Графики функций на клетчатой бумаге
Задача 1. На рисунке 1 изображён график функции
f(x) = ax2 + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(-8).
Решение.
Квадратичную функцию f(x) = ax2 + bx + c также можно представить в виде:
f(x) = a(x-m)2 + n, где m и n — координаты вершины параболы, а – коэффициент сжатия.
На рисунке мы видим параболу. Мысленно перенесём её вершину в начало координат и понимаем, что в этом случае на рисунке окажется график привычной нам функции
у = х2, т.е. а = 1.
У нашей параболы вершина находится в точке A(3; -2), т.е. m = 3, n = -2.
Получаем y = (x-3)2-2. Это и есть функция, график которой изображён на рисунке 1. Нам нужно найти f(-8), поэтому нет необходимости преобразовывать полученную функцию к виду f(x) = ax2 + bx + c.
Мы просто подставим число -8 вместо х.
f(-8) = y(-8) = (-8-3)2-2 = 121-2 = 119.
Ответ: 119.
Задача 2. На рисунке 2 изображён график функции
f(x) = ax2 + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(7).
Решение.
Вершина параболы А(-3; -4),
Искомую функцию запишем в виде:
y = a(x-m)2 + n, где m и n – координаты вершины параболы.
У нас m = -3, n = -4.
Получаем у = а(х+3)2-4.
Подставляем в это равенство координаты точки В(-2; -1) и найдём коэффициент а.
-1 = а(-2+3)2-4;
-1 = а-4, значит, а = 3.
Итак, уравнение параболы, изображённой на рисунке: у = 3(х+3)2-4.
А теперь находим значение f(7).
у(7) = 3(7+3)2-4 = 3 ∙ 100-4 = 296. Ответ: 296.
Задача 3. На рисунке 3 изображён график функции
f(x) = ax2 + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(-5).
Решение.
Рассуждаем точно так же!
Вершина параболы А(4; 3),
Квадратичную функцию запишем в виде y = a(x-m)2 + n, где m и n – координаты вершины параболы.
У нас m = 4, n = 3.
Получаем у = а(х-4)2 + 3.
Для того, чтобы найти коэффициент а, в полученное уравнение подставим координаты точки В(2; 1).
1 = а(2-4)2 + 3;
1 = 4а + 3;
4а = -2, отсюда а = -0,5.
у = -0,5(х 4)2 + 3 – уравнение функции, график которой изображён на рисунке.
А теперь находим значение f(-5).
у(-5) = -0,5 ∙ (-5-4)2 + 3 = -0,5 ∙ 81 + 3 = -40,4 + 3 = -37,5. Ответ: -37,5.
Однако, могут быть случаи, когда на рисунке не представляется возможным указать точные значения координат вершины параболы. Как быть? Рассмотрим пример.
Задача 4. На рисунке 4 изображён график функции
f(x) = ax2 + bx + c, где числа a, b и c — целые. Найдите f(-10).
Решение.
График функции у = ax2 + bx + c пересекает ось Ох в точке В(0; -4), следовательно, значение с = -4.
Теперь функция имеет вид: у = ax2 + bx-4.
Осталось найти значения а и b.
Так как парабола проходит через точки
А(-2; -2) и В(1; 1), то, подставив координаты этих точек в равенство у = ax2 + bx-4, мы получим систему уравнений:
Почленно сложим равенства и получим 3а = 6, отсюда а = 2.
Подставим это значение в равенство a + b = 5, тогда b = 3.
Получаем функцию f(x = 2x2 + 3x-4. Находим f(-10).
у(-10) = 2 ∙ (-10)2 + 3 ∙ (-10)-4 = 200-30-4 = 166. Ответ: 166.
Задача 5. На рисунке 5 изображён график функции f(x) =k/x + a. Найдите f(-10).
Решение.
Немного теории.
На рисунке мы видим гиперболу, состоящую из двух ветвей. Это график дробно-линейной функции вида:
Правую часть равенства легко можно преобразовать к виду:
где x = m – вертикальная асимптота графика,
y = n – горизонтальная асимптота графика.
Асимптота – прямая, к которой неограниченно приближается график функции, но которую никогда не пересечёт.
Смотрим на рисунок.
Вертикальная асимптота х = 0 (ось Оу), следовательно, m = 0.
Горизонтальная асимптота у = -2 (штрих-пунктирная прямая),
следовательно, n = -2. Тогда наша функция принимает вид:
Для нахождения коэффициента k в полученное равенство подставим координаты точки А(2; -4).
Это уравнение функции, график которой изображён на рисунке.
Отвечаем на вопрос задачи.
Ответ: -1,6.
Задача 6. На рисунке 6 изображён график функции f(x) =k/x + a. Найдите f(24).
Решение.
Запишем функцию в виде:
где x = m – вертикальная асимптота графика,
y = n – горизонтальная асимптота графика.
Вертикальная асимптота х = 0 (ось Оу), следовательно, m = 0.
Горизонтальная асимптота у = 1 (штрих-пунктирная прямая),
следовательно, n = 1. Тогда наша функция принимает вид:
Для нахождения коэффициента k в полученное равенство подставим координаты точки А(-3; -1).
Это уравнение функции, график которой изображён на рисунке.
Отвечаем на вопрос задачи.
Ответ: 1,25.
Задача 7. На рисунке 7 изображён график функции f(x) = (kx+a)/(x+b).
Найдите значения k и а.
Решение.
Будем искать функцию в виде:
где x = m – вертикальная асимптота графика,
y = n – горизонтальная асимптота графика.
Вертикальная асимптота х = 2 (вертикальная штрих-пунктирная прямая),
следовательно, m = 2.
Горизонтальная асимптота у = -3 (горизонтальная штрих-пунктирная прямая),
следовательно, n = -3. Тогда наша функция принимает вид:
Подставим в это уравнение вместо х и у координаты точки А(1; 2).
Осторожно! Это не искомое k.
Ответ: k = -3; a = 1.
Как составить уравнение прямой по её графику?
Задача 8. Записать уравнения прямых AB, CD, EF и PK, изображённых на рисунке.
Пусть прямые AB и EF пересекаются в точке М(х0; у0). Найти абсциссу точки пересечения.
Решение.
Рассмотрим различные способы составления уравнения прямой по её изображению.
1) Прямая АВ является графиком линейной функции y = kx + b.
Значение b – это ордината точки В(0; 7) — пересечения прямой АВ с осью Оу.
У нас b = 7.
Тогда уравнение прямой АВ: у = 0,4х + 7.
2) Прямая CD пересекла ось Ох в точке С(-2; 0), а ось Оу — в точке D(0; 3). Так как прямая CD отсекает отрезки от координатных осей, то можно использовать уравнение прямой в отрезках:
у = 1,5х+3. Это уравнение прямой CD.
3) Прямая EF проходит через точки E(x1; y1) и F(x2; y2). Уравнение прямой будем искать в виде y = kx + b. Значение k найдём по формуле:
Теперь уравнение прямой EF имеет вид у = -0,6х + b.
Для нахождения значения b подставим координаты точки Е(4; 7) в последнее равенство:
7 = -0,6 ∙ 4 + b, отсюда b = 7 + 2,4 = 9,4.
Окончательно, EF: у = -0,6х + 9,4.
4) Уравнение прямой РК запишем в виде ax + by = c, используя уравнение прямой, проходящей через точки (х1; у1) и (х2; у2):
У нас Р(3; 2) и К(9; 1), т.е. х1 = 3, у1 = 2; х2 = 9, у2 = 1. Подставляем эти значения в последнее равенство.
6(у-2) = -(х-3);
6у-12 = -х + 3;
х + 6у = 15 – уравнение прямой РК.
5) По условию прямые AB и EF пересекаются в точке М(х0; у0). Требуется найти абсциссу точки пересечения, т.е. нужно найти значение х0.
Уравнение прямой АВ: у = 0,4х + 7.
Уравнение прямой EF: у = -0,6х + 9,4.
Решаем совместно эти уравнения. Левые части этих уравнений равны, следовательно, равны и правые части:
0,4х + 7 = -0,6х + 9,4;
0,4х + 0,6х = 9,4-7;
х = 2,4. Это искомая абсцисса х0 точки М, в которой пересекаются прямые AB и EF.
Экономические задачи ЕГЭ 2022 (производство продукции, бригада, бизнес-план)
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 7. Задача 15.
Производство х тыс. единиц продукции в q=2x2+5x+10 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q. При каком наименьшем значении p через 12 лет суммарная прибыль может составить не менее 744 млн рублей при некотором значении х?
Решение.
Так как при цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q, то за 12 лет суммарная прибыль составит 12px-12q млн рублей, и по условию эта сумма должна быть не менее 744 млн рублей при некотором значении х.
Получаем неравенство: 12px-12q ≥ 744.
Подставим данное значение q=2x2+5x+10. Получим:
12px-12(2x2+5x+10) ≥ 744. Упростим, разделив обе части неравенства на 12.
px-(2x2+5x+10) ≥ 62;
px-2x2-5x-10 ≥ 62;
-2x2+px-5x-10 ≥ 62;
-2x2+(p-5)x-10-62 ≥ 0;
2x2-(p-5)x+72 ≤ 0.
Для того, чтобы это неравенство имело решения, дискриминант квадратного уравнения 2x2-(p-5)x+72 = 0 должен быть неотрицательным.
D=b2-4ac=(p-5)2-4∙2∙72=(p-5)2-576 ≥ 0;
(p-5)2-242 ≥ 0;
(p-5+24)(p-5-24) ≥ 0;
(p+19)(p-29) ≥ 0.
Последнее неравенство будет верным при p ≤ -19 или p ≥ 29. Но значение p не может быть отрицательным, значит, наименьшее значение p=29.
Мы ответили на вопрос задачи, но интересно знать значение х. Подставим значение p=29 в неравенство 2x2-(p-5)x+72 ≤ 0.
2х2-24х+72 ≤ 0;
х2-12х+36 ≤ 0;
(х-6)2 ≤ 0. Единственно возможное значение х=6.
Таким образом, при производстве 6 тысяч единиц продукции при цене 29 тысяч рублей за единицу через 12 лет прибыль составит не менее 744 млн рублей.
Ответ: 29.
Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 8. Задача 15.
Производство х тыс. единиц продукции в q=3x2+6x+13 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q. При каком наименьшем значении p через пять лет суммарная прибыль может составить не менее 70 млн рублей при некотором значении х?
Решение.
Так как при цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q, а за пять лет суммарная прибыль должна составить не менее 70 млн рублей при некотором значении х, то за год эта возможная прибыль будет не менее 70:5=14 млн. рублей.
Получаем неравенство: px-q ≥ 14.
Подставим данное значение q=3x2+6x+13. Получим:
px-3x2-6x-13 ≥ 14;
-3x2+px-6x-27 ≥ 0;
3x2-(p-6)x+27 ≤ 0.
Для того, чтобы это неравенство имело решения дискриминант квадратного уравнения 3x2-(p-6)x+27 = 0 должен быть неотрицательным.
D=b2-4ac=(p-6)2-4∙3∙27=(p-6)2-324 ≥ 0;
(p-6)2-182 ≥ 0;
(p-6+18)(p-6-18) ≥ 0;
(p+12)(p-24) ≥ 0.
Последнее неравенство будет верным при p ≤ -12 или p ≥ 24. Но значение p не может быть отрицательным, значит, наименьшее значение p=24.
Подставим найденное значение p=24 в неравенство 3x2-(p-6)x+27 ≤ 0.
3х2-18х+27 ≤ 0;
х2-6х+9 ≤ 0;
(х-3)2 ≤ 0. Единственно возможное значение х=3.
Таким образом, при производстве 3 тысяч единиц продукции при цене 24 тысячи рублей за единицу через пять лет прибыль составит не менее 70 млн рублей.
Ответ: 24.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 20. Задача 15.
Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки 200p рублей. Если на втором объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки (50p+300) рублей. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?
Решение.
Пусть в 1-й бригаде работает p человек, тогда во 2-й бригаде (30-p) человек. Тогда суммарная суточная зарплата составит:
200p∙p+(50(30-p)+300)(30-p). Упростим выражение.
200p2+(1500-50p+300)(30-p)=
=200p2+(1800-50p)(30-p)=
=200p2+54000-1500p-1800p+50p2=
250p2-3300p+54000.
Составим функцию F(p) – зависимости суточной зарплаты от количества рабочих p на 1-м объекте и исследуем её на минимум с помощью производной.
F(p)=250p2-3300+54000.
F’(p)=500p-3300.
F’(p)=0 при 500p=3300; p=6,6 – критическая точка.
Так как F’(p) < 0 при p < 6,6 и F’(p) > 0 при p > 6,6, то
p=6,6 – точка минимума функции F’(p).
Но так как p – целое число, то округлим значение 6,6 до 7.
p = 6,6 ≈ 7.
Итак, на 1-м объекте будут работать 7 человек,
а на 2-м объекте 30-7=23 человека.
Следовательно, суммарная суточная зарплата составит:
F(7)=250 ∙ 72 -3300 ∙ 7+54000 = 250∙49-23100+54000 =
= 12250+54000-23100 = 66250-23100 = 43150 (рублей).
Ответ: 1-й объект – 7 рабочих; 2-й объект – 23 рабочих; 43150 рублей – суммарная суточная зарплата.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 27. Задача 15.
По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 25 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.
Решение.
1 год. Итоги 1,2∙25=30 (здесь и далее все величины в млн рублей).
Вложение 30+n.
2 год. Итоги 1,2(30+n)=36+1,2n.
Вложение 36+1,2n +n=36+2,2n.
Так как за два года первоначальные вложения как минимум удвоятся, то
36+2,2n ≥ 2∙25;
2,2n ≥ 50-36;
2,2n ≥ 14;
n ≥ 140:22;
n ≥ 6,36… .
n = 7 – наименьшее целое.
3 год. Итоги 1,2(36+2,2∙7)=1,2(36+15,4)=1,2∙51,4=61,68.
Вложение 61,68+m.
4 год. Итоги 1,2(61,68+m)=74,016+1,2m.
Вложение. 74,016+2,2m.
Так как за четыре года первоначальные вложения вырастут как минимум в четыре раза, то
74,016+2,2m ≥ 4∙25;
2,2m ≥ 100-74,016;
2,2m ≥ 25,984;
m ≥ 259,84:22;
m ≥ 11,81… .
m = 12 – наименьшее целое.
Ответ: 7 млн рублей и 12 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 28. Задача 15.
По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.
Решение.
1 год. Итоги 1,15∙20=23 (здесь и далее все величины в млн рублей).
Вложение 23+n.
2 год. Итоги 1,15(23+n)=26,45+1,15n.
Вложение 26,45+1,15n+n=26,45+2,15n.
Так как за два года первоначальные вложения как минимум удвоятся, то
26,45+2,15n ≥ 2∙20;
2,15n ≥ 40-26,45;
2,15n ≥ 13,55;
n ≥ 1355:215;
n ≥ 6,30… .
n = 7 – наименьшее целое.
3 год. Итоги 1,15(26,45+2,15∙7)=1,15(26,46+15,05)=1,15∙41,5=47,725.
Вложение 47,725+m.
4 год. Итоги 1,15(47,725+m)=54,88375+1,15m.
Вложение. 54,88375+2,15m.
Так как за четыре года первоначальные вложения как минимум утроятся, то
54,88375+2,15m ≥ 3∙20;
2,15m ≥ 60-54,88375;
2,15m ≥ 5,11625;
m ≥ 511,625:215;
m ≥ 2,379… .
m = 3 – наименьшее целое.
Ответ: 7 млн рублей и 3 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 30. Задача 15.
По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 12 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года вырастут как минимум в полтора раза, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.
Решение.
1 год. Итоги 1,12∙10=11,2 (здесь и далее все величины в млн рублей).
Вложение 11,2+n.
2 год. Итоги 1,12(11,2+n)=12,544+1,12n.
Вложение 12,544+1,12n+n=12,544+2,12n.
Так как за два года первоначальные вложения вырастут как минимум в полтора раза, то
12,544+2,12n ≥ 1,5∙10;
2,12n ≥ 15-12,544;
2,12n ≥ 2,456;
n ≥ 245,6:212;
n ≥ 1,16… .
n = 2 – наименьшее целое.
Итак, в проекте 12,544 + 2,12∙2=16,784 млн рублей.
3 год. Итоги 1,12∙16,784=18,79808.
Вложение 18,79808+m.
4 год. Итоги 1,12(18,79808+m)=21,0538496+1,12m.
Вложение. 21,0538496+2,12m.
Так как за четыре года первоначальные вложения как минимум утроятся, то
21,0538496+2,12m ≥ 3∙10;
2,12m ≥ 30-21,0538496;
2,12m ≥ 8,9461504;
m ≥ 894,61504:212;
m ≥ 4,22… .
m = 5 – наименьшее целое.
Ответ: 2 млн рублей и 5 млн рублей.
Проценты и кредиты ЕГЭ 2022. Часть 4
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 3. Задача 15.
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 20 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 12 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».
Решение.
Обозначим искомое число процентов через r.
Оформим рассуждения по условию задачи в виде таблицы.
Так как вклад «Б» будет менее выгоден, чем вклад «А», то справедливо неравенство:
1,122 ∙S + 1,122 ∙S ∙0,01r < 1,23 ∙S.
Разделим обе части неравенства на S.
1,122 ∙0,01r < 1,23 -1,122;
1,2544 ∙0,01r < 1,728 -1,2544;
1,2544 ∙0,01r < 0,4736;
1,2544r < 47,36;
r < 47,36 : 1,2544;
r < 37,75…
r = 37 – наибольшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет менее выгоден, чем вклад «А».
Ответ: 37.
Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 4. Задача 15.
По вкладу «А» банк в конце каждого года увеличивает на 10 % сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» — увеличивает эту сумму на 14 % в течение каждого из первых двух лет. Найдите наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».
Решение.
Обозначим искомое число процентов через r.
Оформим рассуждения по условию задачи в виде таблицы.
Так как вклад «Б» будет менее выгоден, чем вклад «А», то справедливо неравенство:
1,142 ∙S + 1,142 ∙S ∙0,01r > 1,13 ∙S.
Разделим обе части неравенства на S.
1,142 ∙0,01r > 1,13 -1,142;
1,2996 ∙0,01r > 1,331 -1,2996;
1,2996 ∙0,01r > 0,0304;
1,2996 > 3,04;
r > 3,04 : 1,2996;
r > 2,33…
r = 3 – наименьшее натуральное число процентов, начисленное за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад будет более выгоден, чем вклад «А».
Ответ: 3.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 17. Задача 15.
Александр хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Александра не было денег на покупку акций, а пакет стоил 100 000 рублей. В середине каждого месяца Александр откладывает на покупку пакета акций одну и туже сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 30 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Александру каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Решение.
1-й месяц. Александр не смог купить акции за 100 тысяч рублей. Он отложил Х тысяч рублей
2-й месяц. Акции стоят 1,3 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Хтыс. рублей.
3-й месяц. Акции стоят 1,32 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.
4-й месяц. Акции стоят 1,33 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Хтыс. рублей.
…………………………………………………………………………………………………
n-й месяц. Акции стоят 1,3n-1 ∙100 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.
Итак, за n месяцев Александр отложил nХ тысяч рублей, и наконец, может купить акции, т.е.
Нужно найти минимальное целое значение n, при котором производная будет менять знак с минуса на плюс. Это значение n и будет точкой минимума функции
Производная отрицательна при n ∙ ln1,3 -1 < 0. Решаем неравенство:
ln1,3n < 1;
ln1,3n < lne;
1,3n < e. Помним, что е ≈ 2,72…
Так как n – количество месяцев, то будем подбирать целое значение показателя степени так, чтобы знак неравенства поменялся.
Если n = 2, то 1,32 = 1,69 < e;
Если n = 3, то 1,33 = 2,197 < e;
Если n = 4, то 1,34 = 2,8561 > e.
Таким образом, производная X’(n) поменяет знак с минуса на плюс на промежутке, содержащем n = 4. Это наименьшее целое значение n, при котором функция
Это означает, что Александру достаточно было откладывать по 54925 рублей в течение четырёх месяцев, чтобы купить пакет акций быстрорастущей компании.
Ответ: 54925 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 18. Задача 15.
Сергей хочет купить пакет акций быстрорастущей компании. В начале года у Сергея не было денег на покупку акций, а пакет стоил 160 000 рублей. В середине каждого месяца Сергей откладывает на покупку пакета акций одну и туже сумму, а в конце месяца пакет дорожает, но не более чем на 25 %. Какую наименьшую сумму нужно откладывать Сергею каждый месяц, чтобы через некоторое время купить желаемый пакет акций?
Решение.
1-й месяц. Сергей не смог купить акции за 160 тысяч рублей. Он отложил Х тысяч рублей
2-й месяц. Акции стоят 1,25 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.
3-й месяц. Акции стоят 1,252 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.
4-й месяц. Акции стоят 1,253 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.
…………………………………………………………………………………………………
n-й месяц. Акции стоят 1,25n-1 ∙160 тыс. рублей. Александр отложил Х тыс. рублей.
Итак, за n месяцев Александр отложил nХ тысяч рублей, и наконец, может купить акции, т.е.
Нужно найти минимальное целое значение n, при котором производная будет менять знак с минуса на плюс. Это значение n и будет точкой минимума функции
Производная отрицательна при n ∙ ln1,25 -1 < 0. Решаем неравенство:
ln1,25n < 1;
ln1,25n < lne;
1,25n < e. Помним, что е ≈ 2,72…
Так как n – количество месяцев, то будем подбирать целое значение показателя степени так, чтобы знак неравенства поменялся.
Если n = 2, то 1,252 = 1,5625 < e;
Если n = 3, то 1,253 ≈ 1,953 < e;
Если n = 4, то 1,254 ≈ 2,4 < e;
Если n = 5, то 1,255 ≈ 3,05 > e.
Таким образом, производная X’(n) поменяет знак с минуса на плюс на промежутке, содержащем n = 5. Это наименьшее целое значение n, при котором функция
Это означает, что Сергею достаточно было откладывать по 78125 рублей в течение пяти месяцев, чтобы купить пакет акций быстрорастущей компании.
Ответ: 78125 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 19. Задача 15.
Цена ценной бумаги на конец года вычисляется по формуле
S=1,1So + 2000, где So – цена этой ценной бумаги на начало года в рублях. Максим может приобрести ценную бумагу, а может положить деньги на банковский счёт, на котором сумма увеличивается за год на 12 %. В начале любого года Максим может продать бумагу и положить все вырученные деньги на банковский счёт, а также снять деньги с банковского счёта и купить ценную бумагу. В начале 2021 года у Максима было 80 тыс. рублей, которые он может положить на банковский счёт или может приобрести на них ценную бумагу. Какая наибольшая сумма может быть у Максима через четыре года? Ответ дайте в рублях.
Решение.
По условию у Максима 80 тыс. рублей, которые он может или положить на счёт или купить ценную бумагу, т.е. So = 80 тыс. рублей.
Если в начале 2021 года Максим положит деньги на банковский счёт, то на конец года у него будет 1,12 So.
Запишем эту сумму в виде: 1,1So + 0,02So и сравним её с ценой ценной бумаги на конец года: 1,1So + 2000.
Так как 0,02So = 0,02 ∙ 80000 = 1600 < 2000, то выгоднее купить ценную бумагу.
Итак, если в начале 2021 года Максим купит ценную бумагу, то на конец года у него будет 1,1 ∙ 80000 + 2000 = 90000 рублей. Оставить ценную бумагу или продать?
Проверим значение 0,02So = 0,02 ∙ 90000 = 1800 < 2000. Значит, продавать ценную бумагу рано.
На конец 2022 года у Максима будет
1,1 ∙ 90000 + 2000 = 101000 рублей.
Оцениваем значение 0,02So = 0,02 ∙ 101000 = 2020 > 2000.
Следовательно, в начале 2023 года Максиму выгоднее продать ценную бумагу и положить деньги на банковский счёт.
На конец 2023 года у него может быть 1,12So = 1,12 ∙ 101000 = 113120 рублей.
На конец 2024 года у Максима может быть 1,12So = 1,12 ∙ 113120 = 126694,4 рублей.
Ответ: 126694,4 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 33. Задача 15.
15 июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 11-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— 15-го числа 15-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;
— к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей.
Решение.
За 15 месяцев банку заплатили 1300-100=1200 тысяч рублей основного долга,
что составляет 1200 : 15 = 80 тысяч рублей – сумму, на которую ежемесячно уменьшается долг.
Однако, r % ежемесячно нужно выплачивать с суммы остатка долга, начиная с выданной суммы кредита 1300 тысяч рублей, а затем с суммы за вычетом 80 тысяч рублей ежемесячно. Проценты считаются так:
1 месяц. 1300 ∙ 0,01r = 13r;
2 месяц (1300-80) ∙ 0,01r = 1220 ∙ 0,01r = 12,2r;
3 месяц (1220-80) ∙ 0,01r =1140 ∙ 0,01r = 11,4r;
4 месяц (1140-80) ∙ 0,01r =1060 ∙ 0,01r = 10,6r и так далее.
Заметим, что последовательность чисел 13r; 12,2r; 11,4r; 10,6r и т.д. представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом
а1 = 13r и разностью d=-0,8r. Нам нужно найти сумму 15-ти членов этой арифметической прогрессии. Воспользуемся формулой:
Итак, банку придётся отдать 1200 тысяч рублей плюс 111r тысяч рублей процентов за первые 15 месяцев и ещё за 16-й месяц долг 100 тысяч рублей плюс проценты с этой суммы, т.е. r % от 100 тысяч (это 0,01r ∙ 100 = r). Общая сумма выплат по условию равна 1636 тысяч рублей. Получим равенство:
1200+111r+100+r = 1636;
112r = 336;
r = 3.
Ответ: 3%.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 34. Задача 15.
15 мая планируется взять кредит в банке на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й долг должен быть на 50 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
— к 15-му числу 17-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1472 тысячи рублей?
Решение.
Обозначим через Х сумму, которую нужно будет выплатить банку к 15-му числу 17-го месяца в счёт основного долга.
За 16 месяцев банку заплатят 16 ∙ 50 = 800 тысяч рублей основного долга.
Значит, 1472-800=672 тысячи рублей – это проценты за 16 месяцев,
а также за 17-й месяц сумма Х с процентами, т.е. Х+0,02Х=1,02Х.
Итак, взятая сумма кредита (800+Х) тысяч рублей, и нам надо подсчитать проценты с этой суммы за первые 16 месяцев кредитования.
Рассуждаем: в первый месяц банк начислит 2 % на сумму (800+Х), во второй месяц 2 % на сумму (750+Х), затем на (700+Х), на (650+х) и т.д. А в 16-й месяц кредитования банк начислит 2 % на сумму (50+Х) тысяч рублей.
Таким образом, нам надо найти значение выражения:
0,02 ∙ ((800+Х)+(750+Х)+(700+Х)+…+(50+Х)).
Сумма в скобках – это сумма арифметической прогрессии с первым членом
Это проценты за первые 16 месяцев кредитования.
Итак, получим равенство:
1,02Х+136+0,32Х= 672;
1,34Х=672-136;
1,34Х=536;
Х=400.
За 17 месяц в счёт основного долга нужно выплатить 400 тысяч рублей. Тогда в кредит планируется взять 800+400=1200 тысяч рублей.
Ответ: 1 200 000 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 36. Задача 15.
31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
I способ решения. Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных выплат, равных X1, X2, X3, …, Xn, осуществленных после начисления r% по вкладу, то применяем формулу:
Кредит Михаила S полностью погашается за 4 платежа по 2928200 рублей каждый, после начисления r = 10% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга. Таким образом, так как X1=X2=X3=X4=2928200, получаем сумму взятого кредита:
Окончательно S = 2000000 ∙ 4,641 = 9282000 рублей.
Ответ: 9282000.
II способ решения (традиционный).
Пусть Михаил взял в банке S рублей.
1) Банк начислил на эту сумму 10% и долг составил 1,1S рублей. Михаил выплатил 2928200 рублей. Долг составил (1,1S-2928200) рублей.
2) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,1S-2928200) рублей. Михаил выплатил 2928200 рублей. Долг составил (1,1(1,1S-2928200)-2928200) рублей.
3) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,1(1,1S-2928200)-2928200) рублей. Михаил выплатил 2928200 рублей.
Долг составил (1,1(1,1(1,1S-2928200)-2928200)-2928200) рублей.
4) Банк начислил 10% и долг составил
1,1(1,1(1,1(1,1S-2928200)-2928200)-2928200). Банк выплатил 2928200 рублей, и долг был полностью погашен. Составим равенство:
1,1(1,1(1,1(1,1S-2928200)-2928200)-2928200)-2928200=0;
1,14⋅ S-1,13⋅2928200-1,12⋅2928200-1,1⋅2928200-2928200=0;
1,4641S-1,331⋅2928200-1,21⋅2928200-1,1⋅2928200-2928200=0;
1,4641S-4,641⋅2928200=0;
1,4641S=4,641⋅2928200;
S=4,641⋅2000000;
S=9 282000.
Ответ: 9 282 000.
Примечание. Если обозначить 2 928 200 рублей через Х, то записи решения были бы короче.
Смотрите сами.
Итак, обозначим каждый из четырёх ежегодных платежей через Х.
Пусть Х=2928200 рублей, а взял Михаил в банке S рублей.
1) Банк начислил на эту сумму 10% и долг составил 1,1S. Михаил выплатил Х рублей. Долг составил 1,1S-Х.
2) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,1S-Х)=1,12 ∙ S-1,1X. Михаил выплатил X. Долг составил 1,12 ∙ S-1,1X-X.
3) Банк начислил 10% и долг составил 1,1(1,12∙S-1,1X-X)=1,13∙S-1,12X-1,1X. Михаил выплатил X рублей.
Долг составил 1,13∙S-1,12X-1,1X-X.
4) Банк начислил 10% и долг составил
1,1(1,13∙S-1,12X-1,1X-X)=1,14∙S-1,13X-1,12 X-1,1X.
Банк выплатил X, и долг был полностью погашен. Получаем равенство:
1,14∙S-1,13X-1,12 X-1,1X-Х=0.
1,14∙S=1,13X+1,12 X+1,1X+Х=0;
1,4641S=1,331X+1,21X+1,1X+X;
1,4641S=4,641X;
S=4,641X :1,4641. Так как Х=2928200, то
S=4,641∙2928200 :1,4641;
S=4,641⋅2000000;
S=9 282 000.
Ответ: 9 282 000.
Ниже простые и очень полезные формулы:
k2 ⋅ S = (k +1) ⋅ Х . ( I**)
k 3 ⋅ S = (k2 + k + 1) ⋅ Х. ( II**)
k 4 ⋅ S = (k3 + k2 + k + 1) ⋅ Х. ( III**)
Здесь: S – сумма кредита, выданная банком под r%, которая полностью погашается платежами по Х рублей каждый. Значение k=1+0,01r. Показатель степени с основанием k – это количество платежей по Х рублей.
В рассмотренной задаче мы рассуждениями получили формулу ( III**).
Проценты и кредиты ЕГЭ 2022. Часть 3
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 21. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Решение. Пусть кредит берётся на n месяцев. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято хn рублей, нужно вернуть хn плюс проценты. Разница в 20% от суммы, взятой в кредит – это как раз проценты. Получаем равенство:
0,2xn=(xn+x(n-1)+x(n-2)+…+x)⋅0,01. Вынесем х из правой части равенства и разделим на х обе части равенства.
0,2n=(n+(n-1)+(n-2)+…+1)⋅0,01.
В скобках сумма арифметической прогрессии.
0,2n=(n+1)/2 ⋅ n ⋅ 0,01 → 0,2=(n+1)/2 ⋅ 0,01 → 20=(n+1)/2;
n+1=40 → n=39. Кредит берётся на 39 месяцев.
Ответ: 39.
Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 22. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на 49 месяцев. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 2 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.)
Решение. Обозначим через х ежемесячный платёж без процентов. Итак, взято 49х рублей, нужно вернуть 49х плюс проценты. Посчитаем проценты:
(49х+48х+47х+…+2х+х) ⋅ 0,01=(49х+х)/2 ⋅ 49 ⋅ 0,01=25х ⋅ 49 ⋅ 0,01=49х ⋅0,25.
Сумма всех выплат после полного погашения составит:
49х+49х ⋅ 0,25 = 1,25 ⋅ 49х = 5/4 ⋅ 49х или 2 млн рублей по условию. Нас интересует значение 49х.
Получаем 49х = 2 ⋅ 4/5 = 1,6 млн рублей. Ответ: 1,6.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 23. Задача 15.
В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,587 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что долг был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?
Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.
1) В январе на эту сумму насчитают 15%, и долг составит 115% от S, т.е.
1,15S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.
Тогда долг составит 1,15S-1,587 млн рублей.
2) В январе на последнюю сумму насчитают 15% и долг составит 115% от последней суммы,
т.е. (1,15S-1,587) ⋅ 1,15 или 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15 млн рублей.
В феврале-июне будут выплачены 1,587 млн рублей.
Тогда долг составит 1,3225S-1,587 ⋅ 1,15-1,587 или
1,3225S-1,587 ⋅ 2,15 или 1,3225S-3,41205 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3225S-3,41205 = 0.
1,3225S = 3,41205 → S = 3,41205 : 1,3225 → S = 2,58 млн рублей было взято в банке.
Ответ: 2,58 млн рублей.
Примечание. Можно было применить формулу Sk2 = X(k +1) .
У нас Х = 1,587 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,15 = 1,15.
Тогда S ⋅ 1,152 = 1,587(1,15+1); S ⋅ 1,152 = 1,587 ⋅ 2,15;
S ⋅ 1,3225 = 1,587 ⋅ 2,15; разделим обе части равенства на 1,3225.
S = 1,2 ⋅ 2,15 = 2,58. Итак, в банке было взято 2,58 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 24. Задача 15.
В июле года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 2,523 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?
Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.
1) В январе на эту сумму насчитают 16%, и долг составит 116% от S, т.е.
1,16S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.
Тогда долг составит 1,16S-2,523 млн рублей.
2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 16% и долг составит 116% от последней суммы,
т.е. (1,16S-2,523) ⋅ 1,16 или 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16 млн рублей.
В феврале-июне будут выплачены 2,523 млн рублей.
Тогда долг составит 1,3456S-2,523 ⋅ 1,16-2,523 или
1,3456S-2,523 ⋅ 2,16 или 1,3456S-5,44968 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,3456S-5,44968 = 0.
1,3456S = 5,44968 → S = 5,44968 : 1,3456 → S = 4,05 млн рублей было взято в банке.
Ответ: 4,05 млн рублей.
Примечание. Можно было применить формулу Sk2 = X(k +1) .
У нас Х = 2,523 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,16 = 1,16.
Тогда S ⋅ 1,162 = 2,523(1,16+1); S ⋅ 1,162 = 2,523 ⋅ 2,16;
S ⋅ 1,3456 = 2,523 ⋅ 2,16; разделим обе части равенства на 1,3456.
S = 1,875 ⋅ 2,16 = 4,05. Итак, в банке было взято 4,05 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 29. Задача 15.
В июле года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 14% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 3,249 млн рублей.
Сколько миллионов рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (т.е. за два года)?
Решение. Пусть в июле в банке будет взято S млн рублей.
1) В январе на эту сумму насчитают 14%, и долг составит 114% от S, т.е.
1,14S млн рублей. В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.
Тогда долг составит 1,14S-3,249 млн рублей.
2) В январе на последнюю сумму долга насчитают 14% и долг составит 114% от последней суммы, т.е.
(1,14S-3,249) ⋅ 1,14 или 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14 млн рублей.
В феврале-июне будут выплачены 3,249 млн рублей.
Тогда долг составит 1,2996S-3,249 ⋅ 1,14-3,249 или
1,2996S-3,249 ⋅ 2,14 или 1,2996S-6,95286 млн рублей. Долг погашен двумя платежами, поэтому верно равенство 1,2996S-6,95286 = 0.
1,2996S = 6,95286 → S = 6,95286 : 1,2996 → S = 5,35 млн рублей было взято в банке. Ответ: 5,35 млн рублей.
Примечание. Можно было применить формулу Sk2 = X(k +1) .
У нас Х = 3,249 млн рублей, k = 1+0,01r = 1 + 0,14 = 1,14.
Тогда S ⋅ 1,142 = 3,249(1,14+1); S ⋅ 1,142 = 3,249 ⋅ 2,14;
S ⋅ 1,2996 = 3,249 ⋅ 2,14; разделим обе части равенства на 1,2996.
S = 2,5 ⋅ 2,14 = 5,35. Итак, в банке было взято 5,35 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 25. Задача 15.
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на n+1 месяц. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 тысячи рублей.
Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 600-200=400 тысяч рублей, т.е. nХ=400.
Подсчитаем проценты за все (n+1) месяцев кредитования. Сумму, взятую в кредит запишем как nХ+200.
((nX+200)+((n-1)X+200)+((n-2)X+200)+((n-3)X+200)+…+200) ⋅ 0,03.
В скобках у нас сумма арифметической прогрессии. Здесь a1 = nX+200; an = 200. Применим формулу Sn = (a1+an)/2 ⋅ n.
(nX+200+200)/2 ⋅ (n+1) ⋅ 0,03 = (nX+400)(n+1) ⋅ 0,15. Так как nХ=400, то имеем
(400+400)(n+1) ⋅ 0,15 = 800(n+1) ⋅ 0,15 = 120(n+1). Такова сумма процентов за всё время кредитования. Переплата составит 852-600=252 тысячи рублей. Это как раз сумма выплаченных процентов. Получаем равенство:
120(n+1)=252, отсюда n+1=252:120;
n+1=21, тогда n=20. Ответ: 20.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 26. Задача 15.
15 декабря планируется взять кредит в банке на сумму 1000000 рублей на (n+1) месяцев. Условия его возврата таковы: — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; — 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей; — к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен. Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысячи рублей.
Решение. Обозначим через Х ежемесячную выплату без процентов в первые n месяцев. Это означает, что сумма долга ежемесячно уменьшается на Х тысяч рублей. У нас Х=40 тысяч рублей. За n месяцев будет выплачено 1000-200=800 тысяч рублей, т.е. nХ=800.
Отсюда n=800 : 40 = 20. Кредит собираются взять на 21 месяц.
Подсчитаем проценты за все 21 месяц кредитования. Сумму, взятую в кредит, запишем как 20Х+200.
((20Х+200)+(19Х+200)+(18Х+200)+…+200) ⋅ 0,01r.
В скобках у нас сумма арифметической прогрессии.
Здесь a1 = 20X+200; an = 200. Применим формулу Sn = (a1+an)/2 ⋅ n.
(20X+200+200)/2 ⋅ 21 ⋅ 0,01r = (10X+200) ⋅21 ⋅ 0,01r. Так как 20Х=800, то имеем
(400+200) ⋅21 ⋅ 0,01r. = 600 ⋅21 ⋅ 0,01r = 126r. Такова сумма процентов за всё время кредитования. Переплата составит 1378-1000=378 тысячи рублей. Это как раз сумма выплаченных процентов. Получаем равенство:
126r = 378, отсюда r = 3%. Ответ: 3.
Проценты и кредиты ЕГЭ 2022. Часть 2.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 11. Задача 15.
В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей; выплаты в 2026 и 2027 годах равны; к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью. На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Решение.
Первая выплата – это 10% от 1050 тысяч рублей, т.е. 105 тысяч рублей.
Итак, за 2023, 2024 и 2025 годы будут выплачены лишь проценты (по 105 тысяч рублей ежегодно), а сумма долга останется прежней, т.е. равной 1050 тысяч рублей. Обозначим эту сумму через S. Долг следует отдать двумя равными платежами. Обозначим один такой платёж через Х.
2026 год.
Январь. Сумма долга увеличится на 10% и составит 1,1S тысяч рублей.
Февраль-июнь. Клиент выплатит Х тысяч рублей, которые будут полностью зачтены в счёт долга. Тогда ему останется выплатить (1,1S-Х) тысяч рублей.
2027 год.
Январь. Банк начислит 10% на остаток долга.
Теперь долг равен 1,1(1,1S-Х) тысяч рублей.
Февраль-июнь. Клиент выплатит Х тысяч рублей, которые будут полностью зачтены в счёт долга, и долг будет погашен. Получаем равенство:
1,1(1,1S-Х)-Х=0;
1,21S-1,1Х-Х=0;
1,21S=2,1Х;
Х=1,21S : 2,1.
Подставляем значение S=1050 и получим:
Х=1,21 ∙ 1050 : 2,1;
Х=605 тысяч рублей. Это последняя выплата.
605-105=500 тысяч рублей. На столько последняя выплата будет больше первой.
Ответ: 500 000 рублей.
Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 12. Задача 15.
В июле 2022 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тыс. рублей. Условия его возврата таковы: каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; в июле 2023, 2024 и 2025 годов долг остаётся равным 220 тыс. рублей; выплаты в 2026 и 2027 годах равны; к июлю 2027 года долг будет выплачен полностью. Найдите r, если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тыс. рублей.
Решение.
Итак, за 2023, 2024 и 2025 годы будут выплачены лишь проценты, а сумма долга останется прежней, т.е. равной 220 тысяч рублей. Обозначим эту сумму через S. Далее долг следует отдать двумя равными платежами. Обозначим один такой платёж через Х.
2026 год.
Январь. Сумма долга увеличится на r % и составит (1+0,01r)S тысяч рублей. Сделаем замену переменной. Пусть 1+0,01r=k. Итак, после начисления процентов сумма долга равна kS.
Февраль-июнь. Клиент выплатит Х тысяч рублей, которые будут полностью зачтены в счёт долга. Тогда ему останется выплатить (kS-Х) тысяч рублей.
2027 год.
Январь. Банк начислит r % на остаток долга.
Долг станет равным k(kS-Х) тысяч рублей.
Февраль-июнь. Клиент выплатит Х тысяч рублей, которые будут полностью зачтены в счёт долга, и долг будет погашен. Получаем равенство:
Это выплачено за 2026 и 2027 годы. А за первые три года кредитования выплачивались лишь проценты: r % от взятой суммы кредита.
Эта сумма равна 0,01r ∙ 220=2,2r.
За три года (2023, 2024 и 2025 годы) будет выплачено 6,6r тысяч рублей.
Выразим r через k.
Так как 1+0,01r=k, то r=100k-100.
Тогда 6,6r=660k-660.
Следовательно, за пять лет должно быть выплачено 2X+6,6r или
Умножим обе части равенства на (1+k).
440k2+660k-660+660k2-660k=420+420k;
1100k2-420k-1080=0. Делим равенство на 20.
55k2-21k-54=0.
Решаем квадратное уравнение относительно переменной k>0.
Возвращаемся к переменной r.
r=100k-100;
r=100 ∙1,2-100;
r=20.
Ответ: 20%.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 13. Задача 15.
Алексей планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1806000 рублей. Сотрудник банка предложил Алексею два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.
Вариант 1. Каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Алексея варианту погашения кредита?
Решение.
1) Рассуждаем согласно варианту 1.
Обозначим сумму кредита через S. Пусть S=1806 тыс. рублей.
1 год. Январь. Банк начислит 15%, и долг станет равным 1,15S.
Февраль-июнь. Клиент делает первый платёж, равный Х тыс. рублей. Весь этот платёж засчитывается и долг становится равным (1,15S-Х) тыс. рублей.
2 год. Январь. Банк начислит 15%, и долг станет равным 1,15(1,15S-Х) тыс. рублей.
Февраль-июнь. Клиент делает второй платёж, равный первому, т.е. Х тыс. рублей. И этот платёж полностью засчитывается. Долг погашен. Имеет место равенство: 1,15(1,15S-Х)-Х=0. Решаем уравнение и находим значение Х.
1,152 ∙ S-1,15X-X = 0;
1,152 ∙ S = 2,15X;
Таким образом, за два года клиент выплатит банку 2Х=2221,8 тысяч рублей или 2221800 рублей.
2) Рассмотрим условия кредитования по варианту 2.
В условии сказано: «со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца», поэтому обозначим эту величину через х тысяч рублей. Тогда вся сумма, взятая в кредит, равна 24х. Мы ее знаем, это 1806 тысяч рублей, но рассуждать удобнее с использованием введённой переменной х. Почему? Потому что проценты банк ежемесячно начисляет на остаток долга, т.е. сначала на 24х, через месяц на 23х и т.д. Подсчитаем начисленные банком проценты за всё время кредитования.
Это 2% от 24х, от 23х и т.д. Получаем:
0,02(24х+23х+22х+…+2х+х).
Сумму в скобках найдём по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Банку нужно будет выплатить взятую сумму 24х плюс проценты 6х. Итого 30х.
Так как 24х=1806 тысяч рублей, то х=1806:24=75,25 тысяч рублей.
Итак, по варианту 2 нужно будет выплатить
30 ∙ 75,25 = 2257,5 тысяч рублей или 2257500 рублей.
Вариант 1 более выгодный, так как платить меньше, разница в выплаченных суммах составит:
2257500-2221800=35700 рублей.
Ответ: 35700 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 14. Задача 15.
Виктор планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1962000 рублей. Сотрудник банка предложил Виктору два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено ниже.
Вариант 1. Каждый январь долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года; с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; кредит должен быть полностью погашен за два года двумя равными платежами.
Вариант 2. 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца; к 15-му числу 24-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Виктора варианту погашения кредита?
Задача аналогичная предыдущей. Поменялись сумма кредита и процент по 1 варианту кредитования! Ах, да! Ещё имя клиента!
Решение.
1) Рассуждаем согласно варианту 1.
Обозначим сумму кредита через S. Пусть S=1962 тыс. рублей.
1 год. Январь. Банк начислит 18%, и долг станет равным 1,18S.
Февраль-июнь. Клиент делает первый платёж, равный Х тыс. рублей. Весь этот платёж засчитывается и долг становится равным (1,18S-Х) тыс. рублей.
2 год. Январь. Банк начислит 18%, и долг станет равным 1,18(1,18S-Х) тыс. рублей.
Февраль-июнь. Клиент делает второй платёж, равный первому, т.е. Х тыс. рублей. И этот платёж полностью засчитывается. Долг погашен. Имеет место равенство: 1,18(1,18S-Х)-Х=0. Решаем уравнение и находим значение Х.
1,182 ∙ S-1,18X-X = 0;
1,182 ∙ S = 2,18X;
Таким образом, за два года клиент выплатит банку 2Х=2506,32 тысяч рублей или 2506320 рублей.
2) Рассмотрим условия кредитования по варианту 2.
В условии сказано: «со 2-го по 14-е число каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца», поэтому обозначим эту величину через х тысяч рублей. Тогда вся сумма, взятая в кредит, равна 24х. Мы ее знаем, это 1962000 рублей. Подсчитаем начисленные банком проценты за всё время кредитования.
Это 2% от 24х, от 23х, от 22х, от 21х и т.д. до последнего месяца, когда остаток будет х тыс. рублей. Получаем:
0,02(24х+23х+22х+…+2х+х). Сумму в скобках найдём по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии:
Это проценты за всё время кредитования.
Банку нужно будет выплатить взятую сумму 24х плюс проценты 6х. Итого 30х.
Так как 24х=1962000 рублей, то х=1962000:24=81750 рублей.
Итак, по варианту 2 нужно будет выплатить
30 ∙ 81750 = 2452500 рублей.
Видим, что вариант 2 более выгодный, так как платить меньше, разница в выплаченных суммах составит:
2506320-2452500=53820 рублей.
Ответ: 53820 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 15. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на 2 года. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за 15-й месяц кредитования нужно выплатить 44 тыс. рублей. Сколько рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение. Обозначим через х тыс. рублей одну и ту же сумму, на которую долг будет уменьшаться ежемесячно. По сути х – это ежемесячный платёж без процентов, а в кредит на два года, т.е. на 24 месяца было взято 24х тысяч рублей. Банку нужно будет вернуть эти 24х тысяч рублей плюс проценты, которые банк будет начислять 1-го числа каждого месяца. Проценты начисляются на остаток долга.
Проценты за всё время кредитования составляют:
Итого отдать придётся 24х+3х=27х тысяч рублей.
На 15-й месяц кредитования остаток долга будет равен 10х тысяч рублей, так как на х тысяч рублей долг уменьшался ежемесячно. Проценты на этот остаток составят 0,01 ∙ 10х = 0,1. Следовательно, за 15-й месяц банком определена сумма для выплаты х+0,1х=1,1х. По условию задачи эта сумма равна 44 тыс. рублей. Решаем уравнение:
1,1х = 44 → х = 40 тыс. рублей.
Итак, за всё время кредитования банку нужно будет отдать
27 ∙ 40 = 1080 тыс. рублей = 1080000 рублей.
Ответ: 1080000 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 16. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на 3 года. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что за 24-й месяц кредитования нужно выплатить 45,2 тыс. рублей. Сколько рублей нужно будет вернуть банку в течение всего срока кредитования?
Решение. Обозначим через х тыс. рублей ежемесячный платёж без процентов, а в кредит на три года, т.е. на 36 месяцев было взято 36х тысяч рублей. Банку нужно будет вернуть эти 36х тысяч рублей плюс проценты, которые банк будет начислять 1-го числа каждого месяца. Проценты начисляются на остаток долга.
Проценты за всё время кредитования составят:
Итого отдать банку придётся 36х+6,66х=42,66х тысяч рублей.
По условию за 24-й месяц нужно выплатить 45,2 тысяч рублей. Эта сумма складывается из ежемесячного платежа без процентов, который мы обозначили через х, и процентов на остаток вклада по прошествии 23 месяцев кредитования. Остаток будет равен 13х.
х + 0,01 ∙ 13х = 1,13х. Получаем уравнение:
1,13х = 45,2 → х = 40 тыс. рублей.
Итак, за всё время кредитования банку нужно будет отдать
42,66 ∙ 40 = 1706,4 тыс. рублей = 1706400 рублей.
Ответ: 1706400 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 35. Задача 15.
15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возвращения таковы: 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца; со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что в течение второго года кредитования нужно вернуть банку 339 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?
Решение. Пусть ежемесячный платеж (без процентов) составляет х рублей. Тогда кредит был выдан в размере 24х рублей. За второй год кредитования (за последние 12 месяцев) нужно вернуть 12х рублей (долг без процентов) плюс проценты, т.е. сумму процентов за каждый из последних 12-то месяцев. По условию эта сумма равна 339000 рублей. Получаем уравнение:
12х + (12х + 11х + 10х + … + х) ∙ 0,02 = 339000;
12х + (12х+х)/2 ∙ 12 ∙ 0,02 = 339000;
12х + 13х ∙ 6 ∙ 0,02 = 339000;
12х + 1,56х = 339000;
13,56х = 339000; х = 339000 : 13,56; х = 25000.
Итак, ежемесячный платеж (без процентов) составляет 25000 рублей.
За первый год кредитования (за первые 12 месяцев) необходимо выплатить:
12х + (24х + 23х + 22х + … + 13х) ∙ 0,02 = 12х + (24х+13х)/2 ∙ 12 ∙ 0,02 =
= 12х + 37х ∙ 6 ∙ 0,02 = 12х + 4,44х = 16,44х = 16,44 ∙ 25000 = 411000 рублей.
Ответ: 411000.
Проценты и кредиты ЕГЭ 2022
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 1. Задача 15.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?
Экономические задачи ЕГЭ Это страница с нужной вам задачей
Решение.
Так как «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года», то обозначим эту величину через х тысяч рублей.
Тогда общая сумма кредита 8х, а остатки долга, на которые и начисляются ежегодно проценты в январе, по годам составят:
2026 год – 8х;
2027 год – 7х;
2028 год – 6х;
2029 год – 5х;
2030 год – 4х;
2031 год – 3х;
2032 год – 2х;
2033 год – х.
За первые 4 года банк начислит по 20% ежегодно, и проценты составят:
0,2(8х+7х+6х+5х)=0,2 ∙ 26х=5,2х тысяч рублей.
За вторые 4 года банк начислит по 18% ежегодно, и проценты составят:
0,18(4х+3х+2х+х)=1,8х тысяч рублей.
Общая сумма процентов за 8 лет составит 5,2х+1,8х=7х тысяч рублей.
Итак, банку придётся отдать 8х тысяч рублей, взятых в кредит, плюс 7х тысяч рублей процентов за всё время кредитования.
Итого общая сумма выплат 15х. По условию это 1125 тысяч рублей.
15х=1125;
х=1125 : 15;
х=75 тысяч рублей.
Таким образом, в кредит планируется взять 8 ∙ 75 = 600 тысяч рублей.
Ответ: 600 000 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 2. Задача 15.
В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите сумму, которую планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тысяч рублей.
Решение.
Обозначим через х тысяч рублей эту «одну и ту же сумму», на которую долг уменьшается ежегодно все 10 лет.
Следовательно, планируется взять в долг 10х тысяч рублей, а отдать придётся эти 10х тысяч рублей плюс проценты за все 10 лет, которые банк будет начислять ежегодно в январе на остатки долга, т.е. сначала на 10х, потом на 9х, затем на 8х и т.д.
С 2024 по 2028 год долг возрастает на 18%.
Тогда за первые 5 лет банк начислит:
0,18(10х+9х+8х+7х+6х)=7,2х тысяч рублей.
С 2029 по 2033 год долг возрастает на 16%.
А за вторые 5 лет банк начислит:
0,16(5х+4х+3х+2х+х)=2,4х тысяч рублей.
Итак, банку за всё время нужно будет выплатить
10х+7,2х+2,4х или 1470 тысяч рублей. Решаем уравнение:
10х+7,2х+2,4х=1470;
19,6х=1470;
х=1470 : 19,6;
х=75 тысяч рублей.
Таким образом, в кредит планируется взять 10 ∙ 75 = 750 тысяч рублей.
Ответ: 750 000 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 5. Задача 15.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите r.
Решение.
Читаем условие: «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». И мы знаем эту величину:
300 : 6 = 50 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 50 тысяч рублей через х.
Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.
За первые 3 года долг возрастает на 20% ежегодно, и проценты составят:
0,2(6х+5х+4х)=3х тысяч рублей.
За вторые 3 года банк начислит по r % ежегодно, и проценты составят:
0,01r ∙ (3х+2х+х)=0,06rх тысяч рублей.
Общая сумма выплат составит 6х+3х+0,06rх тысяч рублей.
По условию это 498 тысяч рублей. Получаем равенство:
6х+3х+0,06rх=498;
9х+0,06rх=498. Но у нас х=50 тысяч рублей.
9 ∙ 50+0,06r ∙ 50=498;
450+3r=498;
3r=48;
r =16%.
Ответ: 16.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 31. Задача 15.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн. рублей.
Решение.
Пусть кредит составит S млн рублей, где S – целое число. За 1-й и 2-й годы заёмщик выплатит по условию по 20 % от суммы кредита,
т.е. 0,2S+0,2S=0,4S.
Долг остался прежним S млн рублей
Будем считать, что берётся кредит S на 2 года (3-й и 4-й). Так как отдавать нужно равными платежами, то обозначим этот ежегодный платёж (без процентов) через Х. Тогда S=2X.
За 2 года (3-й и 4-й) будут выплачены эти 2Х млн рублей плюс проценты с этой суммы, всего
2Х+0,2 ∙ (2Х+Х) = 2Х+0,6Х = 2,6Х млн рублей.
Выразим 2,6Х через S.
Так как S = 2X, то X = S/2, поэтому 2,6X = 1,3S.
Итого за четыре года будет выплачено:
0,4S+1,3S = 1,7S млн рублей.
По условию эта сумма должна быть больше 8 млн рублей.
1,7S > 8, отсюда S = 5 – наименьшее целое число.
Ответ: 5 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 32. Задача 15.
Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн. рублей.
Решение.
Пусть кредит составит S млн рублей, где S – целое число. За 1-й и 2-й годы заёмщик выплатит по условию по 25 % от суммы кредита,
т.е. 0,25S+0,25S=0,5S.
Долг остался прежним S млн рублей
Будем считать, что берётся кредит S на 2 года (3-й и 4-й). Так как отдавать нужно равными платежами, то обозначим этот ежегодный платёж (без процентов) через Х. Тогда S=2X.
За 2 года (3-й и 4-й) будут выплачены эти 2Х млн рублей плюс проценты с этой суммы, всего
2Х+0,25 ∙ (2Х+Х) = 2Х+0,75Х = 2,75Х млн рублей.
Выразим 2,75Х через S.
Так как S = 2X, то X = S/2, поэтому 2,75X = 1,375S.
Итого за четыре года будет выплачено:
0,5S+1,375S = 1,875S млн рублей.
По условию эта сумма должна быть больше 9 млн рублей.
1,875S > 9;
S > 4,8;
отсюда S = 5 – наименьшее целое число.
Ответ: 5 млн рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 6. Задача 15.
В июле 2023 года планируется взять кредит на 8 лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь с 2024 по 2027 год долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2028 по 2031 год долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1444 тысяч рублей.
Решение.
Читаем условие: «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». И мы знаем эту величину:
800 : 8 = 100 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 100 тысяч рублей через х.
Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 8х, 7х, 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.
За первые 4 года банк начислит по r % ежегодно, и проценты составят:
0,01r ∙ (8х+7х+6х+5х)=0,26rх тысяч рублей.
За последующие 4 года долг возрастает на 15% ежегодно, и проценты составят:
0,15(4х+3х+2х+х)=1,5х тысяч рублей.
Общая сумма выплат составит 8х+0,26rх+1,5х тысяч рублей.
По условию это 1444 тысяч рублей. Получаем равенство:
8х+0,26rх+1,5х=1444;
9,5х+0,26rх=1444. Значение х=100 тысяч рублей.
9,5 ∙ 100+0,26r ∙ 100=1444;
950+26r=1444;
26r=494;
r =19%.
Ответ: 19.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 9. Задача 15.
В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:
— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;
— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Решение.
Так как «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года», то обозначим эту величину через х тысяч рублей.
На самом деле, мы эту сумму знаем: это 650 : 10=65 тысяч рублей. А для чего берём эту сумму за х? Исключительно для удобства рассуждений!
Итак, 65 тыс. руб.=х.
Тогда общая сумма кредита 10х, а остатки долга, на которые и начисляются ежегодно проценты в январе, по годам составят:
2026 год – 10х;
2027 год – 9х;
2028 год – 8х;
……………….
2035 год – х.
За первые 5 лет банк начислит по 19% ежегодно, и проценты составят:
0,19(10х+9х+8х+7х+6х)=0,19 ∙ 40х=7,6х тысяч рублей.
За последующие 5 лет банк начислит по 16% ежегодно, и проценты составят:
0,16(5х+4х+3х+2х+х)=2,4х тысяч рублей.
Общая сумма процентов за 10 лет составит 7,6х+2,4х=10х тысяч рублей.
Итак, банку придётся отдать 10х тысяч рублей, взятых в кредит, плюс 10х тысяч рублей процентов за всё время кредитования.
Итого общая сумма выплат 20х. А мы знаем, что х=65 тысяч рублей, поэтому общая сумма выплат после полного погашения кредита составит
20 ∙ 65 = 1300 тысяч рублей.
Ответ: 1300 000 рублей.
ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 10. Задача 15.
В июле 2023 года планируется взять кредит на 12 лет в размере 1200 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь с 2024 по 2029 год долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;
— каждый январь с 2030 по 2035 год долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
— к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.
Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.
Решение.
Читаем условие: «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». И мы знаем эту величину:
1200 : 12 = 100 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 100 тысяч рублей через х.
Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 12х, 11х, 10х, 9х, 8х, 7х, 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.
За первые 6 лет банк начислит по 18% ежегодно, и проценты составят:
0,18(12х+11х+10х+9х+8х+7х)=0,18 ∙ 57х=10,26х тысяч рублей.
За последующие 6 лет банк начислит по 15% ежегодно, и проценты составят:
0,15(6х+5х+4х+3х+2х+х)=0,15 ∙ 21х=3,15х тысяч рублей.
Общая сумма процентов за 12 лет составит 10,26х+3,15х=13,41х тысяч рублей.
Итак, банку придётся отдать 12х тысяч рублей, взятых в кредит, плюс 13,41х тысяч рублей процентов за всё время кредитования.
Итого общая сумма выплат 25,41х тысяч рублей. А мы знаем, что х=100 тысяч рублей, поэтому общая сумма выплат после полного погашения кредита составит
25,41 ∙ 100 = 2541 тысяч рублей.
Ответ: 2 541 000 рублей.
Фигуры на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1
Рассмотрим задачи по нахождению элементов и площадей треугольников и четырёхугольников по их изображениям на клетчатой бумаге. Такие задачи по силам и восьмиклассникам, а предлагаются выпускникам на ЕГЭ. Ниже приведены (с решениями) прототипы задачи 3 из ЕГЭ.
Задача 1. На клетчатой бумаге изображён прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Задача 2. На клетчатой бумаге изображён треугольник. Найдите его площадь.
Площадь любого треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведённую к этому основанию.
Задача 3. Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге.
Для нахождения площади данного треугольника АВС, можно из площади прямоугольника МКРС вычесть площади прямоугольных треугольников АМС, АКВ и ВРС.
Задача 4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён прямоугольник.
Найдите: а) диагональ прямоугольника; б) площадь прямоугольника; в) радиус описанной окружности.
а) Находим диагональ АС. Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора
АС2 = АВ2 + ВС2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25.
АС = 5.
б) Площадь прямоугольника ABCD находим по формуле:
S = ab; S = AB ∙ BC = 3 ∙ 4 = 12.
в) диаметром окружности, описанной около прямоугольника ABCD, является диагональ АС. Следовательно, радиус описанной окружности R = АС : 2 = 5 : 2 = 2,5.
Ответ: а) 5; б) 12; в) 2,5.
Задача 5. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён квадрат. Найдите площадь квадрата.
Площадь квадрата S = AB2. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВС:
АВ2 = АС2 + ВС2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20. Ответ: S = 20.
Задача 6. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён квадрат.
Найдите: а) площадь квадрата; б) радиус описанной окружности.
а) Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей.
У нас диагонали АС = BD = 6.
б) Центр окружности, описанной около квадрата есть точка пересечения его диагоналей. Следовательно, искомый радиус R = 3.
Ответ: S = 18; R = 3.
Задача 7. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён параллелограмм.
Найдите: а) площадь параллелограмма;
б) большую высоту параллелограмма.
а) Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, проведённую к этому основанию.
S = AD ∙ BH = 6 ∙ 4 = 24.
б) Проведём высоту ВК. Из прямоугольного треугольника АНВ
с катетами АН = 3 и ВН = 4 по теореме Пифагора находим гипотенузу АВ=5.
CD = AB = 5. Итак, стороны параллелограмма АD = 6 и CD = 5. Сторона
CD – меньшая, значит высота ВК, проведённая к ней, является большей.
S = CD ∙ BK;
24 = 5 ∙ BK;
BK = 24 : 5 = 4,8. Ответ: S = 24; BK = 4,8.
Задача 8. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображён ромб.
Найдите: а) площадь ромба;
б) радиус вписанной окружности.
а) Площадь ромба S = AD ∙ BH, где AD – основание, ВН – высота ромба.
S = 6 ∙ 4 = 24.
б) Окружность вписана в ромб. Её диаметр равен высоте ромба ВН.
Так как диаметр окружности равен 4, то радиус r = 2.
Ответ: S = 24; r = 2.
Задача 9. Найти площадь ромба, изображённого на клетчатой бумаге.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
Задача 10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена трапеция. Найдите: длину средней линии и площадь этой трапеции.
Средняя линия трапеции – это отрезок, который соединяет середины боковых сторон трапеции.
MN – средняя линия.
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту трапеции.
Ответ: MN=4,5; S=13,5.
Задача 11. На клетчатой бумаге изображены два круга. Площадь внутреннего круга равна 30. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
Площадь заштрихованной фигуры – это площадь кольца, которую мы найдём как разность площадей данных кругов с общим центром.
Пусть R -радиус большего круга, r – радиус меньшего круга.
Все круги подобны.
Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответствующих линейных размеров.
У нас R : r = 3 : 2, а площадь меньшего круга радиуса r равна 30.
Отсюда площадь заштрихованной фигуры равна:
Решить логарифмическое неравенство
Решите неравенство lg4(x2 – 26)4 – 4lg2(x2 – 26)2 ≤ 240.
Применим формулу для логарифма степени и запишем
lg(x2 – 26)4 как 2lg(x2 – 26)2. А почему не как 4lg(x2 – 26)? Потому что в этом случае число под знаком логарифма должно быть положительным, а не просто не равным нулю, как мы записали в ОДЗ. Это значит, что преобразованное далее неравенство не будет равносильно данному. Итак:
lg4(x2 – 26)4 = (lg(x2 – 26)4 )4 = (2lg(x2 – 26)2 )4 = 24 · (lg(x2 – 26)2 )4 = 16lg4(x2 – 26)2.
Тогда данное неравенство примет вид:
16lg4(x2 – 26)2 – 4lg2(x2 – 26)2 ≤ 240. Делим обе части на 4.
4lg4(x2 – 26)2 – lg2(x2 – 26)2 – 60 ≤ 0.
Сделаем замену. Пусть lg2(x2 – 26)2 = t.
Решим неравенство. 4t2 – t – 60 ≤ 0.
Находим корни квадратного трёхчлена.
4t2 – t – 60 = 0. D = b2 – 4ac = 1 + 960 = 961 = 312.
0 ≤ lg2(x2 – 26)2 ≤ 4.
lg2(x2 – 26)2 ≤ 4. Извлекаем из обеих частей квадратные корни.
| lg(x2 – 26)2| ≤ 2.
-2 ≤ lg(x2 – 26)2 ≤ 2. (см. рис. 2)
Запишем числа -2 и 2 в виде десятичного логарифма.
lg0,01 ≤ lg(x2 – 26)2 ≤ lg100. Логарифмическая функция с основанием 10 является возрастающей, поэтому последнее неравенство равносильно неравенству
0,01 ≤ (x2 – 26)2 ≤ 100. А это неравенство равносильно системе неравенств
Решаем каждое неравенство системы по отдельности, а затем находим их общее решение. Оно и будет служить решением данного неравенства.
I. (x2 – 26)2 ≥ 0,01; (см. рис.3)
| x2 – 26| ≥ 0,1;
1) x2 – 26 ≤ -0,1
x2 ≤ 25,9.
2) x2 – 26 ≥ 0,1
x2 ≥ 26,1.
Решаем второе неравенство системы ( * )
II. (x2 – 26)2 ≤ 100;
| x2 – 26| ≤ 10;
-10 ≤ x2 – 26 ≤ 10
16 ≤ x2 ≤ 36;
Полученные решения неравенств I и II покажем синим и зелёным цветом на координатной прямой. Пересечение этих промежутков и будет решением нашего неравенства.
Тригонометрические уравнения на ЕГЭ
Пример 1.
а) Решить уравнение cos4x+cos2x=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/3].
Решение.
а) Решаем уравнение cos4x+cos2x=0.
Применим формулу 
Tогда данное уравнение примет вид: 2cos3x⋅cosx=0. Отсюда следует, что либо cos3x=0 либо cosx=0.
- Если cos3x=0, то 3х=π/2+πn, отсюда х=π/6+πn/3, где nϵZ.
- Если cosx=0, то х=π/2+πn, где nϵZ.
Заметим, что решения уравнения cosx=0 входят в решения уравнения cos3x=0, поэтому общим решением данного уравнения будут числа x=π/6+πn/3, где nϵZ.
б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-π; π/3].
Рассмотрим общее решение x=π/6+πn/3, где nϵZ на единичной окружности. Здесь значение πn/3 означает, что нужно брать n раз угол π/3. Отмечаем угол π/6, а затем углы, полученные поворотом угла π/6 на π/3, полученный таким образом угол π/2 опять повернём на π/3, получится угол 5π/6, затем угол 5π/6+ π/3=7π/6, следующий угол
7π/6+ π/3=9π/6=3π/2, и, наконец, 3π/2+ π/3=11π/6. Смотрите рисунок 1.
Все отмеченные углы рассмотрим на отрезке [-π; π/3]. Смотрим рисунок 2. Получились числа -5π/6; -π/2; -π/6; π/6.
Ответ: а) π/6+πn/3, где nϵZ; б) -5π/6; -π/2; -π/6; π/6.
Пример 2.
а) Решить уравнение cos4x-sin2x=0.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; π].
Решение.
а) Применим формулу 1-cos2α=2sin2α; тогда данное уравнение примет вид:
1-2sin22x-sin2x=0; 2sin22x+sin2x-1=0. Сделаем замену: sin2x=t.
Получаем равенство: 2t2+t-1=0.
У нас a-b+c=0, поэтому по методу коэффициентов t1=-1, t2=1/2.
- При sin2x=-1 получаем 2х=-π/2+2πn, отсюда х=-π/4+πn, где nϵZ.
- При sin2x=1/2 получаем 2х=π/6+2πn и 2х=5π/6+2πn, где nϵZ.
Тогда х=π/12+πn и х=5π/12+πn, где nϵZ.
Рассмотрим решения 2х=-π/2+2πn, 2х=π/6+2πn и 2х=5π/6+2πn на единичной окружности. Возьмём значения 2х при n=0. Углы -π/2, π/6 и 5π/6 отличаются друг от друга на значение 2π/3. Тогда общим решением будут являться числа
2х=π/6+(2π/3)n, отсюда общим решением данного уравнения будут
значения х=π/12+(π/3)n, где nϵZ.
б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [0; π]. Для этого в общее решение х=π/12+(π/3)n, где nϵZ будем подставлять такие целые значения nϵZ,
чтобы хϵ[0; π].
Возьмём n=0, тогда х=π/12 ϵ[0; π].
При n=1 получим х= π/12+π/3= π/12+4π/12=5π/12 ϵ[0; π].
При n=2 получим х= π/12+2π/3= π/12+8π/12=9π/12=3π/4 ϵ[0; π].
При n=3 получим х= π/12+π, и это значение не входит в заданный отрезок [0; π].
Ответ: а) π/12+(π/3)n, где nϵZ; б) π/12, 5π/12, 3π/4.
Пример 3.
а) Решить уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π/2].
Решение.
а) Применим формулу cos(α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ; тогда данное уравнение примет вид:
cos3x=cos23x; cos23x-cos3x=0; cos3x(cos3x-1)=0;
cos3x=0 или cos3x-1=0.
- Если cos3x=0, то 3х=π/2+πn, тогда х= π/6+(π/3)n, где nϵZ.
- Если cos3x-1=0, то cos3x=1, тогда 3х=2πm, тогда х=(2π/3)m, где mϵZ.
Общие решения данного уравнения: х=π/6+(π/3)n, где nϵZ и х=(2π/3)m, где mϵZ.
б) Найдём все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 3π/2].
Мы получили значения 3х=π/2+πn и 3х=2πm. Отметим их на единичной окружности, сделав замену 3х=t. Смотрите рисунок 3.
Необходимо выполнение условие хϵ[π; 3π/2]. Отсюда следует, что 3хϵ[3π; 9π/2].
Все отмеченные углы рассмотрим на отрезке [3π; 9π/2]. Смотрим рисунок 4. Получились числа 7π/2; 4π; 9π/2. Так как это значения 3х, то делим каждое из них на 3. Получим: 7π/6; 4π/3; 3π/2.
Ответ: а) π/6+(π/3)n, где nϵZ; (2π/3)m, где mϵZ.
б) 7π/6; 4π/3; 3π/2.
Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5. Найти диагональ прямоугольника
Задача 1. Периметр прямоугольника равен 28, а площадь равна 92. Найти диагональ прямоугольника.
Используйте этот чертёж ко всем следующим задачам.
Решение. Пусть нам дан прямоугольник со сторонами а и b. Нужно найти диагональ прямоугольника d. Диагональ d является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами а и b. На основании теоремы Пифагора d2=a2+b2. Следовательно, необходимо найти a2+b2. По условию периметр прямоугольника равен 28. Так как формула периметра прямоугольника P=2(a+b), то a+b=14. Так как площадь прямоугольника равна S=ab, и по условию S=92, то ab=48. Рассуждаем: сумма чисел а и b равна 14, а произведение 48. Вспоминаем теорему Виета, когда мы подбирали корни квадратного уравнения
x2-14x+48=0 и находили x1=6 и х2=8. В нашем случае а=6 и b=8 или а=8 и b=6. Тогда основании теоремы Пифагора d2=a2+b2. Получаем d2=62+82=36+64=100. Отсюда d=10. Ответ: 10.
Задача 2. Периметр прямоугольника равен 10, а площадь равна 4,5. Найти диагональ прямоугольника.
Решение. Рассуждаем аналогично. Теперь по условию a+b=5, ab=4,5. Понимаем, что числа а и b не будут целыми, и подобрать их не получится. Однако найти требуется диагональ d, которая является является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами а и b. На основании теоремы Пифагора d2=a2+b2. Следовательно, необходимо найти a2+b2, а значения а и b находить по отдельности нет необходимости. Возведём обе части равенства a+b=5 в квадрат. Получим (a+b)2=52. Отсюда a2+2ab+b2=25, тогда a2+b2=25-2ab. Так как ab=4,5, то 2ab=9. Получаем: a2+b2=25-9=16. Значит d2=16, а d=4. Ответ: 4.
Задача 3. Периметр прямоугольника равен 3,6, а площадь равна 0,34. Найти диагональ прямоугольника.
Решение. Рассуждаем аналогично. По условию a+b=1,8, ab=0,34. Диагональ d будет равна квадратному корню из суммы квадратов a2+b2. Возведём обе части равенства a+b=1,8 в квадрат. Получим (a+b)2=(1,8)2. Отсюда a2+2ab+b2=3,24, тогда a2+b2=25-2ab. Так как ab=0,34, то 2ab=0,68. Получаем: a2+b2=3,24-0,68=2,56. Значит d2=2,56, а d=1,6. Ответ: 1,6.
Задача 4. Диагональ прямоугольника равна 5, а площадь равна 5,5. Найти периметр прямоугольника.
Решение. Используем рассуждения предыдущих задач. В этой задаче d=5, а по теореме Пифагора гипотенуза d равна сумме квадратов катетов а и b прямоугольного треугольника (смотрите рисунок), значит, d2=a2+b2=25. Площадь прямоугольника S=ab, и по условию равна 5,5. Значит, ab=5,5; тогда 2ab=11. Требуется найти периметр прямоугольника. Так как по формуле периметр P=2(a+b), то достаточно найти сумму смежных сторон прямоугольника (a+b). Имея a2+b2=25 и 2ab=11, сложим эти два равенства почленно. Получаем:
a2+2ab+b2=25+11, отсюда (a+b)2=36, a+b=6. Так как сумма смежных сторон прямоугольника равна 6, то периметр будет равен 12. Ответ: 12.
Задача 5. Диагональ прямоугольника равна 7, а площадь равна 7,5. Найти периметр прямоугольника. Задача совершенно такая же, как предыдущая задача 4, только числа другие. Решите задачу 5 самостоятельно. Ответ: 16.
Задача 6. Диагональ прямоугольника равна 9, а его периметр равен 22. Найти площадь прямоугольника.
Решение. Используем рассуждения предыдущих задач. Стороны прямоугольника а и b являются катетами прямоугольного треугольника, а диагональ прямоугольника d – гипотенузой этого прямоугольного треугольника. На основании теоремы Пифагора d2=a2+b2 , значит, так как d2=92=81, то a2+b2=81. По условию периметр прямоугольника равен 22, следовательно, полупериметр a+b=11. Возведём в квадрат обе части последнего равенства и получим:
a2+2ab+b2=121, отсюда 2ab=121-(a2+b2)=121-81=40. Площадь квадрата S=ab=40:2=20. Ответ: 20.
Задача 7. Диагональ прямоугольника равна 11, а его периметр равен 24. Найти площадь прямоугольника. Задача совершенно такая же, как предыдущая задача 6, только числа другие. Решите задачу 7 самостоятельно. Ответ: 11,5.
Делаем выводы. Для того чтобы найти диагональ, периметр или площадь прямоугольника не всегда является необходимым находить стороны прямоугольника по отдельности. Чётко ставьте себе задачу, исходя из её условий, и вы найдёте рациональное решение.
