На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое их которых не превосходит 40

Задача. На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое их которых не превосходит 40. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого оказались меньше 1, с доски стёрли.

а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, больше 14?

б)  Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться больше 12, но меньше 13?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.

Решение.

Так как среднее арифметическое 30-ти написанных на доске чисел, равно 7, то сумма этих 30-ти чисел равна 30 ∙ 7 = 210.

а) Среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске, может оказаться больше 14. Пример:

Здесь 24 единицы и 6 чисел, сумма которых 210-24=186.

Вместо каждого из чисел запишем число, меньшее в два раза.

Теперь стираем числа, меньшие 1, и найдём среднее арифметическое оставшихся чисел.

Можно было иначе найти среднее арифметическое оставшихся чисел – мы ведь знаем, что сумма шести, отличных от единицы, чисел равна 186, половина этой суммы – число 93, а среднее арифметическое шести чисел 93 : 6 = 15,5.

Понятно, что чем больше будет сумма чисел, отличных от единицы, а самих единиц больше, тем больше мы получим значение среднего арифметического оставшихся чисел.

Если мы возьмем 25 единиц, то сумма оставшихся пяти чисел будет равна 210-25=185. Среднее арифметическое этих чисел 185 : 5 = 37 < 40, что удовлетворяет условию. После того, как все числа мы заменим на числа, меньшие в 2 раза, сумма оставшихся 5 чисел составит 185 : 2 = 92,5. Среднее арифметическое будет равно 92,5 : 5 = 18,5.

Если мы возьмем 26 единиц, то на сумму оставшихся 4-х чисел придётся

210-26=184, среднее арифметическое будет равно 184 : 4 = 46 > 40, что противоречит условию задачи, следовательно, 26 единиц мы взять не можем, и наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске, равно 18,5.

Итак, при 25-ти единицах среднее арифметическое оставшихся чисел равно 18,5.

При 24-х единицах среднее арифметическое оставшихся чисел равно 15,5.

Возьмём 23 единицы, тогда сумма оставшихся 7-ми чисел будет равна

210-23=187, половина этой суммы составит 187 : 2 = 93,5, а среднее арифметическое равно 93,5 : 7 ≈ 13,36.

Возьмём 22 единицы, тогда  сумма оставшихся 8-ми чисел будет равна

210-2=188, половина этой суммы составит 188 : 2 = 94, а среднее арифметическое равно 94 : 8 = 11,75.

Вывод: среднее арифметическое оставшихся на доске чисел не может оказаться больше 12, но меньше 13.

Ответ: а) да; б) нет; в) 18,5.