Изначально на доске написаны числа 3 и 6. За один ход два числа, написанные на доске, стираются, а вместо них пишутся два других

Задача. Изначально на доске написаны числа 3 и 6. За один ход два числа, написанные на доске, стираются, а вместо них пишутся два других, одно из которых является суммой только что стертых чисел, а второе равно 2х+2, где х – одно из только что стертых чисел.

а) Может ли за несколько ходов на доске оказаться число 48?

б) Может ли после 80 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, оказаться числом 630?

в) Сделали 519 ходов. Какое наименьшее значение может принимать разность большего и меньшего из полученных чисел?

Решение.

а) Может. Пример:

3                 и            6

3+6=9         и      6 ∙ 2 + 2 = 14

9+14=23     и      9 ∙ 2 + 2 = 20

23+20=43   и     23 ∙ 2 + 2 = 48

Таким образом, например, за три хода на доске может оказаться число 48.

б) Для ответа на вопрос постараемся заменять очередные два числа новыми числами согласно условию так, чтобы числа росли как можно медленнее. Понятно, что для этого необходимо, чтобы каждый раз новые числа были как можно меньшими и к тому же, отличались друг от друга незначительно. Пример:

3                     и            6

3+6=9             и      3 ∙ 2 + 2 = 8

9+8=17           и      8 ∙ 2 + 2 = 18

17+18=35       и     17 ∙ 2 + 2 = 36

35+36=71       и      35 ∙ 2 + 2 = 72

71+72=143     и      71 ∙ 2 + 2 = 144

143+144=287  и     143 ∙ 2 + 2 = 288

287+288=575  и     287 ∙ 2 + 2 = 576

575+576=1151 и    так далее, то есть уже с 8-го хода числа получаются гораздо больше числа 630. Ответ: нет.

в)  На этот вопрос мы по сути уже ответили в пункте б). Самая маленькая разность очередных двух чисел будет равна 1.

Ответ: а) да; б) нет; в) 1.