В треугольной пирамиде МАВС основанием является
Задача. В треугольной пирамиде МАВС основанием является правильный треугольник АВС, ребро МВ перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро МА равно 5. На ребре Ас находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ -точка L. Известно, что AD=AL=2 и ВЕ=1.
а) Постройте сечение пирамиды LAED плоскостью, проходящей через точку L и перпендикулярное ребру DE.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.
Решение.
В пирамиде МАВС ребро МВ является высотой. Основание АВС – правильный треугольник со стороной 3.
По условию ребро АМ=5, AD=AL=2 и ВЕ=1. Тогда АЕ=АВ-ВЕ=3-1=2.
В прямоугольном треугольнике АВМ гипотенуза АМ=5, катет АВ=3, тогда катет МB=4 (египетский треугольник, т.е. треугольник со сторонами 3, 4 и 5).
а) Построим сечение пирамиды LAED плоскостью проходящей через точку L и перпендикулярное ребру DE.
Заметим, что основание этой этой пирамиды ADE-равносторонний треугольник со стороной 2. На самом деле: отрезок DE отсекает от каждой из сторон АС и АЕ отрезки по 2 см.
Следовательно, ∆ADE∾∆ACB по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Поэтому ∆ADE также является равносторонним со стороной 2.
Построение сечения: проведем LF⟘AB. Так как LF лежит в грани МАВ, перпендикулярной основанию АВС, то LF является высотой пирамиды LAED.
Из точки F опустим перпендикуляр FK на ребро DE, и точку К соединим с точкой L. По ТТП (теореме о трех перпендикулярах) LK⟘DE (LK-наклонная к плоскости ADE, KF-её проекция, DE-прямая на плоскости, проведенная через основание наклонной перпендикулярно её проекции).
Так как DE⟘ FK и DE⟘ LK, то DE перпендикулярно плоскости LFK.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.
Таким образом, LFK-сечение пирамиды LAED плоскостью, проходящей через точку L перпендикулярно DЕ.
б) Найдем площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки Е, D и L, т.е. площадь треугольника DEL, которая будет равна половине произведения стороны DE на высоту LK, проведенную к этой стороне.
Так как LK-гипотенуза в прямоугольном треугольнике LFK, то потребуется найти катеты LF и FK.
∆ ABM ∾ ∆ AFL, как прямоугольные треугольники, имеющие один общий острый угол А. Отсюда
Из прямоугольного ∆AFL по теореме Пифагора находим:
Мы уже установили, что треугольник ADE, подобный треугольнику АВС, является равносторонним. Все углы равностороннего треугольника равны 60°. Из прямоугольного треугольника EKF следует:
Искомая площадь сечения:
