В правильной шестиугольной призме все рёбра равны 3

Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 3.

а) Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через точки D, А₁ и B₁.

б) Найдите расстояние от точки D до прямой А₁B₁.

Решение. a) Сечение проходит через ребро A₁B₁ верхнего основания и точку D нижнего основания. Так как основания призмы параллельны, то линии пересечения их плоскостью DA₁B₁ также параллельны, т.е. плоскость DA₁B₁ пересечет нижнее основание по прямой DE, параллельной ребру А₁В₁. Найдем еще одну точку пересечения секущей плоскости с плоскостью грани ВВ₁С₁С. Для этого находим точку пересечения прямых ВС и DE. Получаем точку К. Следовательно, грань ВВ₁С₁С пересекается с секущей плоскостью в точках В₁ и М, которая будет лежать на ребре СС₁. У секущей плоскости имеются две общие точки с гранью СС₁D₁D — это точки M и D, поэтому прямая пересечения MD.

Аналогично, находим еще одну общую точку грани АА₁F₁F с секущей плоскостью. Для этого продолжаем AF и DE до пересечения в точке Р. Проводим A₁P, которая пересечет ребро FF₁ в точке N. Соединим точки N и E.

NE — это линия пересечения секущей плоскости с гранью FF₁E₁E.

Сечение представляет собой шестиугольник A₁B₁MDEN.

б) Расстояние от точки D до прямой A₁B₁ — это расстояние между параллельными сторонами шестиугольника A₁B₁MDEN – рёбрами А₁В₁  и DE. Проведем B₁D и BD.

Так как малая диагональ BD правильного шестиугольника ABCDEF  образует с его стороной DE прямой угол, то на основании ТТП (теоремы о трёх перпендикулярах)

DE ⟘ B₁D (B₁D-наклонная, BD- её проекция, DE-прямая на плоскости, перпендикулярная проекции наклонной).

Это означает, что отрезок В₁D и есть расстояние между параллельными рёбрами А₁В₁  и DE.

В прямоугольном треугольнике В₁ВD гипотенузу В₁D найдем по теореме Пифагора.

Нам известен катет ВВ₁, а второй катет BD найдем по теореме косинусов из равнобедренного треугольника ВСD:

BD² = BC² + CD²-2 ∙ BC ∙ CD ∙ cos120°;

BD² = 3² + 3² -2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ (-cos60°);

BD² = 9 + 9-2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ (-0,5);

BD² = 9 + 9 + 9 = 27.

Теперь из прямоугольного треугольника В₁ВD по теореме Пифагора:

B₁D² = B₁B² + BD² = 3² + 27 = 9+27 = 36. Отсюда В₁D = 6.

Ответ: 6.