Найдите все такие значения а, при каждом из которых

ЕГЭ 2022 ФИПИ Вариант 5. Задача 17

Задача. Найдите все такие значения а, при каждом из которых неравенство

-1 ≤ sinx(a-cos2x) ≤ 1 верно при всех действительных значениях х.

Решение.  Видео решение этой задачи.

Применим формулу 1-cos2x = 2sin²x.

-1 ≤ sinx(a+2sin²x-1) ≤ 1. Сделаем замену. Пусть sinx = t.

Так как |sinx| ≤ 1 при любом х ∈ (- ∞; +∞),

то t ∈ [-1; 1]. Получаем:

-1 ≤ t(a+2t² -1) ≤ 1.

Примечательно, что если мы разделим все части последнего двойного неравенства на любое (отрицательное или положительное) значение

t ≠ 0, то получится неравенство:

Прибавим ко всем частям неравенства выражение -2t² +1.

причём, области определения этих функций D(f) = D(g) = [-1; 0) U (0; 1].

Тогда   f(t) ≤ а ≤ g(t).

Получается, что число а больше или равно наибольшему значению функции f(t), и в это же время а меньше или равно наименьшему значению функции g(t), т.е.

max f(t) ≤ а ≤ min g(t).

Итак, нам необходимо найти максимум функции f(t) и минимум функции g(t).

Воспользуемся понятием производной.

Найдём промежутки убывания и возрастания функции f(t).

функция f(t) меняет знак с «+» на «-», следовательно, это точка максимума функции. Находим значение максимума функции f(t).

Найдём промежутки убывания и возрастания функции g(t).

точек минимума не имеет. Это означает, что наименьшее значение функция будет иметь в точке t = 1.

Тогда min g(t) = g(1) = 1 -2 + 1 = 0.

Итак, min g(t) = 0.

Так как max f(t) ≤ а ≤ min g(t),

ЕГЭ 2022 ФИПИ Вариант 6. Задача 17

Задача. Найдите все такие значения а, при каждом из которых неравенство

-1 ≤ cosx(cos2x-a-1) ≤ 1 верно при всех действительных значениях х.

Решение.

Применим формулу 1+cos2x = 2cos²x.

-1 ≤ cosx(2cos²x-1-a-1) ≤ 1

-1 ≤ cosx(2cos²x-a-2) ≤ 1. Сделаем замену. Пусть cosx = t.

Так как |cosx| ≤ 1 при любом х ∈ (- ∞; +∞),

то t ∈ [-1; 1]. Получим:

-1 ≤ t(2t² -a -2) ≤ 1.

Если мы разделим все части последнего двойного неравенства на любое (отрицательное или положительное) значение t ≠ 0, то получится неравенство:

Области определения этих функций D(f) = D(g) = [-1; 0) U (0; 1].

Тогда   f(t) ≤ а ≤ g(t).

Получается, что число а больше или равно наибольшему значению функции f(t), и в это же время а меньше или равно наименьшему значению функции g(t), т.е.

max f(t) ≤ а ≤ min g(t).

Итак, нам необходимо найти максимум функции f(t) и минимум функции g(t).

Сделаем это с помощью производной.

Найдём промежутки убывания и возрастания функции f(t).

Итак, функция f(t) возрастает при

не имеет точек максимума, поэтому, наибольшее своё значение функция будет иметь в точке t = 1. Находим значение максимума функции f(t).

max f(t) = f(1) = 2-1-2 = -1.

Итак, max f(t) = -1.

Рассмотрим функцию g(t).

Найдём промежутки убывания и возрастания функции g(t).