Точки А1, В1, С1 – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС

Задача. Точки А₁, В₁, С₁ – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС.

а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников А₁СВ₁, А₁ВС₁ и В₁АС₁, пересекаются в одной точке.

б) Известно, что АВ=АС=17 и ВС=16. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого – центры окружностей, описанных около треугольников А₁СВ₁, А₁ВС₁ и В₁АС₁.

Решение.

Так как точки А₁, В₁, С₁ – середины сторон соответственно ВС, АС и АВ остроугольного треугольника АВС, то отрезки А₁В₁, В₁С₁ и А₁С₁ являются средними линиями треугольника АВС (рис. 1).

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.

Вследствие этого мы получаем 4 треугольника, равных между собой по трём сторонам. Нас будут интересовать 3 из них (окрашены).

Около каждого из этих треугольников описана окружность.

Центр окружности, описанной около любого треугольника – это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Пусть точка О₁ – центр окружности (рис. 2), описанной около ΔА₁СВ₁ – пересечение серединных перпендикуляров О₁Х и О₁Х₁ к сторонам А₁С и В₁С;

точка О₂ – центр окружности, описанной около ΔА₁ВС₁ – пересечение серединных перпендикуляров О₂Y и О₂Y₁ к сторонам А₁B и ВС₁. Заметим также, что точки Х, А₁ и Y делят ВС на 4 равных отрезка.

точка О₃ – центр окружности, описанной около ΔB₁AC₁ – пересечение серединных перпендикуляров О₃Z и О₃Z₁ к сторонам АB₁ и AC₁; Заметим также, что точки Х₁, В₁ и Z делят AС на 4 равных отрезка, a точки Y₁, C₁ и Z₁ делят AB на 4 равных отрезка.

а) Около равных треугольников А₁СВ₁ и A₁BC₁ будут описаны равные окружности, которые пересекаются в точках А₁ и М (рис. 3).

Общая хорда А₁М перпендикулярна линии центров О₁О₂ и проходит через точку К – середину отрезка О₁О₂. Следовательно, А₁М будет осью симметрии для этих окружностей и является серединным перпендикуляром к отрезку ВС.

Итак, А₁М Ʇ О₁О₂ и А₁М Ʇ ВС, значит, О₁О₂ || BC.

В прямоугольнике ХО₁О₂Y О₁О₂ = XY, поэтому, очевидно, что О₁О₂ = ½ ВС.

Аналогично, прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О₁ и О₃ (рис. 4), будет являться серединным перпендикуляром к стороне АС треугольника АВС, и О₁О₃ || AC и О₁О₃ = ½ АС.

Точно так же прямая, проходящая через точки пересечения окружностей с центрами О₂ и О₃ будет являться серединным перпендикуляром к стороне АВ треугольника АВС, и О₂О₃ || AВ и О₂О₃ = ½АВ.

Как известно, серединные перпендикуляры к сторонам любого треугольника пересекаются в одной точке, поэтому все три окружности пересекаются в точке М, ч.т.д. Точка М – центр окружности, описанной около треугольника АВС.

б) Так как длины сторон треугольника О₁О₂О₃ равны соответственно половинам сторон треугольника АВС, то Δ О₁О₂О₃ подобен ΔАВС по трём пропорциональным сторонам с коэффициентом подобия 1/2. Следовательно, радиус окружности, вписанной в треугольник О₁О₂О₃ будет равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник АВС.

Радиус окружности, вписанной в ΔАВС найдём по формуле:

По условию АВ=АС=17 и ВС=16 (рис. 5). Проведём высоту AA₁.

В равнобедренном ΔАВС высота AA₁ – медиана, поэтому, в прямоугольном ΔAА₁B гипотенуза АВ=17, катет ВA₁=8, тогда второй катет AA₁=15 (пифагорова «тройка» 8, 15, 17 или примените теорему Пифагора).

Тогда  2S = ВС ∙ AA₁ = 16 ∙ 15 = 240.

Периметр ΔАВС равен 17+17+16 = 50.

Тогда r = 240 : 50 = 4,8.

Искомый радиус вписанной окружности для Δ О₁О₂О₃ равен половине найденного радиуса вписанной окружности для ΔАВС, делим 4,8 пополам и получаем 2,4.

Ответ: 2,4. Смотреть видео решение.

Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС

Задача. Около окружности с центром О описана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС.

а) Докажите, что ∠AOB = ∠COD = 90°.

б) Найдите отношение большего основания трапеции к меньшему, если известно, что АВ = CD, а площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со всеми сторонами трапеции составляет 12/49 площади трапеции ABCD.

Решение.

а) По условию трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности с центром О, следовательно, точка О есть пересечение биссектрис всех углов трапеции. Так как сумма углов трапеции, прилегающих к боковой стороне АВ, равна 180°, то сумма половинок этих углов равна 90°. Таким образом в ΔАОВ

∠OАB + ∠АВО = 90°, значит, и ∠АОВ = 90°.

Аналогично, так как ∠BCD + ∠ADC = 180°, то в ΔСOD

∠OCD + ∠ODC = 90°, следовательно, и ∠COD = 90°. Доказано.

б) По условию равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и ВС описана около окружности с центром О. Пусть эта окружность касается сторон трапеции в точках М, Р, N и К. Четырёхугольник MPNK является вписанным в данную окружность. Радиус, проведённый в точку касания перпендикулярен касательной.

Тогда ОМ⟘АВ, ОР⟘ВС, ОN⟘CD, ОK⟘АD. Смотреть видео решение этой задачи.

РК – диаметр окружности, перпендикулярен к основаниям трапеции и проходит через их середины, так как длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. РК – ось симметрии данной трапеции и четырёхугольника МРNК. Будем рассматривать половину данной трапеции слева от РК.

Площадь Δ МРК состоит из суммы площадей двух равновеликих треугольников МОР и МОК.

Действительно, площадь каждого из них равна половине произведения двух сторон (радиусов окружности) на синус угла (с вершиной в точке О) между ними; значения синусов смежных углов равны.

Проведём ОВ. Это биссектриса угла В трапеции ABCD.

В равнобедренном треугольнике МВР биссектриса ВТ является и медианой, и высотой (Т – середина МР, ВТ⟘МР). Тогда медиана ОТ (высота и биссектриса) делит равнобедренный треугольник ОМР на два равных треугольника РТО и МТО.

Аналогично рассуждая относительно ОА – биссектрисы угла А трапеции ABCD, делаем вывод, что равны треугольники МЕО и КЕО. Половинки равновеликих треугольников МОР и МОК также равновелики (и равны), значит, треугольник МРК состоит из четырёх равных треугольников, поэтому, разделив его площадь на 4, получим:

Выделим эти треугольники жёлтым цветом.

Итак, в рассматриваемой прямоугольной трапеции АВРК остаются:

Δ ВТР = Δ ВТМ (закрасим зелёным цветом) и

Δ АЕК = Δ АЕМ (закрасим розовым цветом).

Сумма этих четырёх, попарно равных треугольников, равна

Делим это значение пополам. Получаем:

В задаче требуется найти отношение AD : BC.

Обозначим AD = a, BC = b.

Нам нужно найти значение a : b.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности:

ОМ –радиус окружности, проведённый в точку касания, является высотой в прямоугольном треугольнике АОВ. По свойству пропорциональных отрезков в прямоугольном треугольнике

РТ – высота прямоугольного треугольника ВРО, проведённая к гипотенузе ВО, делит треугольник ВРО на подобные треугольники ВТР и РТО с коэффициентом подобия, равным отношению сходственных сторон:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.

Точно так же, КЕ – высота прямоугольного Δ АКО, проведённая к гипотенузе АО, делит этот треугольник на подобные треугольники АЕК и КЕО. Тогда коэффициент их подобия:

6 + 6t² = 37t;

6t² -37t + 6 = 0. Решаем квадратное уравнение по общей формуле.

D = 37² -4 ∙ 6 ∙ 6 = 1369 -144 = 1225 = 35²;

Итак, AD : BC = 6.

Ответ: 6.