Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS

Найдите все такие значения а, при каждом из которых

ЕГЭ 2022 ФИПИ Вариант 5. Задача 17

Задача. Найдите все такие значения а, при каждом из которых неравенство

-1 ≤ sinx(a-cos2x) ≤ 1 верно при всех действительных значениях х.

Решение.  Видео решение этой задачи.

Применим формулу 1-cos2x = 2sin2x.

-1 ≤ sinx(a+2sin2x-1) ≤ 1. Сделаем замену. Пусть sinx = t.

Так как |sinx| ≤ 1 при любом х ∈ (- ∞; +∞),

то t ∈ [-1; 1]. Получаем:

-1 ≤ t(a+2t2 -1) ≤ 1.

Примечательно, что если мы разделим все части последнего двойного неравенства на любое (отрицательное или положительное) значение

t ≠ 0, то получится неравенство:

Прибавим ко всем частям неравенства выражение -2t2 +1.

причём, области определения этих функций D(f) = D(g) = [-1; 0) U (0; 1].

Тогда   f(t) ≤ а ≤ g(t).

Получается, что число а больше или равно наибольшему значению функции f(t), и в это же время а меньше или равно наименьшему значению функции g(t), т.е.

max f(t) ≤ а ≤ min g(t).

Итак, нам необходимо найти максимум функции f(t) и минимум функции g(t).

Воспользуемся понятием производной.

Найдём промежутки убывания и возрастания функции f(t).

функция f(t) меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума функции. Находим значение максимума функции f(t).

Найдём промежутки убывания и возрастания функции g(t).

точек минимума не имеет. Это означает, что наименьшее значение функция будет иметь в точке t = 1.

Тогда min g(t) = g(1) = 1 -2 + 1 = 0.

Итак, min g(t) = 0.

Так как max f(t) ≤ а ≤ min g(t),

ЕГЭ 2022 ФИПИ Вариант 6. Задача 17

Задача. Найдите все такие значения а, при каждом из которых неравенство

-1 ≤ cosx(cos2x-a-1) ≤ 1 верно при всех действительных значениях х.

Решение.

Применим формулу 1+cos2x = 2cos2x.

-1 ≤ cosx(2cos2x-1-a-1) ≤ 1

-1 ≤ cosx(2cos2x-a-2) ≤ 1. Сделаем замену. Пусть cosx = t.

Так как |cosx| ≤ 1 при любом х ∈ (- ∞; +∞),

то t ∈ [-1; 1]. Получим:

-1 ≤ t(2t2 -a -2) ≤ 1.

Если мы разделим все части последнего двойного неравенства на любое (отрицательное или положительное) значение t ≠ 0, то получится неравенство:

Области определения этих функций D(f) = D(g) = [-1; 0) U (0; 1].

Тогда   f(t) ≤ а ≤ g(t).

Получается, что число а больше или равно наибольшему значению функции f(t), и в это же время а меньше или равно наименьшему значению функции g(t), т.е.

max f(t) ≤ а ≤ min g(t).

Итак, нам необходимо найти максимум функции f(t) и минимум функции g(t).

Сделаем это с помощью производной.

Найдём промежутки убывания и возрастания функции f(t).

Итак, функция f(t) возрастает при

не имеет точек максимума, поэтому, наибольшее своё значение функция будет иметь в точке t = 1. Находим значение максимума функции f(t).

max f(t) = f(1) = 2-1-2 = -1.

Итак, max f(t) = -1.

Рассмотрим функцию g(t).

Найдём промежутки убывания и возрастания функции g(t).

 

Комментирование закрыто.

Наверх