Как найти косинус угла между векторами, изображёнными на координатной плоскости
Задача. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).
Найдите cosα,
где α – угол между векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).
1 способ решения – традиционный.
Применим формулу \( cos \alpha=\frac{ \vec{a}\: \cdot\: \vec{b}}{| \vec{a}|\: \cdot\:| \vec{b}|}\ \) ( * )
Здесь \( \vec{a}\: \cdot\: \vec{b}\ \)- скалярное произведение векторов \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \), которое равно сумме произведений соответственных координат этих векторов.
Требуется найти координаты и модули данных векторов. 
Для вектора \( \vec{a}\ \)координаты начала А1(-1; -4) и конца А2(-4; 2).
Тогда абсцисса вектора \( \vec{a}\ \)равна -4-(-1) = -3; ордината 2-(-4) = 6.
Вектор \( \vec{a}\ \){-3; 6}, модуль вектора \( \vec{a}\ \):
\( | \vec{a}|=\sqrt{(-3)^2+6^2}\ \)= \( \sqrt{9+36}\ \)= \( \sqrt{45}\ \)= \( 3\sqrt{5}\ \).
Для вектора \( \vec{b}\ \)координаты начала В1(-3; 5) и конца В2(5; 1).
Тогда абсцисса вектора \( \vec{b}\ \) равна 5-(-3) = 8; ордината 1-5 = -4.
Вектор \( \vec{b}\ \){8; -4}, модуль вектора \( \vec{b}\ \):
\( | \vec{b}|=\sqrt{8^2+(-4)^2}\ \)= \( \sqrt{64+16}\ \)= \( \sqrt{80}\ \)= \( 4\sqrt{5}\ \).
Все найденные значения подставляем в формулу ( * ):
\( cos \alpha=\frac{-3\: \cdot\:8\:+\:6\: \cdot\:(-4)}{3\sqrt{5}\ \cdot \:4\sqrt{5}}\ \);
\( cos \alpha=\frac{-48}{12\: \cdot\:5 }\ \);
\( cos \alpha=-\frac{4}{5}\ \);
cosα = -0,8.
Ответ: -0,8.
2 способ решения – нас не будут интересовать координаты векторов.
Выберем точку с целыми координатами на векторе \( \vec{a}\ \).
Пусть это будет точка М(-3; 0). Отложим от этой точки вектор \( \vec{MN}\ \), сонаправленный вектору \( \vec{b}\ \) так, чтобы точка N имела целые координаты. Достроим треугольник АМN.
Сторона АМ этого треугольника – это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 2 и 1.
АМ2 = 22 + 12 = 4 + 1= 5;
\( AM=\sqrt{5}\ \).
Сторона МN этого треугольника – это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 4 и 2.
МN2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20;
\( MN=\sqrt{20}\ \) или \( MN=2\sqrt{5}\ \).
Сторона АN этого треугольника – это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 5 и 4.
АN2 = 52 + 42 = 25 + 16 = 41;
\( AN=\sqrt{41}\ \).
Искомый угол АМТ обозначим через α
На основании теоремы косинусов
\( cos \alpha=\frac{AM^2+MN^2-AN^2}{2 \cdot AM\: \cdot\:MN}\ \);
\( cos \alpha=\frac{5+20-41}{2\sqrt{5}\: \cdot\:2\sqrt{5}}\ \);
\( cos \alpha=-\frac{16}{4\: \cdot\:5 }\ \);
\( cos \alpha=-\frac{4}{5}\ \);
cosα = -0,8.
Ответ: -0,8.
Ещё одна задача.
Задача. На координатной плоскости изображены векторы \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \). Найдите cosα, где α – угол между векторами \( \vec{a}\ \)и \( \vec{b}\ \).
Смотрим видео.
