На доске написаны числа 10, 11, 12, 13, … , 50. За один ход разрешается стереть произвольные

Задача. На доске написаны числа 10, 11, 12, 13, … , 50. За один ход разрешается стереть произвольные четыре числа таких, что их сумма больше 134 и не равна ни одной из сумм четвёрок чисел, стёртых на предыдущих ходах.

а) Можно ли сделать 5 ходов по описанным правилам? Если да, то приведите пример этих ходов.

б) Можно ли сделать 10 ходов по описанным правилам?

в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Решение.

а) 5 ходов по описанным правилам можно сделать: Стираем:

1)  10, 50, 30 и 45 (сумма 135);

2)  11, 49, 32 и 44 (сумма 136);

3)  12, 48, 34 и 43 (сумма 137);

4)  13, 47, 36 и 42 (сумма 138);

5)  14, 46, 38 и 41 (сумма 139).

б) Нам дано 41 число всего. Десять четвёрок – это 40 чисел. Отбросим 10 — самое меньшее лишнее число и подсчитаем общую сумму чисел с 11 до 50, используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии:

По условию сумма каждой четвёрки  должна быть больше 134 и не должна повторяться. Это означает, что самые меньшие значения этих сумм: 135, 136, 137 и т.д. Предположим, что четвёрок 10.

Тогда, если бы мы сложили все суммы 10-ти четвёрок, то, самое меньшее, получили бы: 135+136+137+138+139+140+141+142+143+144=1395>1220, т.е. больше, чем мы имеем. Таким образом, 10 ходов по описанным правилам сделать нельзя.

в) Выясним, какое же наибольшее число ходов можно сделать. Возможно 9? Тогда общая (наименьшая) сумма всех четвёрок была бы равна 1395-144=1251 (144 – наименьшая сумма 10-й четвёрки), но тогда, отбросив одну четвёрку чисел (конечно, меньшую: 11, 12, 13 и 14), будем иметь арифметическую прогрессию из 36 членов, сумма которой равна 1220-(11+12+13+14)=1170. Так как 1251>1170, то 9 четвёрок тоже не удастся составить.

Если считать, что четвёрок 8, то их сумма была бы равна 1251-143=1108, считаем сумму оставшихся 32 чисел: 1170-(15+16+17+18)=1104. Так как 1108>1104, то 8 четвёрок составить тоже не получится.

На 7 четвёрок имеем наименьшую сумму: 135+136+137+138+139+140+141=966, а сумма 28-ми чисел, составляющих эти четвёрки, будет равна 1104-(19+20+21+22)=1022.

Так как 966<1022, то это означает, что из 28-ми чисел с 23-х до 50-ти можно по описанным правилам свободно составить 7 четвёрок. Например:

1)  23, 30, 38 и 44 (сумма 135);

2)  24, 31, 37 и 45 (сумма 137);

3)  25, 32, 39 и 46 (сумма 142);

4)  26, 33, 40 и 47 (сумма 146);

5)  27, 34, 41 и 48 (сумма 150);

6)  28, 35, 42 и 49 (сумма 154);

7)  29, 36, 43 и 50 (сумма 158).

Ответ: а) да; б) нет; в) 7.