Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS

Экономические задачи ЕГЭ 2022 (производство продукции, бригада, бизнес-план)

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 7. Задача 15.

Производство х тыс. единиц продукции в q=2x2+5x+10 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q. При каком наименьшем значении p через 12 лет суммарная прибыль может составить не менее 744 млн рублей при некотором значении х?

Решение.

Так как при цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q, то за 12 лет суммарная прибыль составит 12px-12q млн рублей, и по условию эта сумма должна быть не менее 744 млн рублей при некотором значении х.

Получаем неравенство: 12px-12q ≥ 744.

Подставим данное значение q=2x2+5x+10. Получим:

12px-12(2x2+5x+10) ≥ 744. Упростим, разделив обе части неравенства на 12.

px-(2x2+5x+10) ≥ 62;

px-2x2-5x-10 ≥ 62;

-2x2+px-5x-10 ≥ 62;

-2x2+(p-5)x-10-62 ≥ 0;

2x2-(p-5)x+72 ≤ 0.

Для того, чтобы это неравенство имело решения, дискриминант квадратного уравнения 2x2-(p-5)x+72 = 0 должен быть неотрицательным.

D=b2-4ac=(p-5)2-4∙2∙72=(p-5)2-576 ≥ 0;

(p-5)2-242 ≥ 0;

(p-5+24)(p-5-24) ≥ 0;

(p+19)(p-29) ≥ 0.

Последнее неравенство будет верным при p ≤ -19 или p ≥ 29. Но значение p не может быть отрицательным, значит, наименьшее значение p=29.

Мы ответили на вопрос задачи, но интересно знать значение х. Подставим значение p=29 в неравенство 2x2-(p-5)x+72 ≤ 0.

2-24х+72 ≤ 0;

х2-12х+36 ≤ 0;

(х-6)2 ≤ 0. Единственно возможное значение х=6.

Таким образом, при производстве 6 тысяч единиц продукции при цене 29 тысяч рублей за единицу через 12 лет прибыль составит не менее 744 млн рублей.

Ответ: 29.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 8. Задача 15.

Производство х тыс. единиц продукции в q=3x2+6x+13 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q. При каком наименьшем значении p через пять лет суммарная прибыль может составить не менее 70 млн рублей при некотором значении х?

Решение.

Так как при цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q, а за пять лет суммарная прибыль должна составить не менее 70 млн рублей при некотором значении х, то за год эта возможная прибыль будет не менее 70:5=14 млн. рублей.

Получаем неравенство: px-q ≥ 14.

Подставим данное значение q=3x2+6x+13. Получим:

px-3x2-6x-13 ≥ 14;

-3x2+px-6x-27 ≥ 0;

3x2-(p-6)x+27 ≤ 0.

Для того, чтобы это неравенство имело решения дискриминант квадратного уравнения 3x2-(p-6)x+27 = 0 должен быть неотрицательным.

D=b2-4ac=(p-6)2-4∙3∙27=(p-6)2-324 ≥ 0;

(p-6)2-182 ≥ 0;

(p-6+18)(p-6-18) ≥ 0;

(p+12)(p-24) ≥ 0.

Последнее неравенство будет верным при p ≤ -12 или p ≥ 24. Но значение p не может быть отрицательным, значит, наименьшее значение p=24.

Подставим найденное значение p=24 в неравенство 3x2-(p-6)x+27 ≤ 0.

2-18х+27 ≤ 0;

х2-6х+9 ≤ 0;

(х-3)2 ≤ 0. Единственно возможное значение х=3.

Таким образом, при производстве 3 тысяч единиц продукции при цене 24 тысячи рублей за единицу через пять лет прибыль составит не менее 70 млн рублей.

Ответ: 24.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 20. Задача 15.

Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки 200p рублей. Если на втором объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки (50p+300) рублей. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?

Решение.

Пусть в 1-й бригаде работает p человек, тогда во 2-й бригаде (30-p) человек. Тогда суммарная суточная зарплата составит:

200p∙p+(50(30-p)+300)(30-p). Упростим выражение.

200p2+(1500-50p+300)(30-p)=

=200p2+(1800-50p)(30-p)=

=200p2+54000-1500p-1800p+50p2=

250p2-3300p+54000.

Составим функцию F(p) – зависимости суточной зарплаты от количества рабочих p на 1-м объекте и исследуем её на минимум с помощью производной.

F(p)=250p2-3300+54000.

F’(p)=500p-3300.

F’(p)=0 при 500p=3300; p=6,6 – критическая точка.

Так как F’(p) < 0 при p < 6,6 и F’(p) > 0 при p > 6,6, то

p=6,6 – точка минимума функции F’(p).

Но так как p – целое число, то округлим значение 6,6 до 7.

p = 6,6 ≈ 7.

Итак, на 1-м объекте будут работать 7 человек,

а на 2-м объекте 30-7=23 человека.

Следовательно, суммарная суточная зарплата составит:

F(7)=250 ∙ 72 -3300 ∙ 7+54000 = 250∙49-23100+54000 =

= 12250+54000-23100 = 66250-23100 = 43150 (рублей).

Ответ: 1-й объект – 7 рабочих; 2-й объект – 23 рабочих; 43150 рублей – суммарная суточная зарплата.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 27. Задача 15.

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 25 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.

Решение.

1 год. Итоги 1,2∙25=30 (здесь и далее все величины в млн рублей).

Вложение 30+n.

2 год. Итоги 1,2(30+n)=36+1,2n.

Вложение 36+1,2n +n=36+2,2n.

Так как за два года первоначальные вложения как минимум удвоятся, то

36+2,2n ≥ 2∙25;

2,2n ≥ 50-36;

2,2n ≥ 14;

n ≥ 140:22;

n ≥ 6,36… .

n = 7 – наименьшее целое.

3 год. Итоги 1,2(36+2,2∙7)=1,2(36+15,4)=1,2∙51,4=61,68.

Вложение 61,68+m.

4 год. Итоги 1,2(61,68+m)=74,016+1,2m.

Вложение. 74,016+2,2m.

Так как за четыре года первоначальные вложения вырастут как минимум в четыре раза, то

74,016+2,2m ≥ 4∙25;

2,2m ≥ 100-74,016;

2,2m ≥ 25,984;

m ≥ 259,84:22;

m ≥ 11,81… .

m = 12 – наименьшее целое.

Ответ: 7 млн рублей и 12 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 28. Задача 15.

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.

Решение.

1 год. Итоги 1,15∙20=23 (здесь и далее все величины в млн рублей).

Вложение 23+n.

2 год. Итоги 1,15(23+n)=26,45+1,15n.

Вложение 26,45+1,15n+n=26,45+2,15n.

Так как за два года первоначальные вложения как минимум удвоятся, то

26,45+2,15n ≥ 2∙20;

2,15n ≥ 40-26,45;

2,15n ≥ 13,55;

n ≥ 1355:215;

n ≥ 6,30… .

n = 7 – наименьшее целое.

3 год. Итоги 1,15(26,45+2,15∙7)=1,15(26,46+15,05)=1,15∙41,5=47,725.

Вложение 47,725+m.

4 год. Итоги 1,15(47,725+m)=54,88375+1,15m.

Вложение. 54,88375+2,15m.

Так как за четыре года первоначальные вложения как минимум утроятся, то

54,88375+2,15m ≥ 3∙20;

2,15m ≥ 60-54,88375;

2,15m ≥ 5,11625;

m ≥ 511,625:215;

m ≥ 2,379… .

m = 3 – наименьшее целое.

Ответ: 7 млн рублей и 3 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 30. Задача 15.

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 12 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года вырастут как минимум в полтора раза, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.

Решение.

1 год. Итоги 1,12∙10=11,2 (здесь и далее все величины в млн рублей).

Вложение 11,2+n.

2 год. Итоги 1,12(11,2+n)=12,544+1,12n.

Вложение 12,544+1,12n+n=12,544+2,12n.

Так как за два года первоначальные вложения вырастут как минимум в полтора раза, то

12,544+2,12n ≥ 1,5∙10;

2,12n ≥ 15-12,544;

2,12n ≥ 2,456;

n ≥ 245,6:212;

n ≥ 1,16… .

n = 2 – наименьшее целое.

Итак, в проекте 12,544 + 2,12∙2=16,784 млн рублей.

3 год. Итоги 1,12∙16,784=18,79808.

Вложение 18,79808+m.

4 год. Итоги 1,12(18,79808+m)=21,0538496+1,12m.

Вложение. 21,0538496+2,12m.

Так как за четыре года первоначальные вложения как минимум утроятся, то

21,0538496+2,12m ≥ 3∙10;

2,12m ≥ 30-21,0538496;

2,12m ≥ 8,9461504;

m ≥ 894,61504:212;

m ≥ 4,22… .

m = 5 – наименьшее целое.

Ответ: 2 млн рублей и 5 млн рублей.

 

 

Навигация

Предыдущая статья: ←

Комментирование закрыто.

Наверх