Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число

Задача. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли быть одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.

Решение.

а) Да. Возьмём группы:

1) 1, 2, 8 и 9. Среднее арифметическое (1+2+8+9) : 4 = 5.

2) 3 и 7. Среднее арифметическое (3+7) : 2 = 5.

3) 4, 5, 6 и 16. Среднее арифметическое: (4+5+6+16) : 4 = 7,75.

Средние арифметические первых двух групп равны.

б) Попробуем составить группы так, чтобы их средние арифметические были равны.

Пример 1.

1) 1, 2, и 16. Среднее арифметическое

2) 3, 4, 8 и 9. Среднее арифметическое (3+4+8+9) : 4 = 6.

3)  5, 6 и 7. Среднее арифметическое: (5+6+7) : 3 = 6.

Нет, не получилось. А, может, так:

Пример 2.

1) 5 и 8. Среднее арифметическое (5+8) : 2 = 6,5

2) 6. Среднее арифметическое самого числа равно этому числу  6.

3)  1, 2, 3, 4, 7, 9 и 16. Среднее арифметическое: (1+2+3+4+7+9+16) : 7 = 6.

Опять не то. Или так:

Пример 3.

1) 6. Среднее арифметическое самого числа равно этому числу  6.

2) 3 и 9. Среднее арифметическое (3+9) : 2 = 6.

3)  1, 2, 4, 5, 7, 8 и 16. Среднее арифметическое:

Пример 4.

1) 4 и 8. Среднее арифметическое (4+8) : 2 = 6.

2) 3 и 9. Среднее арифметическое (3+9) : 2 = 6.

3)  1, 2, 5, 6, 7 и 16. Среднее арифметическое:

Не получается. Но мы заметили, что каждое из средних арифметических близко к среднему арифметическому всех десяти чисел:

(1+2+3+4+5+6+7+8+9+16) : 10 = 61 : 10 = 6,1. И если бы средние арифметические всех трёх групп были равны, то они были бы равны, именно, числу 6,1, но это невозможно, потому что: 1) сумма чисел в каждой группе выражается целым числом; 2) ни одну из сумм чисел в любой группе, не придется делить на 10, максимум на 7, как в примере 3.

Вывод: нет, одинаковыми все три значения средних арифметических быть не могут.

в) Примеры 1-4, рассмотренные в пункте б), позволяют понять непростой вопрос, на который нам предстоит ответить: «найдите  наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических».

Очевидно, что выбирать наименьшее придется

(смотрите примеры 1-4), так как наибольшие средние арифметические групп мы получим только если они будут максимально приближенными друг к другу, а именно: средние арифметические двух групп будут равны 6, а среднее арифметическое третьей группы будет больше шести. Понятно, что это третье число не может быть меньше или равно 6,1. Так как ни одна группа не может насчитывать больше 7-ми членов,