Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство выполняется для всех значений х на данном отрезке
Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство
||x + 2a|-3a| + ||3x-a| + 4a| ≤ 7x + 24
выполняется для всех значений х∈[0; 7].
Решение. Перепишем неравенство в виде:
||x + 2a|-3a| + ||3x-a| + 4a|-7х ≤ 24 и рассмотрим функцию
f(x) = ||x + 2a|-3a| + ||3x-a| + 4a|-7х. Производная этой функции при любом раскладе (при раскрытии модульных скобок) отрицательна на всей области определения. На самом деле:
f ‘(x) = ± 1 ± 3-7 < 0. Это означает, что функция f(x) монотонно убывает на всей области определения, т.е. меньшему значению аргумента будет соответствовать большее значение функции.
На промежутке [0; 7] будет верным f(0) > f(7), и если f(0) ≤ 24, то и для остальных значений х∈[0; 7] данное в условии неравенство будет выполняться.
Находим f(0) = ||0 + 2a|-3a| + ||3 ∙ 0-a| + 4a|-7 ∙ 0;
f(0) = ||2a|-3a| + ||-a| + 4a|. Решаем неравенство f(0) ≤ 24.
||2a|-3a| + ||-a| + 4a| ≤ 24.
Модульные скобки будем раскрывать по правилу:
1) Если а < 0, тогда 2a < 0, -a > 0. Получаем:
|-2a-3a| + |-a + 4a| ≤ 24 → |-5a| + |3a| ≤ 24.
Помним, что у нас а < 0, тогда -5a > 0, 3a < 0. Получаем:
-5а-3а ≤ 24 → -8а ≤ 24 → а ≥ -3.
2) Если а ≥ 0, тогда 2a ≥ 0, -a ≤ 0. Получаем:
|2a-3a| + |a + 4a| ≤ 24 → | -a| + |5a| ≤ 24.
Помним, что у нас а ≥ 0, тогда -a ≤ 0, 5a ≥ 0. Получаем:
а + 5а ≤ 24 → 6а ≤ 24 → а ≤ 4.
Общее решение: -3 ≤ а ≤ 4.
Ответ: [-3; 4].
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более 2-х решений
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений. 
Решение. Рассмотрим первое уравнение системы.
Раскроем модульные скобки.
Определим знак каждого подмодульного выражения. Для этого воспользуемся методом интервалов.
а) x2-2х=х(х-2). x2-2х≥0 на промежутках (-∞; 0]U[2; +∞);
x2-2х<0 на промежутке (0; 2).
б) у2-2у≥0 на промежутках (-∞; 0]U[2; +∞); у2-2у<0 на промежутке (0; 2).
В зависимости от знака подмодульного выражения мы можем получить 4 разных уравнения.
1) Если x2-2х≥0 и у2-2у≥0, т.е. если
х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞), то после раскрытия модульных скобок мы получаем равенство:
х2+х2-2х=у2+у2-2у → 2х2-2х=2у2-2у → х2-х=у2-у → (х2-у2)-(х-у)=0;
(х-у)(х+у)-(х-у)=0 → (х-у)(х+у-1)=0.
Отсюда следует, что либо х-у=0, либо х+у-1=0, поэтому графиком этого уравнения будут служить точки, лежащие на прямых у=х и у= -х+1. Построим эти прямые на участках координатной плоскости для
х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞). Линии изобразим зеленым цветом. Смотрите координатную плоскость.
2) Если x2-2х<0 и у2-2у<0, т.е. если х∈(0; 2) и у∈(0; 2), то выражения в модульных скобках перепишем с противоположными знаками и получим:
х2-х2+2х=у2-у2+2у → у=х. График – прямая, которая является биссектрисой I и III-го координатных углов. Изобразим коричневым цветом только отрезок этой прямой при
х (0; 2) и у (0; 2).
3) Если x2-2х≥0 и у2-2у<0, т.е. если х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(0; 2), то получаем уравнение
х2+х2-2х= у2-у2+2у → 2у=2х2-2х → у=х2-х. Это квадратичная функция. Графиком служит парабола, пересекающая ось Ох в
точках (0; 0) и (2; 0), ветви параболы направлены вверх.
Вершина параболы O’(m; n), где m= -b : (2a) = 1 : 2 = 0,5;
n=у(m) = у(0,5)=0,52-0,5=0,25-0,5=-0,25. Синим цветом начертим часть этой параболы, точки которой удовлетворяют условиям:
х∈(-∞; 0]U[2; +∞) и у∈(0; 2).
4) Если x2-2х<0 и у2-2у≥0, т.е.
если х∈(0; 2) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞), то после раскрытия модульных скобок мы получаем равенство:
х2-х2+2х=у2+у2-2у → 2х=2у2-2у → х=у2-у. Это квадратичная функция зависимости х от у. Эта парабола пересекает ось Оу в
точках (0; 0) и (0; 2). Вершина параболы
O”(m; n), m= -b : (2a) = 1 : 2 = 0,5;
n=x(m) = x(0,5)=0,52-0,5=0,25-0,5=-0,25. Так как функция у нас зависит от переменной у, то координаты вершины параболы х= -0,25, у=0,5.
Чертим красным цветом ту часть параболы, точки которой удовлетворяют условиям:
х∈(0; 2) и у∈(-∞; 0]U[2; +∞).
Данная система уравнений должна иметь более двух решений, поэтому необходимо, чтобы прямая х + у = а пересекала построенный нами график более чем в двух точках. Запишем это уравнение в виде у = -х +а. График функции у = -х есть биссектриса II и IV-го координатных углов и имеет одну общую точку с графиком первого уравнения. Если этот график сдвинуть на один единичный отрезок вверх, то прямая у = -х +1 будет иметь множество общих точек с графиком первого уравнения (смотрите 1 пункт решения нашего задания), следовательно система будет иметь множество решений.
Вывод: при значениях 0< а ≤ 1 прямая у = -х + а будет иметь с графиком первого уравнения более двух общих точек. Ответ: 0< а ≤ 1.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет 4 решения
Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
Решение. 1) Случай.
Построим график функции f(x) = ax2 на
Графиком служит ветвь параболы. Наименьшее значение f(0) = 0, наибольшее значение
Смотрите рис. 1.
Так как функция f(x) = ax2 по условию чётная, то её график симметричен относительно оси Оу. Рисуем левую часть параболы. Смотрите рис.2.
По условию функция f(x) = ax2 периодическая с периодом
поэтому параболу, изображённую на рис.2 отображаем далее вправо
служит кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и сжатая (или растянутая) вдоль оси Ох в зависимости от коэффициента |a + 2|. Чтобы понять, как же применить свойства функции
рассмотрим график этой функции. Смотрите рис. 4.
Так как мы проводили все рассуждения при условии, что а > 0, то раскрывая
Нам нужно так построить график этой функции, чтобы он пересекал параболы на рис. 3 в четырёх точках. Очевидно, что это произойдёт в случае, если общей точкой графиков
Смотрите рис.5.
Упростим это равенство и найдём значение а.
2) Случай.
Построим график функции f(x) = ax2 на
Графиком служит ветвь параболы, направленная вниз. Построим ветвь параболы, симметричную этой,
Пусть при а < 0 выражение (а + 2) остаётся положительным. Тогда ветви
находиться в первой и третьей четвертях. Продолжим параболу у = ax2 влево от уже построенной. Снизу параболы будут ограничены прямой
должна пересечь параболы в четырёх точках. Это произойдёт в том случае, если кривая 
пройдёт
которая также является точкой параболы. Смотрите рис. 6.
Пусть при а < 0 выражение (а + 2) станет отрицательным. Тогда ветви
будут находиться во второй и в четвёртой четвертях. Продолжим параболу у = ax2 вправо от уже построенной в четвёртой четверти. Снизу параболы будут ограничены
должна пересечь параболы в четырёх точках. Это произойдёт в том случае, если
которая также является точкой параболы. Смотрите рис. 7. Раскрываем модульные скобки: |a + 2| = -a -2 при условии, что (а + 2) < 0.
Однако, при этом значении а выражение (а + 2) не станет отрицательным, следовательно, случай, показанный на рис. 7, не имеет места.
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений
Задача. Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений
Решение. Так как правая часть равенства неотрицательна, то неотрицательной будет и левая часть неравенства.
Следовательно, x2-8x + y2 + 4y + 15 ≥ 0.
Выделим из алгебраических сумм (x2-8x) и (y2 + 4y) полные квадраты двучленов.
x2-2 ∙ х ∙ 4 + 42-42 + y2 + 2 ∙ y ∙ 2 + 22-22 + 15 ≥ 0;
(x2-2 ∙ х ∙ 4 + 42) + (y2 + 2 ∙ y ∙ 2 + 22) + 15 ≥ 16 + 4-15;
(х-4)2 + (у + 2)2 ≥ 5.
ОДЗ: решения системы находятся среди множества точек, лежащих вне окружности с центром в точке Q(4; -2) и радиусом R =√5 . Смотрите рисунок. Эта окружность изображена зелёным цветом
1) Раскроем модульные скобки в первом уравнении системы, считая подмодульное выражение отрицательным,
т.е. при 2х-у-10 < 0.
Запишем это неравенство в виде: у > 2x -10. Получаем:
x2-8x + y2 + 4y + 15 = 4 ∙ (-2х + у + 10);
x2-8x + y2 + 4y + 15 = -8х + 4у + 40;
x2 + y2 = 25. Графически это уравнение изображает окружность с центром в начале координат и радиусом R = 5.
Решением первого уравнения при условии у > 2x -10 является множество точек
окружности x2 + y2 = 25, лежащих выше прямой у = 2x-10 и находящихся вне окружности (х-4)2 + (у + 2)2 = 5. Эти точки изображены синим цветом.
2) Раскроем модульные скобки в первом уравнении системы, считая подмодульное выражение неотрицательным, т.е. при 2х-у-10 ≥ 0.
Запишем это неравенство в виде: у ≤ 2x -10. Получаем:
x2-8x + y2 + 4y + 15 = 4 ∙ (2х-у-10);
x2-8x + y2 + 4y + 15 = 8х-4у-40;
x2-16х + y2 + 8у = -55. Преобразуем это уравнение к виду:
x2-2 ∙ х ∙ 8 + 82-82 + y2 + 2 ∙ y ∙ 4 + 42-42 = -55;
(x2-2 ∙ х ∙ 8 + 82)-82 + (y2 + 2 ∙ y ∙ 4 + 42)-42 = -55 + 64 + 16;
(х-8)2 + (у + 4)2 = 25.
Графически это уравнение изображает окружность с центром
в точке (8; -4) и радиусом R = 5. Нам подойдут те точки этой окружности, которые лежат ниже прямой у = 2х-10 и находящиеся вне окружности (х-4)2 + (у + 2)2 = 5. Изображаем эти точки красным цветом.
3) Второе уравнение данной системы уравнений х + 2у = а запишем в виде:
занимала промежуточное положение между касательными к зелёной окружности и касательными к синей и красной окружностям, при этом последние касательные не подойдут, так как только в двух точках будут пересекать окружности. Числовое значение параметра а мы найдём, решив системы уравнений:
Будем решать каждую систему уравнений методом подстановки: значение у из первого уравнения подставляем во второе уравнение и получаем квадратное уравнение относительно переменной х. Далее потребуем, чтобы дискриминант квадратного уравнения был равен нулю. В этом случае квадратное уравнение, а значит и каждая система (1-3) будет иметь единственное решение, зависящее от значения а,
4x2-32x + 64 + x2 + a2 + 16-8x + 8a-2ax-20 = 0;
5x2-40x-2ax + 60 + a2 + 8a = 0;
5x2-2(20 + a)x + a2 + 8a + 60 = 0. Находим дискриминант по формуле для чётного второго коэффициента.
D1 = (20 + a)2-5(a2 + 8a + 60) = 400 + 40a + a2-5a2-40a-300 = 100-4a2.
D1 = 0 → 100-4a2 → a2 = 25 → a = ±5.
х2-16х + 64 + х2 + а2 + 16-4х + 4а-ах-25 = 0 | ∙ 4
4x2-64x + 256 + x2 + a2 + 64-16x + 16a-2ax-100 = 0;
5x2-80x-2ax + a2 + 16a + 220 = 0;
5x2-2(40 + a)x + a2 + 16a + 220 = 0. Находим дискриминант по формуле для чётного второго коэффициента.
D1 = (40 + a)2-5(a2 + 16a + 220) = 1600 + 80a + a2-5a2-80a-1100 = 500-4a2.
D1 = 0 → 500-4a2 → a2 = 125 .
являются касательными к окружности (х-8)2 + (у + 4)2 = 25 (красной на чертеже).
3) Убедимся, что к окружности x2 + y2 = 25 (синей окружности) касательными
4х2 + х2-2ах + а2-100 = 0 → 5х2-2ах + а2-100 = 0.
Дискриминант D1 = a2-5(a2-100) = a2-5a2 + 500 = 500-4a2. Смотрим рассуждения в пункте 2) и убеждаемся в том, что и к синей окружности касательными являются прямые
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений данной функции содержит отрезок [2; 3].
Задача. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений
Решение. ОДЗ. a ≥ -1. Преобразуем функцию.
Так как наименьшее значение а = -1, то наименьшее значение с = 1.
По условию необходимо, чтобы у [2; 3],
Знаменатель этой дроби положителен при любых значениях х и с, поэтому, и числитель дроби должен быть неотрицателен.
c-2cos3x-2(sin23x + c2) ≥ 0 → c-2cos3x-2(1-cos23x)-2c2 ≥ 0;
c -2cos3x-2 + 2cos23x-2c2 ≥ 0 → 2cos23x-2cos3x + c-2c2-2 ≥ 0.
Сделаем замену: cos3x = z. Получаем неравенство: 2z2-2z + c-2c2-2 ≥ 0. ( * )
Решим уравнение: 2z2-2z + c-2c2-2 = 0. ( ** )
Найдём дискриминант D1 = 1-2(c-2c2-2) = 1-2с + 4с2 + 4 = 4с2-2с + 5 > 0 при любом значении с. Корни уравнения ( ** ):
Знаменатель этой дроби положителен при любых значениях х и с, поэтому, и числитель дроби должен быть неотрицателен.
c-2cos3x-3(sin23x + c2) ≤ 0 → c-2cos3x-3(1-cos23x)-3c2 ≤ 0;
c-2cos3x-3 + 3cos23x-2c2 ≤ 0 → 3cos23x-2cos3x + c-3c2-3 ≤ 0.
Сделаем замену: cos3x = z. Получаем неравенство: 3z2-2z + c-3c2-3 ≤ 0. ( *** )
Решим уравнение: 3z2-2z + c-3c2-3 = 0. ( **** )
Найдём дискриминант D1 = 1-3(c-3c2-3) = 1-3с + 9с2 + 9 = 9с2-3с + 10 > 0 при любом значении с. Корни уравнения ( **** ):
3) Чтобы найти общее решение неравенств ( * ) и ( *** ) нужно правильно расположить числа
на числовой прямой. Для определённости подставим с = 1 в каждое из выражений и получим:
Очевидно, что z’1 ≤ z1 ≤ z2 ≤ z‘2 . Отмечаем эти числа на числовой прямой.
Двойная штриховка показывает общее решение неравенств ( * ) и ( *** ).
Итак, мы получили: z’1 ≤ z ≤ z1,
Так как z = cos3x, а-1 ≤ cos3x ≤ 1, то -1 ≤ z ≤ 1, то есть необходимо, чтобы
Решаем первое неравенство.
(помним, что 9с2-3с + 10 > 0 при любом значении с).
9с2-3с-6 ≤ 0 → 3с2-с-2 ≤ 0.
Найдём корни уравнения 3с2-с-2 = 0. Дискриминант D = 1-4 ∙ 3 ∙ (-2) = 25.
Неравенство 3с2-с-2 ≤ 0 выполняется при
Решаем второе неравенство.
Это неравенство верно при любых значениях с
( а что неравенство 4с2-2с + 5 > 0 при любом значении с мы помним).
Итак, неравенство:
Так как наименьшее возможное значение с = 1, то получаем
Ответ: а = -1.
