 ∙ 0,01r = 11r;
2 месяц (1100 — 40) ∙ 0,01r = 1060 ∙ 0,01r = 10,6r;
3 месяц (1060 — 40) ∙ 0,01r =1020 ∙ 0,01r = 10,2r;
4 месяц (1020 — 40) ∙ 0,01r = 980 ∙ 0,01r = 9,8r и так далее.
Заметим, что последовательность чисел 11r; 10,6r; 10,2r; 9,8r и т.д. представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
а1 = 11r и разностью d = -0,4r. Нам нужно найти сумму 15-ти членов этой арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой:
Итак, банку придётся отдать 600 тысяч рублей плюс 123r тысяч рублей процентов за первые 15 месяцев и ещё за 16-й месяц долг 500 тысяч рублей плюс проценты с этой суммы, т.е. r % от 500 тысяч (это 0,01r ∙ 500 = 5r). Общая сумма выплат по условию равна 1228 тысяч рублей. Получим равенство:
600+123r+500+5r = 1228;
128r = 128;
r = 1.
Ответ: 1%.
А можно рассуждать так.
Решение2.
За 15 месяцев банку заплатили 1100 — 500 = 600 тысяч рублей основного долга,
И, следовательно, 600 : 15 = 40 тысяч рублей – это та сумма, на которую ежемесячно уменьшается долг в первые 15 месяцев.
Однако, r % ежемесячно нужно выплачивать с суммы остатка долга, начиная с выданной суммы кредита 1100 тысяч рублей, а затем с суммы за вычетом 40 тысяч рублей ежемесячно. Проценты считаются так:
1 месяц. 1100 ∙ 0,01r;
2 месяц (1100 — 40) ∙ 0,01r = 1060 ∙ 0,01r;
3 месяц (1100 — 40 ∙ 2) ∙ 0,01r =1020 ∙ 0,01r;
4 месяц (1100 — 40 ∙ 3) ∙ 0,01r = 980 ∙ 0,01r;
……………………………………………………..
15 месяц (1100 — 40 ∙ 14) ∙ 0,01r = 540 ∙ 0,01r.
Сложим полученные результаты, вынеся общий множитель 0,01r за скобки:
(1100+1060+1020+980+…+540) ∙ 0,01r. Это сумма процентов за 15 месяцев.
В скобках сумма 15-ти членов арифметической прогрессии с первым членом
а1 = 1100 и пятнадцатым членом а15 = 540.
Тогда 12300 ∙ 0,01r = 123r тысяч рублей составят начисленные банком проценты за первые 15 месяцев.
За последний 16-й месяц, когда долг останется равным 500 тысяч рублей, банк возьмёт r % с этой суммы, т.е. 500 ∙ 0,01r = 5r тысяч рублей.
Следовательно, начисленные банком за всё время кредитования проценты составят
123r +5r =128r тысяч рублей.
По условию сумма всех платежей после полного погашения кредита (1100 тысяч рублей) будет составлять 1228 тысяч рублей. Это означает, что на проценты банку приходится 1228-1100=128 тысяч рублей.
Имеем равенство 128r = 128, отсюда r = 1%.
Ответ: 1%.
Ну всё понятно! А как же оформить эту задачу на ЕГЭ?
Решение.
Банку будет выплачена сумма взятого кредита 1100 тысяч рублей плюс проценты. Так как по условию вся выплаченная сумма 1228 тысяч рублей, то сумма процентов составит 128 тысяч рублей. В первые 15 месяцев будет выплачено 1100-500=600 тысяч рублей основного долга, следовательно, долг ежемесячно уменьшается на 600:15=40 тысяч рублей.
Проценты (r % ежемесячно) начисляются на остаток долга так, как показано в таблице.
15 числа 15-го месяца будут выплачены последний раз 40 тысяч рублей, и долг станет равным 500 тысяч рублей. На эту сумму также будет начислено r %, т.е.
500 ∙ 0,01r = 5r тысяч рублей.
Всего переплата 123r + 5r = 128r или 128 тысяч рублей. Отсюда r = 1%.
Ответ: 1%.
Напоминание. Чтобы найти проценты от числа, нужно обратить проценты в десятичную дробь, а затем умножить данное число на эту дробь.
Примеры.
45% от числа 1100 равны 0,45 ∙ 1100 = 495;
3% от 1100 равны 0,03 ∙ 1100 = 33;
r% от 1100 равны 0,01r ∙ 1100 = 11r.
Производная. Часть 1
Определение понятия производной и её геометрического смысла
показано на рисунке 1, а подробно раскрыто в видео, которое можно посмотреть на
YouTube: https://youtu.be/OniFjwZ3b00
RUTUBE: https://rutube.ru/video/0fd4e77d6cd661ed4d2cbc1c96137f10/
ЯндексДзен: https://zen.yandex.ru/video/watch/623be27502c2cc69a1db251a
Поясним новые понятия.
Приращение аргумента Δх и приращение функции Δу.
Во-первых, для функции y = f(x)
х –аргумент; у – функция.
Приращение аргумента Δх — это величина, на которую изменяют (увеличивают, как на рисунке, или уменьшают) абсциссу х0 произвольной точки М графика, причём значение Δх незначительно отличается от зафиксированного значения х0.
В результате получается новое значение аргумента х = х0 + Δх. Этому новому значению аргумента соответствует новая точка графика N,
у которой координаты (x0+Δx; f(x0+Δx)). Что же получилось? Мы увеличили абсциссу точки М на Δх и в результате ордината увеличилась на Δу = f(x0+Δx) -f(x0).
Что такое lim.
В переводе limit – предел, предельное значение при определённом условии.
Что означает знак ( ′ ) штрих. Это знак производной.
f(x) – функция; f ′(x) – производная функции.
производная функции f в точке х0 равна пределу отношения приращения функции Δу к приращению аргумента Δх при Δх стремящемся к нулю.
В чём заключается геометрический смысл производной?
Производная функции в данной точке есть угловой коэффициент
прямой у = kx + b (на рисунке прямая МТ), которая служит касательной
к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х0.
А так как коэффициент k = tgα, где α – угол между касательной и положительным направлением оси Ох, то имеем равенство:
f ′(x0) = k = tgα. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Используя равенство f ′(x0) = tgα, вы легко решите такие задания ЕГЭ,
как задача 6 ЕГЭ 2022 ФИПИ.
Примеры.
Пример 1. На рисунке 1.1 изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
Решение. М – точка касания (рис. 1.1а). Касательная МА пересекает ось Ох в точке В и образует угол МВХ с положительным направлением оси Ох. Обозначим этот угол через α. Искомое значение производной функции f(x) в точке х0 равно тангенсу угла α. Построим прямоугольный треугольник АСМ с гипотенузой МА. Угол МАС также равен α. Найдём тангенс угла α из ΔАСМ. Считаем клеточки (единичные отрезки). МС = 9, АС = 4.
Так как f ′(x0) = tgα, то получаем f ′(x0) = 2,25.
Ответ: 2,25.
Пример 2. На рисунке 2.1 изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0.
Решение. Касательная АВ (рис. 2.1а) к графику функции y = f(x) в точке х0 образует угол α с положительным направлением оси Ох.
Искомое значение f ′(x0) = tgα. Вначале из прямоугольного треугольника АВС найдём тангенс угла ВАС, смежного с углом α. У нас ВС = 6, АС = 3.
Нас интересует tgα.
Так как tg(180°-α) = -tgα, то tgα = -tg(180°-α) = -2.
Тогда f ‘(x0) = tgα = -2. Ответ: -2.
Пример 3. На рисунке 3.1 изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 5. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 = 5.
Решение. Касательная АО (рис. 3.1а) образует тупой угол с положительным направлением оси Ох. Найдём тангенс острого угла α смежного с этим тупым углом, а значения тангенсов смежных углов отличаются лишь знаком.
Пример 4. На рисунке 4.1 изображен график функции y = f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой -4. Найдите значение производной функции f(x) в точке х0 = -4.
Решение. Касательная АО (рис. 4.1а) образует тупой угол α с положительным направлением оси Ох. Найдём тангенс смежного с углом α угла ОАВ из прямоугольного треугольника АВО.
По свойству смежных углов ∠ОАВ=180°-α.
Мы найдём тангенс угла (180°-α) и воспользуемся равенством
tgα = -tg(180°-α).
Ответ: -0,75.
Формулы и правила производной
Возникает вопрос. А как находить производную функции, если нет никаких рисунков?
Ответ. По формулам, выведенным согласно определения производной, т.е. на основании равенства:
Потребуется только равенство y = f(x), где f(x) – выражение, содержащее переменную х.
В качестве примера рассмотрим вывод формулы производной степени.
На основании определения производной получим формулу:
(хn)′ = nxn-1.
Смотрите рисунок 2. Подробности на видео.
YouTube: https://youtu.be/gNqs6svP61A
RUTUBE: https://rutube.ru/video/c2722daedf644bdf1da071fb8656a9b0/
ЯндексДзен: https://zen.yandex.ru/video/watch/623fd665de9aa25e6dd7247c
Итак, мы имеем формулу ( хn )′ = nxn-1.
Примеры. Найти производные следующих функций.
1) у =х6. Решение. у′ = 6х5.
2) у = х. Решение. у′ = 1х0 = 1.
х′ = 1.
На основании определения производной выводятся и производные других элементарных функций.
Операцию нахождения производной функции называют дифференцированием этой функции.
Вопрос. Многие функции представляют собой сумму, разность, произведение или частное некоторых функций f(x) и g(x). Как быть в этих случаях?
Ответ. Применяют правила дифференцирования, которые выводятся также на основании определения производной функции. Для удобства введём обозначения: u = f(x) и v = g(x).
1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.
(u ± v)′ = u ′ ± v ′
2. Производная произведения двух множителей равна произведению производной первого множителя на второй плюс произведение первого множителя на производную второго.
(uv)′ = u′v + uv′
3. Постоянный множитель можно вынести за знак производной.
(Сu)′ = Cu′.
4. Производная постоянной величины равна нулю.
С ′ = 0.
5. Производная дроби равна дроби, числитель которой есть произведение производной числителя исходной дроби на знаменатель минус произведение числителя исходной дроби на производную знаменателя, а знаменатель результата равен квадрату знаменателя исходной дроби.
Сложная функция
Вопрос. Что такое сложная функция? Как найти производную сложной функции?
Ответ. Функцию от функции называют сложной функцией.
Пример 1. Функция у = (2х + 3)7 является сложной, так как это степенная функция от линейной функции.
Это функция арифметического квадратного корня от квадратичной функции.
В общем виде: функция у = f(u(x)) сложная. Функция f зависит от функции u,
а функция u зависит от х, так что х – аргумент сложной функции.
6. Производную сложной функции f(u(x)) находят по переменной х. Для этого вначале находят производную функции f по переменной u и результат умножают на производную функции u по переменной х.
Применим эту формулу к функции у = (2х + 3)7 (пример 1).
Здесь f(u) = u7; u(x) = 2x+3.
Тогда у ‘ = 7u6 ∙ (ux)′ = 7(2х + 3)6 ∙ (2х + 3)’ = 7(2х + 3)6 ∙ 2 = 14(2х + 3)6.
Уравнение касательной
Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х0 имеет вид:
y = f(x0) + f ‘(x0)(x —x0). Смотрите рисунок 3.
Смотрите видео вывода уравнения касательной.
YouTube: https://youtu.be/F2FGE0njy2U
RUTUBE: https://rutube.ru/video/8ce780b3a7c20e73db21515620c1089f/
ЯндексДзен: https://zen.yandex.ru/video/watch/623d2a7cd1c13971d8c16e66
Пример 1. Написать уравнение касательной к графику функции
у = х3 + 3х в точке с абсциссой х0 = 3.
Решение. Искомое уравнение касательной имеет вид:
y = f(x0) + f ′(x0)(x -x0).
Требуется найти f(x0) и f ‘(x0), а затем подставить найденные значения в уравнение касательной.
f(x0) = f(3) = 33 + 3∙3 = 27 + 9 = 36.
f ′(x) = (х3 + 3х)′ = 3х2 + 3.
f ′(x0) = f ′(3) = 3∙32 + 3 = 30.
Получаем у = 36 + 30(х -3); у = 36 + 30х -90;
у = 30х -54 – искомое уравнение касательной.
Пример 2. Написать уравнение касательной к графику функции
у = -2х2-12х-13 в точке с абсциссой х0 = -4. Сделать рисунок.
Решение. Искомое уравнение касательной имеет вид:
y = f(x0) + f ‘(x0)(x-x0).
Требуется найти f(x0) и f ‘(x0), а затем подставить найденные значения в уравнение касательной.
f(x0) = f(-4) = -2∙(-4)2-12∙(-4)-13 = -32+48-13 = 3.
f ‘(x) = (-2х2-12х-13)’ = -4x-12.
f ‘(x0) = f ‘(-4) = -4∙(-4)-12 = 16-12 = 4.
Получаем у = 3 + 4(х + 4); у = 3 + 4х + 16;
у = 4х + 19 – искомое уравнение касательной.
Сделаем рисунок.
Графиком функции у = -2х2-12х-13 служит парабола с вершиной О’(m; n).
n = y(m) = y(-3) = -2∙(-3)2-12∙(-3)-13 = -18+36-13 = 5.
О’(-3; 5) – вершина параболы. Ветви параболы направлены вниз, так как отрицателен коэффициент
а = -2 при х2.
От точки (-3; 5) как от начала координат строим параболу у = -х2 (или построим одну-две дополнительные точки и используем свойство симметрии параболы относительно своей оси х = m).
Наша касательная у = 4х +19 касается параболы в точке А(-4; 3). Это одна точка прямой. Если взять х = -3, то получим у = 4∙(-3) + 19 = 7. Это точка В(-3; 7).
Проведём прямую (нашу касательную) через точки А и В.
Задание выполнено. Мы потрудились, а теперь полюбуемся своей работой и вспомним, в чём заключается геометрический смысл производной. Через точку А проведём прямую, параллельную оси Ох до точки пересечения с осью параболы (х = -3), которую обозначим через С. Угол ВАС – это угол между касательной к параболе в точке х0 и положительным направлением оси Ох. Из прямоугольного треугольника АСВ тангенс угла ВАС равен отношению противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС и равен 4:1 = 4.
В самом деле, могло ли быть иначе? Так как уравнение нашей касательной
у = 4х + 19, то угловой коэффициент k = tg∠ВАС = 4. И это найденное нами ранее значение f ‘(x0).
Итак, мы убедились на примере:
f ‘(x0) = k = tgα = 4.
Производная функции в данной точке есть угловой коэффициент
прямой у = 4x + 19 (на рисунке прямая АВ), которая служит касательной
к графику функции y = -2х2-12х-13 в точке с абсциссой х0 = -4. В этом суть геометрического смысла производной.
Механический (физический) смысл производной
Рассмотрим движение материальной точки по некоторой траектории (рисунок 4).
На горизонтальной оси Оt мы будем отмечать время пути, а на вертикальной оси Os — расстояние, пройденное точкой за определённое время.
Зафиксируем точку М в момент времени t0.
Пройденный точкой путь на момент времени t0 равен s(t0) — значению функции в точке М.
Если в момент времени t координата материальной точки равна s, где s = s(t), то функцию s(t) называют законом движения материальной точки.
За промежуток времени Δt наша материальная точка совершила перемещение из положения М в положение N. Таким образом в момент времени t = t0 + Δt точкой пройден путь s(t0 + Δt), и, следовательно, за время Δt точка преодолела путь
Δs = s(t0 + Δt) — s(t0).
Среднюю скорость движения точки от М до N определим по формуле
Средняя скорость тем полнее характеризует движение, чем короче участки пути, на которых она определена. Поэтому один из возможных способов описания неравномерного движения состоит в задании средних скоростей этого движения на всё более и более малых участках пути. Логично, что малые участки пути будут соответствовать малым промежуткам времени.
Пусть Δt стремится к нулю. Это означает, что от времени t0 до времени t = t0 + Δt прошло буквально мгновение, и точка N практически неотличима от точки М.
А что же произойдёт со скоростью ?
Предел этой скорости при Δt → 0 называется мгновенной скоростью движения в момент времени t:
Знакомо? Да это же определение производной!
Предел отношения приращения пути Δs к приращению времени Δt при Δt стремящимся к нулю есть производная пути s по времени t.
А в результате получилась скорость v(t).
Говорят, что скорость есть производная пути по времени: v(t) = s‘(t).
Аналогично можно показать, что
ускорение есть производная скорости по времени: a(t) = v‘(t).
В последних двух формулировках и заключается механический (физический) смысл производной.
Пример 1. (Задача 6 ЕГЭ) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = t3 + 4t2 -3t + 15, где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, прошедшее с начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 7 с.
Решение.
Так как скорость есть производная пути по времени,
то в нашем случае v(t) = х’ (t) = (t3 + 4t2 -3t + 15)’.
v(t) = 3t2 + 8t-3.
Тогда скорость в момент времени t = 7 найдём, подставив это значение 7 в последнее равенство.
v(7) = 3 ∙ 72 + 8 ∙ 7-3 = 3 ∙ 49 + 56-3 = 200. Ответ: 200.
Пример 2. (Задача 6 ЕГЭ) Материальная точка движется прямолинейно по закону
x(t) = t2 -9t -22, где х – расстояние от точки отсчёта в метрах, t – время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 3 м/с?
Решение. Скорость есть производная пути по времени, поэтому
v(t) = х’ (t) = (t2 -9t -22)’.
v(t) = 2t -9.
Найдём время t, зная скорость v = 3 в момент этого времени.
3 = 2t -9 → 2t = 12 → t = 6. Ответ: 6.
Пример 3. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t3 + t -1.
В какой момент времени ускорение будет равно 6 см/с2?
(x(t) – перемещение в сантиметрах, t – время в секундах.)
Решение. Скорость есть производная пути по времени, поэтому
v(t) = х’ (t) = (2t3 + t -1)’ = 6t2 + 1.
Ускорение есть производная скорости по времени: a(t) = v‘(t).
У нас a(t) = (6t2 + 1)’ = 12t.
Итак, a(t) = 12t. Найдём момент времени t при котором по условию ускорение
a(t) = 6.
6 = 12t → t = 6 : 12 → t = 0,5. Ответ: 0,5.
Точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС
Задача. Точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1, пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ=АС=17 и ВС=16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.
Решение.
Так как точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС, то отрезки А1В1, В1С1 и А1С1 являются средними линиями треугольника АВС (рис. 1).
Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
Вследствие этого мы получаем 4 треугольника, равных между собой по трём сторонам. Нас будут интересовать 3 из них (окрашены).
Около каждого из этих треугольников описана окружность.
Центр окружности, описанной около любого треугольника – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Пусть точка О1 – центр окружности (рис. 2), описанной около ΔА1СВ1 – пересечение серединных перпендикуляров О1Х и О1Х1 к сторонам А1С и В1С;
точка О2 – центр окружности, описанной около ΔА1ВС1 – пересечение серединных перпендикуляров О2Y и О2Y1 к сторонам А1B и ВС1. Заметим также, что точки Х, А1 и Y делят ВС на 4 равных отрезка.
точка О3 – центр окружности, описанной около ΔB1AC1 – пересечение серединных перпендикуляров О3Z и О3Z1 к сторонам АB1 и AC1; Заметим также, что точки Х1, В1 и Z делят AС на 4 равных отрезка, a точки Y1, C1 и Z1 делят AB на 4 равных отрезка.
а) Около равных треугольников А1СВ1 и A1BC1 будут описаны равные окружности, которые пересекаются в точках А1 и М (рис. 3).
Общая хорда А1М перпендикулярна линии центров О1О2 и проходит через точку К – середину отрезка О1О2. Следовательно, А1М будет осью симметрии для этих окружностей и является серединным перпендикуляром к отрезку ВС.
Итак, А1М Ʇ О1О2 и А1М Ʇ ВС, значит, О1О2 || BC.
В прямоугольнике ХО1О2Y О1О2 = XY, поэтому, очевидно, что О1О2 = ½ ВС.
Аналогично, прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О1 и О3 (рис. 4), будет являться серединным перпендикуляром к стороне АС треугольника АВС, и О1О3 || AC и О1О3 = ½ АС.
Точно так же прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О2 и О3 будет являться серединным перпендикуляром к стороне АВ треугольника АВС, и О2О3 || AВ и О2О3 = ½АВ.
Как известно, серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке, поэтому все три окружности пересекаются в точке М, ч.т.д. Точка М – центр окружности, описанной около треугольника АВС.
б) Так как длины сторон треугольника О1О2О3 равны соответственно половинам сторон треугольника АВС, то Δ О1О2О3 подобен ΔАВС по трём пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия 1/2. Следовательно, радиус окружности, вписанной в треугольник О1О2О3 будет равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС.
Радиус окружности, вписанной в ΔАВС найдём по формуле:
По условию АВ=АС=17 и ВС=16 (рис. 5). Проведём высоту AA1.
В равнобедренном ΔАВС высота AA1 – медиана, поэтому, в прямоугольном ΔAА1B гипотенуза АВ=17, катет ВA1=8, тогда второй катет AA1=15 (пифагорова «тройка» 8, 15, 17 или примените теорему Пифагора).
Тогда 2S = ВС ∙ AA1 = 16 ∙ 15 = 240.
Периметр ΔАВС равен 17+17+16 = 50.
Тогда r = 240 : 50 = 4,8.
Искомый радиус вписанной окружности для Δ О1О2О3 равен половине найденного радиуса вписанной окружности для ΔАВС, делим 4,8 пополам и получаем 2,4.
Ответ: 2,4. Смотреть видео решение.
Найдите все такие значения а, при каждом из которых
ЕГЭ 2022 ФИПИ Вариант 5. Задача 17
Задача. Найдите все такие значения а, при каждом из которых неравенство
-1 ≤ sinx(a-cos2x) ≤ 1 верно при всех действительных значениях х.
Решение. Видео решение этой задачи.
Применим формулу 1-cos2x = 2sin2x.
-1 ≤ sinx(a+2sin2x-1) ≤ 1. Сделаем замену. Пусть sinx = t.
Так как |sinx| ≤ 1 при любом х ∈ (- ∞; +∞),
то t ∈ [-1; 1]. Получаем:
-1 ≤ t(a+2t2 -1) ≤ 1.
Примечательно, что если мы разделим все части последнего двойного неравенства на любое (отрицательное или положительное) значение
t ≠ 0, то получится неравенство:
Прибавим ко всем частям неравенства выражение -2t2 +1.
причём, области определения этих функций D(f) = D(g) = [-1; 0) U (0; 1].
Тогда f(t) ≤ а ≤ g(t).
Получается, что число а больше или равно наибольшему значению функции f(t), и в это же время а меньше или равно наименьшему значению функции g(t), т.е.
max f(t) ≤ а ≤ min g(t).
Итак, нам необходимо найти максимум функции f(t) и минимум функции g(t).
Воспользуемся понятием производной.
Найдём промежутки убывания и возрастания функции f(t).
функция f(t) меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума функции. Находим значение максимума функции f(t).
Найдём промежутки убывания и возрастания функции g(t).
точек минимума не имеет. Это означает, что наименьшее значение функция будет иметь в точке t = 1.
Тогда min g(t) = g(1) = 1 -2 + 1 = 0.
Итак, min g(t) = 0.
Так как max f(t) ≤ а ≤ min g(t),
ЕГЭ 2022 ФИПИ Вариант 6. Задача 17
Задача. Найдите все такие значения а, при каждом из которых неравенство
-1 ≤ cosx(cos2x-a-1) ≤ 1 верно при всех действительных значениях х.
Решение.
Применим формулу 1+cos2x = 2cos2x.
-1 ≤ cosx(2cos2x-1-a-1) ≤ 1
-1 ≤ cosx(2cos2x-a-2) ≤ 1. Сделаем замену. Пусть cosx = t.
Так как |cosx| ≤ 1 при любом х ∈ (- ∞; +∞),
то t ∈ [-1; 1]. Получим:
-1 ≤ t(2t2 -a -2) ≤ 1.
Если мы разделим все части последнего двойного неравенства на любое (отрицательное или положительное) значение t ≠ 0, то получится неравенство:
Области определения этих функций D(f) = D(g) = [-1; 0) U (0; 1].
Тогда f(t) ≤ а ≤ g(t).
Получается, что число а больше или равно наибольшему значению функции f(t), и в это же время а меньше или равно наименьшему значению функции g(t), т.е.
max f(t) ≤ а ≤ min g(t).
Итак, нам необходимо найти максимум функции f(t) и минимум функции g(t).
Сделаем это с помощью производной.
Найдём промежутки убывания и возрастания функции f(t).
Итак, функция f(t) возрастает при
не имеет точек максимума, поэтому, наибольшее своё значение функция будет иметь в точке t = 1. Находим значение максимума функции f(t).
max f(t) = f(1) = 2-1-2 = -1.
Итак, max f(t) = -1.
Рассмотрим функцию g(t).
Найдём промежутки убывания и возрастания функции g(t).
На рисунке изображены графики функций f(x) и g(x)
Задача. На рисунке изображены графики функций
f(x) = ax2 + bx + c и g(x) = kx + d, которые пересекаются в точках А и В.
Найдите абсциссу точки В.
Решение. Смотреть видео.
1) Парабола. Очевидно, что записать уравнение данной квадратичной функции в виде y = a(x-m)2 + n не получится, т.к координаты вершины параболы (точка (m, n)) не выражается целыми числами. Будем искать уравнение квадратичной функции в виде f(x) = ax2 + bx + c. Значение с – это ордината точки пересечения параболы с осью Оу. Обозначим эту точку буквой С(0; -4). Так что имеем:
у = ax2 + bx -4. Парабола проходит через точку А(-2; -2), поэтому верно равенство:
-2 = a ∙ (-2)2 + b ∙ (-2) -4. Упростим и получим 2а- b = 1. Также парабола проходит через точку D(1; 1). Тогда верным будет равенство:
1 = а + b -4. Упростим и получим а + b = 5. Сложим полученные равенства
2а- b = 1 и а + b = 5
и получим 3а = 6, отсюда а = 2.
Подставим значение а = 2 в равенство а + b = 5 и получим b = 3.
Уравнение параболы имеет вид у = 2х2 + 3х -4.
2) Прямая. Наша прямая проходит через точки А(-2; -2) и Е(-1; 2).
Используем общую формулу уравнения прямой, проходящей через
точки (х1; у1) и (х2; у2):
У нас х1 = -2, у1 = -2; х2 = -1, у2 = 2. Подставляем эти значения в последнее равенство.
у + 2 = 4(х + 2);
у = 4х + 6 – уравнение прямой АЕ.
3) для того, чтобы найти точки пересечения прямой и параболы, решим систему полученных уравнений:
Решаем первое уравнение системы.
2х2 + 3х -4 = 4х + 6; 2х2-х -10 = 0.
Дискриминант D = 81, x1 = -2; x2 = 2,5.
Графики пересекаются в точках А(-2; -2) и В(2,5; 16).
Нас интересует только абсцисса точки В. Ответ: 2,5.
ЕГЭ 2022 ФИПИ Вариант 6. Задача 9
Задача. На рисунке изображены графики функций
f(x) = 3х + 3 и g(x) = ax2 + bx + c, которые пересекаются в точках
А(-1; 0) и В(х0; у0). Найдите у0.
Решение. Смотреть видео.
1) Парабола. Запишем уравнение данной квадратичной функции в виде
y = a(x-m)2 + n, где m и n – координаты вершины параболы.
У нас m = -2 и n = 1.
Тогда g(x) = а(х + 2)2 + 1. Если значение а неочевидно, то используем то, что парабола проходит через точку С(-4; -3), поэтому, подставив её координаты в равенство
g(x) = а(х + 2)2 + 1, получим верное равенство:
-3 = a ∙ (-4+2)2 + 1. Упростим и получим
-4 = 4а, отсюда а = -1.
Уравнение параболы имеет вид
g(x) = -(х + 2)2 + 1 или
у = -х2 -4х -3.
2) для того, чтобы найти точки пересечения прямой и параболы, решим систему уравнений:
Решаем первое уравнение системы.
-х2 -4х- 3 = 3х + 3; после преобразований:
х2 +7х + 6 = 0. По теореме Виета x1 = -6; x2 = -1.
Графики пересекаются в точках А(-1; 0) и В(-6; -15).
Нас интересует только ордината точки В. Ответ: -15.
Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС
Задача. Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.
а) Докажите, что ∠AOB = ∠COD = 90°.
б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со всеми сторонами трапеции составляет 12/49 площади трапеции ABCD.
Решение.
а) По условию трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности с центром О, следовательно, точка О есть пересечение биссектрис всех углов трапеции. Так как сумма углов трапеции, прилегающих к боковой стороне АВ, равна 180°, то сумма половинок этих углов равна 90°. Таким образом в ΔАОВ
∠OАB + ∠АВО = 90°, значит, и ∠АОВ = 90°.
Аналогично, так как ∠BCD + ∠ADC = 180°, то в ΔСOD
∠OCD + ∠ODC = 90°, следовательно, и ∠COD = 90°. Доказано.
б) По условию равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности с центром О. Пусть эта окружность касается сторон трапеции в точках М, Р, N и К. Четырёхугольник MPNK является вписанным в данную окружность. Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной.
Тогда ОМ⟘АВ, ОР⟘ВС, ОN⟘CD, ОK⟘АD. Смотреть видео решение этой задачи.
РК – диаметр окружности, перпендикулярен к основаниям трапеции и проходит через их середины, так как длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. РК – ось симметрии данной трапеции и четырёхугольника МРNК. Будем рассматривать половину данной трапеции слева от РК.
Площадь Δ МРК состоит из суммы площадей двух равновеликих треугольников МОР и МОК.
Действительно, площадь каждого из них равна половине произведения двух сторон (радиусов окружности) на синус угла (с вершиной в точке О) между ними; значения синусов смежных углов равны.
Проведём ОВ. Это биссектриса угла В трапеции ABCD.
В равнобедренном треугольнике МВР биссектриса ВТ является и медианой, и высотой (Т – середина МР, ВТ⟘МР). Тогда медиана ОТ (высота и биссектриса) делит равнобедренный треугольник ОМР на два равных треугольника РТО и МТО.
Аналогично рассуждая относительно ОА – биссектрисы угла А трапеции ABCD, делаем вывод, что равны треугольники МЕО и КЕО. Половинки равновеликих треугольников МОР и МОК также равновелики (и равны), значит, треугольник МРК состоит из четырёх равных треугольников, поэтому, разделив его площадь на 4, получим:
Выделим эти треугольники жёлтым цветом.
Итак, в рассматриваемой прямоугольной трапеции АВРК остаются:
Δ ВТР = Δ ВТМ (закрасим зелёным цветом) и
Δ АЕК = Δ АЕМ (закрасим розовым цветом).
Сумма этих четырёх, попарно равных треугольников, равна
Делим это значение пополам. Получаем:
В задаче требуется найти отношение AD : BC.
Обозначим AD = a, BC = b.
Нам нужно найти значение a : b.
По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности:
ОМ –радиус окружности, проведённый в точку касания, является высотой в прямоугольном треугольнике АОВ. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике
РТ – высота прямоугольного треугольника ВРО, проведённая к гипотенузе ВО, делит треугольник ВРО на подобные треугольники ВТР и РТО с коэффициентом подобия, равным отношению сходственных сторон:
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.
Точно так же, КЕ – высота прямоугольного Δ АКО, проведённая к гипотенузе АО, делит этот треугольник на подобные треугольники АЕК и КЕО. Тогда коэффициент их подобия:
6 + 6t2 = 37t;
6t2 -37t + 6 = 0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле.
D = 372 -4 ∙ 6 ∙ 6 = 1369 -144 = 1225 = 352;
Итак, AD : BC = 6.
Ответ: 6.
В правильной треугольной призме на рёбрах АС и ВС отмечены соответствующие точки M и N
Задача.
В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 на рёбрах АС и ВС отмечены соответствующие точки M и N так, что AM : MC = CN : BN = 2 : 1,
точка К – середина ребра А1С1.
а) Докажите, что плоскость MNK проходит через вершину В1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости KMN, если АВ = 6, АА1 = 2,4.
Решение.
а) В основании призмы лежит равносторонний треугольник АВС. Обозначим его сторону через а. Смотрите рис. 1.
Тогда АМ = 2а/3, МС = а/3 и
CN = 2а/3, BN = а/3.
А1К = КС1 = а/2.
Проведём MN и КМ. Это линии пересечения плоскости MNK с нижним основанием призмы и боковой гранью АА1С1С соответственно.
Проведём KF Ʇ AC, тогда AF = FC = a/2. А так как МС = а/3, то
MF = FC-MC = a/2-a/3 = a/6
Проведём В1K и BF.
Четырёхугольник BFKB1 является прямоугольником, отсюда В1K = BF.
В равностороннем треугольнике АВС медиана BF является и высотой.
Таким образом, BF Ʇ AC.
Имеем: MC : FC = a/3 : a/2 = 2 : 3 и CN : BC = 2a/3 : a = 2 : 3.
Треугольники MCN и FCB подобны по двум пропорциональным сторонам и общему углу С между ними. Соответственные углы подобных треугольников равны, поэтому прямые MN и BF параллельны по признаку параллельности прямых. Но BF и В1К параллельны, как противоположные стороны прямоугольника BFKB1, следовательно, параллельны и прямые MN и В1K.
Итак, плоскость MNK пересекает параллельные плоскости нижнего и верхнего основания по параллельным прямым MN и В1K, а так как через точку К можно провести единственную прямую параллельную данной, то очевидно, что плоскость MNK проходит через вершину В1, ч.т.д. Четырёхугольник MNB1K – плоскость сечения данной призмы.
б) Способ 1 (традиционный). Мы доказали, что прямые MN и BF параллельны,
а так как BF Ʇ АС, то и MN Ʇ АС. Для того, чтобы найти расстояние от точки С до плоскости KMN, определим плоскость, проходящую через точку С и перпендикулярную плоскости KMN. Проведём СК и рассмотрим плоскость МСК. Смотрите рис. 2.
На основании теоремы о трёх перпендикулярах MN Ʇ KM (MN – прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной КМ, перпендикулярно её проекции FM).
Итак, MN Ʇ KM и MN Ʇ MC, следовательно, MN Ʇ (MCK). Плоскость MNK проходит через прямую MN, перпендикулярную плоскости MСK, а потому будет перпендикулярна плоскости MCK. Так как плоскость МСК перпендикулярна плоскости MNK и пересекает её по прямой МК, то расстоянием от точки С до плоскости KMN будет длина перпендикуляра, проведённого из точки С к прямой МК.
Треугольник МСК тупоугольный (угол СМК тупой, так как является смежным с острым углом KMF), поэтому точка Т — основание перпендикуляра СТ будет лежать на продолжении стороны МК треугольника МСК. Обозначим угол СМТ через α. Тогда и угол KMF равен α (вертикальные углы равны). В прямоугольном треугольнике СТM катет СТ = МС ∙ sinα,
где sinα = KF/MK из прямоугольного треугольника KFM.
По условию АВ = а = 6 и АА1 = 2,4.
Тогда МС = а/3 = 2; MF = a/6 = 1; KF = АА1 = 2,4.
Из прямоугольного треугольника KFM по теореме Пифагора
MK2 = MF2 + KF2 = 12 + 2,42 = 1 + 5,76 = 6,76. Отсюда MK = 2,6.
Получаем sinα = KF/MK = 2,4 : 2,6 = 12/13.
Искомый отрезок СТ = МС ∙ sinα = 2 ∙ 12/13 = 24/13. Это и есть расстояние от точки С до плоскости KMN.
Примечание. СТ можно было найти и без применения тригонометрии. Из подобия прямоугольных треугольников KFM и СТМ по острому углу α справедливо равенство
KF : CT = KM : MC, из которого и находим СТ.
Ответ: 24/13.
б) Способ 2 (метод координат в пространстве).
Решение.
Введём систему координат, считая точку F началом координат, a отрезки FC, FB и FK, лежащими соответственно на осях абсцисс, ординат и аппликат.
Смотрите рис. 3.
Точка М имеет координаты (1; 0; 0), так как MF = a/6 = 6 : 6 = 1.
Точка К имеет координаты (0; 0; 2,4), так как KF = АА1 = 2,4.
Точка С имеет координаты (3; 0; 0), так как FC = a/2 = 6 : 2 = 3.
Плоскость KMN параллельна оси Оу и отсекает от оси Ох отрезок равный 1, а от оси Оz отрезок, равный 2,4. Следовательно, плоскость KMN задаётся уравнением
которое равносильно уравнению 2,4x + z = 2,4 или 2,4x + z -2,4 = 0.
Требуется найти расстояние от точки С(3; 0; 0) до плоскости 2,4x + z -2,4 = 0.
Расстояние h от точки с координатами (xo; yo; zo)
до плоскости ax + by + cz + d = 0 определяется по формуле:
У нас х0 = 3, у0 = z0 = 0; а = 2,4; b = 0, c = 1, d = -2,4.
Тогда искомое расстояние от точки С до плоскости KMN:
Ответ: 24/13.
