Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более 2-х решений
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений. 
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы.
Раскроем модульные скобки.
Определим знак каждого подмодульного выражения. Для этого воспользуемся методом интервалов.
а) x2-2х=х(х-2). x2-2х≥0 на промежутках (-∞; 0]U[2; +∞);
x2-2х<0 на промежутке (0; 2).
б) у2-2у≥0 на промежутках (-∞; 0]U[2; +∞); у2-2у<0 на промежутке (0; 2).
В зависимости от знака подмодульного выражения мы можем получить 4 разных уравнения.
1) Если x2-2х≥0 и у2-2у≥0, т.е. если
х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞), то после раскрытия модульных скобок мы получаем равенство:
х2+х2-2х=у2+у2-2у → 2х2-2х=2у2-2у → х2-х=у2-у → (х2-у2)-(х-у)=0;
(х-у)(х+у)-(х-у)=0 → (х-у)(х+у-1)=0.
Отсюда следует, что либо х-у=0, либо х+у-1=0, поэтому графиком этого уравнения будут служить точки, лежащие на прямых у=х и у= -х+1. Построим эти прямые на участках координатной плоскости для
х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞). Линии изобразим зеленым цветом. Смотрите координатную плоскость.
2) Если x2-2х<0 и у2-2у<0, т.е. если х∈(0; 2) и у∈(0; 2), то выражения в модульных скобках перепишем с противоположными знаками и получим:
х2-х2+2х=у2-у2+2у → у=х. График – прямая, которая является биссектрисой I и III-го координатных углов. Изобразим коричневым цветом только отрезок этой прямой при
х (0; 2) и у (0; 2).
3) Если x2-2х≥0 и у2-2у<0, т.е. если х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(0; 2), то получаем уравнение
х2+х2-2х= у2-у2+2у → 2у=2х2-2х → у=х2-х. Это квадратичная функция. Графиком служит парабола, пересекающая ось Ох в
точках (0; 0) и (2; 0), ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы O’(m; n), где m= -b : (2a) = 1 : 2 = 0,5;
n=у(m) = у(0,5)=0,52-0,5=0,25-0,5=-0,25. Синим цветом начертим часть этой параболы, точки которой удовлетворяют условиям:
х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(0; 2).
4) Если x2-2х<0 и у2-2у≥0, т.е.
если х∈(0; 2) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞), то после раскрытия модульных скобок мы получаем равенство:
х2-х2+2х=у2+у2-2у → 2х=2у2-2у → х=у2-у. Это квадратичная функция зависимости х от у. Эта парабола пересекает ось Оу в
точках (0; 0) и (0; 2). Вершина параболы
O”(m; n), m= -b : (2a) = 1 : 2 = 0,5;
n=x(m) = x(0,5)=0,52-0,5=0,25-0,5=-0,25. Так как функция у нас зависит от переменной у, то координаты вершины параболы х= -0,25, у=0,5.
Чертим красным цветом ту часть параболы, точки которой удовлетворяют условиям:
х∈(0; 2) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞).
Данная система уравнений должна иметь более двух решений, поэтому необходимо, чтобы прямая х + у = а пересекала построенный нами график более чем в двух точках. Запишем это уравнение в виде у = -х +а. График функции у = -х есть биссектриса II и IV-го координатных углов и имеет одну общую точку с графиком первого уравнения. Если этот график сдвинуть на один единичный отрезок вверх, то прямая у = -х +1 будет иметь множество общих точек с графиком первого уравнения (смотрите 1 пункт решения нашего задания), следовательно система будет иметь множество решений.
Вывод: при значениях 0< а ≤ 1 прямая у = -х + а будет иметь с графиком первого уравнения более двух общих точек. Ответ: 0< а ≤ 1.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений
Решение. Так как правая часть равенства неотрицательна, то неотрицательной будет и левая часть неравенства.
Следовательно, x2-8x + y2 + 4y + 15 ≥ 0.
Выделим из алгебраических сумм (x2-8x) и (y2 + 4y) полные квадраты двучленов.
x2-2 ∙ х ∙ 4 + 42-42 + y2 + 2 ∙ y ∙ 2 + 22-22 + 15 ≥ 0;
(x2-2 ∙ х ∙ 4 + 42) + (y2 + 2 ∙ y ∙ 2 + 22) + 15 ≥ 16 + 4-15;
(х-4)2 + (у + 2)2 ≥ 5.
ОДЗ: решения системы находятся среди множества точек, лежащих вне окружности с центром в точке Q(4; -2) и радиусом R =√5 . Смотрите рисунок. Эта окружность изображена зелёным цветом
1) Раскроем модульные скобки в первом уравнении системы, считая подмодульное выражение отрицательным,
т.е. при 2х-у-10 < 0.
Запишем это неравенство в виде: у > 2x -10. Получаем:
x2-8x + y2 + 4y + 15 = 4 ∙ (-2х + у + 10);
x2-8x + y2 + 4y + 15 = -8х + 4у + 40;
x2 + y2 = 25. Графически это уравнение изображает окружность с центром в начале координат и радиусом R = 5.
Решением первого уравнения при условии у > 2x -10 является множество точек
окружности x2 + y2 = 25, лежащих выше прямой у = 2x-10 и находящихся вне окружности (х-4)2 + (у + 2)2 = 5. Эти точки изображены синим цветом.
2) Раскроем модульные скобки в первом уравнении системы, считая подмодульное выражение неотрицательным, т.е. при 2х-у-10 ≥ 0.
Запишем это неравенство в виде: у ≤ 2x -10. Получаем:
x2-8x + y2 + 4y + 15 = 4 ∙ (2х-у-10);
x2-8x + y2 + 4y + 15 = 8х-4у-40;
x2-16х + y2 + 8у = -55. Преобразуем это уравнение к виду:
x2-2 ∙ х ∙ 8 + 82-82 + y2 + 2 ∙ y ∙ 4 + 42-42 = -55;
(x2-2 ∙ х ∙ 8 + 82)-82 + (y2 + 2 ∙ y ∙ 4 + 42)-42 = -55 + 64 + 16;
(х-8)2 + (у + 4)2 = 25.
Графически это уравнение изображает окружность с центром
в точке (8; -4) и радиусом R = 5. Нам подойдут те точки этой окружности, которые лежат ниже прямой у = 2х-10 и находящиеся вне окружности (х-4)2 + (у + 2)2 = 5. Изображаем эти точки красным цветом.
3) Второе уравнение данной системы уравнений х + 2у = а запишем в виде:
занимала промежуточное положение между касательными к зелёной окружности и касательными к синей и красной окружностям, при этом последние касательные не подойдут, так как только в двух точках будут пересекать окружности. Числовое значение параметра а мы найдём, решив системы уравнений:
Будем решать каждую систему уравнений методом подстановки: значение у из первого уравнения подставляем во второе уравнение и получаем квадратное уравнение относительно переменной х. Далее потребуем, чтобы дискриминант квадратного уравнения был равен нулю. В этом случае квадратное уравнение, а значит и каждая система (1-3) будет иметь единственное решение, зависящее от значения а,
4x2-32x + 64 + x2 + a2 + 16-8x + 8a-2ax-20 = 0;
5x2-40x-2ax + 60 + a2 + 8a = 0;
5x2-2(20 + a)x + a2 + 8a + 60 = 0. Находим дискриминант по формуле для чётного второго коэффициента.
D1 = (20 + a)2-5(a2 + 8a + 60) = 400 + 40a + a2-5a2-40a-300 = 100-4a2.
D1 = 0 → 100-4a2 → a2 = 25 → a = ±5.
х2-16х + 64 + х2 + а2 + 16-4х + 4а-ах-25 = 0 | ∙ 4
4x2-64x + 256 + x2 + a2 + 64-16x + 16a-2ax-100 = 0;
5x2-80x-2ax + a2 + 16a + 220 = 0;
5x2-2(40 + a)x + a2 + 16a + 220 = 0. Находим дискриминант по формуле для чётного второго коэффициента.
D1 = (40 + a)2-5(a2 + 16a + 220) = 1600 + 80a + a2-5a2-80a-1100 = 500-4a2.
D1 = 0 → 500-4a2 → a2 = 125 .
являются касательными к окружности (х-8)2 + (у + 4)2 = 25 (красной на чертеже).
3) Убедимся, что к окружности x2 + y2 = 25 (синей окружности) касательными
4х2 + х2-2ах + а2-100 = 0 → 5х2-2ах + а2-100 = 0.
Дискриминант D1 = a2-5(a2-100) = a2-5a2 + 500 = 500-4a2. Смотрим рассуждения в пункте 2) и убеждаемся в том, что и к синей окружности касательными являются прямые
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
имеет более одного решения.
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы.
1) Пусть х2 + у2 -25 ≥ 0. Неравенство х2 + у2 ≥ 25 или х2 + у2 ≥ 52 описывает множество точек координатной плоскости, лежащих вне круга с центром в начале координат и радиусом R = 5. На чертеже круг показан зелёным цветом.
Раскроем модульные скобки.
х2 + 20х + у2 -20у + 75 = х2 + у2-25;
20x-20y + 100 = 0. Разделим обе части равенства на 20.
х-у + 5 = 0; у = х + 5. Графиком служит прямая у = х, смещённая вдоль оси Оу на 5 единичных отрезков. Нам подойдут только те точки прямой у = х + 5, которые будут лежать вне круга х2 + у2 = 25. На чертеже показана эта часть прямой синим цветом.
2) Пусть х2 + у2-25 ≤ 0. Неравенство х2 + у2 ≤ 25 или х2 + у2 ≤ 52 описывает множество точек координатной плоскости, лежащих внутри круга с центром в начале координат и радиусом R = 5.
Раскроем модульные скобки.
х2 + 20х + у2 -20у + 75 = -х2 -у2 + 25;
2х2 + 20х + 2у2 -20у + 50 = 0. Разделим обе части равенства на 2.
х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0. Преобразуем это выражение.
x2 + 2 ∙ х ∙ 5 + 52-52 + y2 -2 ∙ y ∙ 5 + 52-52 + 25 = 0;
(x2 + 2 ∙ х ∙ 5 + 52) + (y2 -2 ∙ y ∙ 5 + 52) = 25;
(х + 5)2 + (у-5)2 = 52.
Это уравнение описывает окружность с центром в точке (-5; 5) и радиусом R = 5. Нам подойдут только те точки этой окружности, которые будут лежать внутри окружности
х2 + у2 = 25. На чертеже эти точки окружности обозначены красным цветом.
Рассмотрим второе уравнение системы.
х-у = а. Запишем равенство в виде: у = х-а. Графиком этой функции будет служить прямая у = х, смещённая вдоль оси Оу на а единичных отрезков. Для того, чтобы система уравнений имела более одного решения прямая у = х-а должна пересечь сине-красную линию чертежа два и более раз.
Решим систему уравнений у = х-а и х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0.
Подставим значение у = х-а в выражение х2 + 10х + у2 -10у + 25 = 0. Получаем:
х2 + 10х + (х-а)2 -10(х-а) + 25 = 0. Раскроем скобки.
х2 + 10х + х2-2ах + а2-10х +10а + 25 = 0;
2х2 -2ах + а2 +10а + 25 = 0.
Дискриминант D1 = a2-2(а2 +10а + 25) = a2-2а2-20а-50 = -а2-20а-50. Если дискриминант больше нуля, то последнее уравнение, а значит, и вся система имеют два действительных корня.
D1 > 0 → -а2-20а-50 > 0 → а2 + 20а + 50 < 0.
Это неравенство будет верным при a1 < a < a2, где a1 и a2 — корни квадратного уравнения а2 + 20а + 50 = 0.
Решим уравнение а2 + 20а + 50 = 0.
D1 = 102-50 = 50.
Таким образом, а2 + 20а + 50 < 0
и не будет иметь общих точек с графиком первого уравнения данной системы (с сине-красной линией).
и будет касаться красной линии. В точке касания система будет иметь единственное решение. Очевидно, что если мы будем перемещать прямую
параллельно самой себе в направлении прямой у = х + 5, то каждый раз будем получать по две точки пересечения, и данная система будет иметь два решения.
совпадет с прямой у = х + 5, то это будет означать, что данная система имеет множество решений.
Если бы вторым уравнением данной системы было уравнение, приводящееся к виду
у = х + а, то мы бы сказали, что данная система будет иметь более двух решений
У нас же прямая у = х-а или у = х + (- а), следовательно, при условии:
прямая у = х + (- а) пересечёт сине-красную линию более двух раз и, значит, данная система будет иметь более одного решения.
