Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 5

Задача. а) Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 5 натуральных делителей.

б) Существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 15 натуральных делителей?

в) Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых ровно 20 натуральных делителей?

Решение.

Мы умеем записывать каноническое разложение числа на простые множители. Например, 24 = 2³ ∙ 3 – каноническое разложение числа 24 на простые множители. Существует правило:

если число можно представить в виде

где m₁, m₂, … , m_k – натуральные показатели, то количество делителей числа n будет равно (m₁+1) ∙ (m₂+1) ∙ ∙∙∙ ∙ (m_k+1).

Так, например, у числа 24 = 2³ ∙ 3¹ всего (3+1)(1+1) = 4 ∙ 2 = 8 делителей.

Проверьте: 24 делится на 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12 и на 24.

а) Трёхзначное число, у которого 5 делителей, в каноническом виде есть произведение степеней с такими натуральными делителями m₁, m₂, … , m_k,

чтобы (m₁+1) ∙ (m₂+1) ∙ ∙∙∙ ∙ (m_k+1) = 5. Так как 5 = 1 ∙ 5, то показатели степеней должны быть 0 и 4.

Подойдёт а=5. Получаем 1 ∙ 5⁴ = 625. Это число имеет 5 делителей: 1; 5; 25; 125; 625.

б) 15 = 3 ∙ 5. Следовательно, будем искать число, каноническое разложение которого равно

Возьмём а₁ = 3; а₂ = 2 для примера.

Получим 3² ∙ 2⁴ = 9 ∙ 16 = 144 – трёхзначное число.

У числа 144 ровно 15 делителей: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 36; 48; 72; 144.

Если возьмём а₁ = 2; а₂ = 3, то получим 2² ∙ 3⁴ = 4 ∙ 81 = 324 – тоже трёхзначное число, и у него тоже ровно 15 делителей:

1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 27; 36; 54; 81; 108; 162; 324.

в) 20 = 4 ∙ 5, значит, возможно произведение  двух степеней с натуральными основаниями, показатели которых 3 и 4.

Например, 2³ ∙ 3⁴ = 648 (подходит, это 1-ое трёхзначное число),

2⁴ ∙ 3³ = 432 (2-ое число), 2⁴ ∙ 5³ = 2000 (это четырёхзначное число, не подойдёт).

20 = 2 ∙ 2 ∙ 5. Это означает, что каноническое разложение может представлять собой произведение трёх степеней с простыми натуральными основаниями и показателями 1, 1 и 4.

Подберём простые натуральные числа в качестве оснований степеней а₁, а₂ и а₃ так, чтобы в результате получались трёхзначные числа.

2⁴ ∙ 3 ∙ 5 = 240 (3-е число),

2⁴ ∙ 3 ∙ 7 = 336 (4-ое число),

2⁴ ∙ 3 ∙ 11 = 528 (5-ое число),

2⁴ ∙ 3 ∙ 13 = 624 (6-ое число),

2⁴ ∙ 3 ∙ 17 = 816 (7-ое число),

2⁴ ∙ 3 ∙ 19 = 912 (8-ое число),

2⁴ ∙ 5 ∙ 7 = 560 (9-ое число),

2⁴ ∙ 5 ∙ 11 = 880 (10-ое число),

3⁴ ∙ 2 ∙ 5 = 810 (11-ое число),

3⁴ ∙ 2 ∙ 7 = 1134 (не подойдёт).

Ответ: а) 625; б) да, 144; в) 11.