Профиль-математика Задачи по математике решайте как мы, решайте вместе с нами, решайте лучше нас!
RSS
Записи с меткой "вписана окружность"

Точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС

Задача. Точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1, пересекаются в одной точке.

б) Известно, что АВ=АС=17 и ВС=16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А1СВ1, А1ВС1 и В1АС1.

Решение.

Так как точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС, то отрезки А1В1, В1С1 и А1С1 являются средними линиями треугольника АВС (рис. 1).

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Вследствие этого мы получаем 4 треугольника, равных между собой по трём сторонам. Нас будут интересовать 3 из них (окрашены).

Около каждого из этих треугольников описана окружность.

Центр окружности, описанной около любого треугольника – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Пусть точка О1 – центр окружности (рис. 2), описанной около ΔА1СВ1 – пересечение серединных перпендикуляров О1Х и О1Х1 к сторонам А1С и В1С;

точка О2 – центр окружности, описанной около ΔА1ВС1 – пересечение серединных перпендикуляров О2Y и О2Y1 к сторонам А1B и ВС1. Заметим также, что точки Х, А1 и Y делят ВС на 4 равных отрезка.

точка О3 – центр окружности, описанной около ΔB1AC1 – пересечение серединных перпендикуляров О3Z и О3Z1 к сторонам АB1 и AC1; Заметим также, что точки Х1, В1 и Z делят AС на 4 равных отрезка, a точки Y1, C1 и Z1 делят AB на 4 равных отрезка.

а) Около равных треугольников А1СВ1 и A1BC1 будут описаны равные окружности, которые пересекаются в точках А1 и М (рис. 3).

Общая хорда А1М перпендикулярна линии центров О1О2 и проходит через точку К – середину отрезка О1О2. Следовательно, А1М будет осью симметрии для этих окружностей и является серединным перпендикуляром к отрезку ВС.

Итак, А1М Ʇ О1О2 и А1М Ʇ ВС, значит, О1О2 || BC.

В прямоугольнике ХО1О2Y О1О2 = XY, поэтому, очевидно, что О1О2 = ½ ВС.

Аналогично, прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О1 и О3 (рис. 4), будет являться серединным перпендикуляром к стороне АС треугольника АВС, и О1О3 || AC и О1О3 = ½ АС.

Точно так же прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О2 и О3 будет являться серединным перпендикуляром к стороне АВ треугольника АВС, и О2О3 || AВ и О2О3 = ½АВ.

Как известно, серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке, поэтому все три окружности пересекаются в точке М, ч.т.д. Точка М – центр окружности, описанной около треугольника АВС.

б) Так как длины сторон треугольника О1О2О3 равны соответственно половинам сторон треугольника АВС, то Δ О1О2О3 подобен ΔАВС по трём пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия 1/2. Следовательно, радиус окружности, вписанной в треугольник О1О2О3 будет равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС.

Радиус окружности, вписанной в ΔАВС найдём по формуле:

По условию АВ=АС=17 и ВС=16 (рис. 5). Проведём высоту AA1.

В равнобедренном ΔАВС высота AA1 – медиана, поэтому, в прямоугольном ΔAА1B гипотенуза АВ=17, катет ВA1=8, тогда второй катет AA1=15 (пифагорова «тройка» 8, 15, 17 или примените теорему Пифагора).

Тогда  2S = ВС ∙ AA1 = 16 ∙ 15 = 240.

Периметр ΔАВС равен 17+17+16 = 50.

Тогда r = 240 : 50 = 4,8.

Искомый радиус вписанной окружности для Δ О1О2О3 равен половине найденного радиуса вписанной окружности для ΔАВС, делим 4,8 пополам и получаем 2,4.

Ответ: 2,4. Смотреть видео решение.

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС

Задача. Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

а) Докажите, что ∠AOB = ∠COD = 90°.

б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со всеми сторонами трапеции составляет 12/49 площади трапеции ABCD.

Решение.

а) По условию трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности с центром О, следовательно, точка О есть пересечение биссектрис всех углов трапеции. Так как сумма углов трапеции, прилегающих к боковой стороне АВ, равна 180°, то сумма половинок этих углов равна 90°. Таким образом в ΔАОВ

∠OАB + ∠АВО = 90°, значит, и ∠АОВ = 90°.

Аналогично, так как ∠BCD + ∠ADC = 180°, то в ΔСOD

∠OCD + ∠ODC = 90°, следовательно, и ∠COD = 90°. Доказано.

б) По условию равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности с центром О. Пусть эта окружность касается сторон трапеции в точках М, Р, N и К. Четырёхугольник MPNK является вписанным в данную окружность. Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной.

Тогда ОМ⟘АВ, ОР⟘ВС, ОN⟘CD, ОK⟘АD. Смотреть видео решение этой задачи.

РК – диаметр окружности, перпендикулярен к основаниям трапеции и проходит через их середины, так как длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. РК – ось симметрии данной трапеции и четырёхугольника МРNК. Будем рассматривать половину данной трапеции слева от РК.

Площадь Δ МРК состоит из суммы площадей двух равновеликих треугольников МОР и МОК.

Действительно, площадь каждого из них равна половине произведения двух сторон (радиусов окружности) на синус угла (с вершиной в точке О) между ними; значения синусов смежных углов равны.

Проведём ОВ. Это биссектриса угла В трапеции ABCD.

В равнобедренном треугольнике МВР биссектриса ВТ является и медианой, и высотой (Т – середина МР, ВТ⟘МР). Тогда медиана ОТ (высота и биссектриса) делит равнобедренный треугольник ОМР на два равных треугольника РТО и МТО.

Аналогично рассуждая относительно ОА – биссектрисы угла А трапеции ABCD, делаем вывод, что равны треугольники МЕО и КЕО. Половинки равновеликих треугольников МОР и МОК также равновелики (и равны), значит, треугольник МРК состоит из четырёх равных треугольников, поэтому, разделив его площадь на 4, получим:

Выделим эти треугольники жёлтым цветом.

Итак, в рассматриваемой прямоугольной трапеции АВРК остаются:

Δ ВТР = Δ ВТМ (закрасим зелёным цветом) и

Δ АЕК = Δ АЕМ (закрасим розовым цветом).

Сумма этих четырёх, попарно равных треугольников, равна

Делим это значение пополам. Получаем:

В задаче требуется найти отношение AD : BC.

Обозначим AD = a, BC = b.

Нам нужно найти значение a : b.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности:

ОМ –радиус окружности, проведённый в точку касания, является высотой в прямоугольном треугольнике АОВ. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

РТ – высота прямоугольного треугольника ВРО, проведённая к гипотенузе ВО, делит треугольник ВРО на подобные треугольники ВТР и РТО с коэффициентом подобия, равным отношению сходственных сторон:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Точно так же, КЕ – высота прямоугольного Δ АКО, проведённая к гипотенузе АО, делит этот треугольник на подобные треугольники АЕК и КЕО. Тогда коэффициент их подобия:

6 + 6t2 = 37t;

6t2 -37t + 6 = 0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле.

D = 372 -4 ∙ 6 ∙ 6 = 1369 -144 = 1225 = 352;

Итак, AD : BC = 6.

Ответ: 6.

Наверх