Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS

Проценты и кредиты ЕГЭ 2022

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 1. Задача 15.

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на 8 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1125 тысяч рублей?

Решение.

Так как «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года», то обозначим эту величину через х тысяч рублей.

Тогда общая сумма кредита 8х, а остатки долга, на которые и начисляются ежегодно проценты в январе, по годам составят:

2026 год – 8х;

2027 год – 7х;

2028 год – 6х;

2029 год – 5х;

2030 год – 4х;

2031 год – 3х;

2032 год – 2х;

2033 год – х.

За первые 4 года банк начислит по 20% ежегодно, и проценты составят:

0,2(8х+7х+6х+5х)=0,2 ∙ 26х=5,2х тысяч рублей.

За вторые 4 года банк начислит по 18% ежегодно, и проценты составят:

0,18(4х+3х+2х+х)=1,8х тысяч рублей.

Общая сумма процентов за 8 лет составит 5,2х+1,8х=7х тысяч рублей.

Итак, банку придётся отдать тысяч рублей, взятых в кредит, плюс тысяч рублей процентов за всё время кредитования.

Итого общая сумма выплат 15х. По условию это 1125 тысяч рублей.

15х=1125;

х=1125 : 15;

х=75 тысяч рублей.

Таким образом, в кредит планируется взять 8 ∙ 75 = 600 тысяч рублей.

Ответ: 600 000 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 2. Задача 15.

В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь с 2024 по 2028 год долг возрастает на 18% по сравнению с концом предыдущего года;

— каждый январь с 2029 по 2033 год долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2033 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите сумму, которую планируется взять в кредит, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1470 тысяч рублей.

Решение.

Обозначим через х тысяч рублей эту «одну и ту же сумму», на которую долг уменьшается ежегодно все 10 лет.

Следовательно, планируется взять в долг 10х тысяч рублей, а отдать придётся эти 10х тысяч рублей плюс проценты за все 10 лет, которые банк будет начислять ежегодно в январе на остатки долга, т.е. сначала на 10х, потом на 9х, затем на 8х и т.д.

С 2024 по 2028 год долг возрастает на 18%.

Тогда за первые 5 лет банк начислит:

0,18(10х+9х+8х+7х+6х)=7,2х тысяч рублей.

С 2029 по 2033 год долг возрастает на 16%.

А за вторые 5 лет банк начислит:

0,16(5х+4х+3х+2х+х)=7,2х тысяч рублей.

Итак, банку за всё время нужно будет выплатить

10х+7,2х+2,4х или 1470 тысяч рублей. Решаем уравнение:

10х+7,2х+2,4х=1470;

19,6х=1470;

х=1470 : 19,6;

х=75 тысяч рублей.

Таким образом, в кредит планируется взять 10 ∙ 75 = 750 тысяч рублей.

Ответ: 750 000 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 5. Задача 15.

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 300 тыс. рублей на 6 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 498 тысяч рублей. Найдите r.

Решение.

Читаем условие: «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». И мы знаем эту величину:

300 : 6 = 50 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 50 тысяч рублей через х.

Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.

За первые 3 года долг возрастает на 20% ежегодно, и проценты составят:

0,2(6х+5х+4х)=3х тысяч рублей.

За вторые 3 года банк начислит по r % ежегодно, и проценты составят:

0,01r ∙ (3х+2х+х)=0,06rх тысяч рублей.

Общая сумма выплат составит 6х+3х+0,06rх тысяч рублей.

По условию это 498 тысяч рублей. Получаем равенство:

6х+3х+0,06rх=498;

9х+0,06rх=498. Но у нас х=50 тысяч рублей.

9 ∙ 50+0,06r ∙ 50=498;

450+3r=498;

3r=48;

r =16%.

Ответ: 16.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 31. Задача 15.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 20 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 8 млн. рублей.

Решение.

Пусть кредит составит S млн рублей, где S – целое число. За 1-й и 2-й годы заёмщик выплатит по условию по 20 % от суммы кредита,

т.е. 0,2S+0,2S=0,4S.

Долг остался прежним S млн рублей

Будем считать, что берётся кредит S на 2 года (3-й и 4-й). Так как отдавать нужно равными платежами, то обозначим этот ежегодный платёж (без процентов) через Х. Тогда S=2X.

За 2 года (3-й и 4-й) будут выплачены эти 2Х млн рублей плюс проценты с этой суммы, всего

2Х+0,2 ∙ (2Х+Х) = 2Х+0,6Х = 2,6Х млн рублей.

Выразим 2,6Х через S.

Так как S = 2X, то X = S/2, поэтому 2,6X = 1,3S.

Итого за четыре года будет выплачено:

0,4S+1,3S = 1,7S млн рублей.

По условию эта сумма должна быть больше 8 млн рублей.

1,7S > 8, отсюда S = 5 – наименьшее целое число.

Ответ: 5 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 32. Задача 15.

Планируется выдать льготный кредит на целое число миллионов рублей на четыре года. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 25 % по сравнению с началом года. В конце 1-го и 2-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неизменно равным первоначальному. В конце 3-го и 4-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наименьший размер кредита, при котором общая сумма выплат заёмщика превысит 9 млн. рублей.

Решение.

Пусть кредит составит S млн рублей, где S – целое число. За 1-й и 2-й годы заёмщик выплатит по условию по 25 % от суммы кредита,

т.е. 0,25S+0,25S=0,5S.

Долг остался прежним S млн рублей

Будем считать, что берётся кредит S на 2 года (3-й и 4-й). Так как отдавать нужно равными платежами, то обозначим этот ежегодный платёж (без процентов) через Х. Тогда S=2X.

За 2 года (3-й и 4-й) будут выплачены эти 2Х млн рублей плюс проценты с этой суммы, всего

2Х+0,25 ∙ (2Х+Х) = 2Х+0,75Х = 2,75Х млн рублей.

Выразим 2,75Х через S.

Так как S = 2X, то X = S/2, поэтому 2,75X = 1,375S.

Итого за четыре года будет выплачено:

0,5S+1,375S = 1,875S млн рублей.

По условию эта сумма должна быть больше 9 млн рублей.

1,875S > 9;

S > 4,8;

отсюда S = 5 – наименьшее целое число.

Ответ: 5 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 6. Задача 15.

В июле 2023 года планируется взять кредит на 8 лет в размере 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь с 2024 по 2027 год долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

— каждый январь с 2028 по 2031 год долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1444 тысяч рублей.

Решение.

Читаем условие: «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». И мы знаем эту величину:

800 : 8 = 100 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 100 тысяч рублей через х.

Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 8х, 7х, 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.

За первые 4 года банк начислит по r % ежегодно, и проценты составят:

0,01r ∙ (8х+7х+6х+5х)=0,26rх тысяч рублей.

За последующие 4 года долг возрастает на 15% ежегодно, и проценты составят:

0,15(4х+3х+2х+х)=1,5х тысяч рублей.

Общая сумма выплат составит 8х+0,26rх+1,5х тысяч рублей.

По условию это 1444 тысяч рублей. Получаем равенство:

8х+0,26rх+1,5х=1444;

9,5х+0,26rх=1444. Значение х=100 тысяч рублей.

9,5 ∙ 100+0,26r ∙ 100=1444;

950+26r=1444;

26r=494;

r =19%.

Ответ: 19.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 9. Задача 15.

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 650 тыс. рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решение.

Так как «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года», то обозначим эту величину через х тысяч рублей.

На самом деле, мы эту сумму знаем: это 650 : 10=65 тысяч рублей. А для чего берём эту сумму за х? Исключительно для удобства рассуждений!

Итак, 65 тыс. руб.=х.

Тогда общая сумма кредита 10х, а остатки долга, на которые и начисляются ежегодно проценты в январе, по годам составят:

2026 год – 10х;

2027 год – 9х;

2028 год – 8х;

……………….

2035 год – х.

За первые 5 лет банк начислит по 19% ежегодно, и проценты составят:

0,19(10х+9х+8х+7х+6х)=0,19 ∙ 40х=7,6х тысяч рублей.

За последующие 5 лет банк начислит по 16% ежегодно, и проценты составят:

0,16(5х+4х+3х+2х+х)=2,4х тысяч рублей.

Общая сумма процентов за 10 лет составит 7,6х+2,4х=10х тысяч рублей.

Итак, банку придётся отдать 10х тысяч рублей, взятых в кредит, плюс 10х тысяч рублей процентов за всё время кредитования.

Итого общая сумма выплат 20х. А мы знаем, что х=65 тысяч рублей, поэтому общая сумма выплат после полного погашения кредита составит

20 ∙ 65 = 1300 тысяч рублей.

Ответ: 1300 000 рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 10. Задача 15.

В июле 2023 года планируется взять кредит на 12 лет в размере 1200 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь с 2024 по 2029 год долг возрастает на 18 % по сравнению с концом предыдущего года;

— каждый январь с 2030 по 2035 год долг возрастает на 15 % по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть полностью погашен.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Решение.

Читаем условие: «- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года». И мы знаем эту величину:

1200 : 12 = 100 тысяч рублей, но для удобства обозначим эту сумму 100 тысяч рублей через х.

Банк будет начислять проценты на остатки долга, т.е. на 12х, 11х, 10х, 9х, 8х, 7х, 6х, 5х, 4х, 3х, 2х и х тысяч рублей.

За первые 6 лет банк начислит по 18% ежегодно, и проценты составят:

0,18(12х+11х+10х+9х+8х+7х)=0,18 ∙ 57х=10,26х тысяч рублей.

За последующие 6 лет банк начислит по 15% ежегодно, и проценты составят:

0,15(6х+5х+4х+3х+2х+х)=0,15 ∙ 21х=3,15х тысяч рублей.

Общая сумма процентов за 12 лет составит 10,26х+3,15х=13,41х тысяч рублей.

Итак, банку придётся отдать 12х тысяч рублей, взятых в кредит, плюс 13,41х тысяч рублей процентов за всё время кредитования.

Итого общая сумма выплат 25,41х тысяч рублей. А мы знаем, что х=100 тысяч рублей, поэтому общая сумма выплат после полного погашения кредита составит

25,41 ∙ 100 = 2541 тысяч рублей.

Ответ: 2 541 000 рублей.

 

Комментирование закрыто.

Наверх