31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000
Задача. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение.
Рассмотрим два способа решения задачи.
1 способ. С помощью формулы.
Если кредит на S рублей полностью погашается за n ежегодных
осуществленных после начисления r% по вкладу, то имеет место замечательная формула:
Кредит Алексея S = 9282000 полностью погашается за 4 платежа по Х рублей каждый, после начисления r = 10% годовых каждый год на оставшуюся сумму долга. Получаем равенство:
Ответ: 2928200.
2 способ. Рассуждения по смыслу задачи.
Обозначим взятую в кредит сумму через S (у нас S=9282000).
1-ый год. Банк начисляет 10% ко взятой сумме, и сумма долга составит 110% от S. Чтобы найти проценты от числа нужно обратить проценты в дробь и умножить эту дробь на данное число.
110%=1,1. Умножаем 1,1 на S. Получаем 1,1S. Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1S-Х.
2-ой год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,1S-Х). Это составит 1,1(1,1S-Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,1S-Х)-Х.
Упростим. 1,12 S-1,1Х-Х=1,21S-2,1Х.
3-ий год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,21S-2,1Х). Это составит 1,1(1,21S-2,1Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,21S-2,1Х)-Х.
Упростим. 1,331S-2,31Х-Х=1,331S-3,31Х.
4-ый год. Банк начисляет 10% к остатку, т.е. Алексей теперь должен 110% от (1,331S-3,31Х). Это составит 1,1(1,331S-3,31Х). Алексей переводит в банк Х рублей. Остаток по вкладу равен 1,1(1,331S-3,31Х)-Х.
Упростим. 1,1(1,331S-3,31Х)-Х=1,4641S-3,641Х-Х=1,4641S-4,641Х.
Так как за 4 года Алексей выплатит весь долг, то последняя сумма равна нулю. Решаем уравнение:
1,4641S-4,641Х=0.
4,641Х=1,4641S; помним, что у нас S=9282000. Тогда
Х=(1,4641∙928200):4,641;
Ответ: 2928200.
Выбор решения исключительно за решающим.
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей
Задача. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн рублей.
Решение. Как всегда обозначим ежегодный платёж (без процентов) через х. Отсюда сумма кредита будет равна 9х. В этой задаче х = 4,5 млн : 9 = 4500000 : 9 = 500000 рублей.
Мы с вами знаем уже, что самый большой процент приходится на 1-й год выплат. Это r% от 9х, т.е. от всей суммы кредита, получается:
Таким образом наибольший годовой платёж по кредиту приходится на 1-й год и равен:
По условию этот платёж должен быть не больше 1,4 млн рублей. Получаем неравенство:
Вместо х запишем его значение 500000.
Разделим обе части на 500000.
Самый маленький платёж по кредиту будет в последний год, он будет
и по условию должен быть не меньше 0,6 млн рублей. Получаем:
Вместо х запишем его значение 500000.
Разделим обе части на 500000.
Смотрим на ( * ) и ( ** ). Делаем вывод:
следовательно, r = 100 : 5 = 20.
Ответ: 20.
В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу
Задача. В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 11000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 4000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через 15 лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?
Решение. В конце 2001 года цена бумаги увеличится на 4000 рублей и составит 15000 рублей. Если в начале 2002 года положить эту сумму на банковский счет, то к концу 2002 года сумма счета вырастет на 10%, т.е. на 1500 рублей. Это невыгодно, так как если бумагу не продать, то ее стоимость в конце 2002 года вырастет на 4000 рублей, поэтому нужно подождать когда стоимость бумаги станет больше 40000, тогда и можно продать, а деньги положить на банковский счет. В этом случае 10% с суммы, большей 40000 рублей будут больше 4000 рублей и через 15 лет сумма на банковском счете будет наибольшей возможной. Итак, не продаем ценную бумагу, а считаем: в конце 2002 года стоимость бумаги составит 19000 рублей;
в конце 2003 года стоимость бумаги составит 23000 рублей;
в конце 2004 года стоимость бумаги составит 27000 рублей;
в конце 2005 года стоимость бумаги составит 31000 рублей;
в конце 2006 года стоимость бумаги составит 35000 рублей;
в конце 2007 года стоимость бумаги составит 39000 рублей;
в конце 2008 года стоимость бумаги составит 43000 рублей.
Вот теперь в начале 2009 года Алексею стоит продать ценную бумагу, а деньги положить на банковский счет, и тогда в 2009 году на 43000 рублей будет начислено 4300 рублей, дальше – больше. Вывод: Алексею следует продать ценную бумагу в начале 2009 года.
Ответ: 2009.
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,8 млн рублей
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,8 млн рублей на 24 месяца. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?
Решение. Поймите правильно: «нужно вернуть» не означает, что будет возвращена такая сумма. Если клиент взял кредит на 24 месяца, то на эту сумму ему и будет составлен календарь обязательных ежемесячных равных платежей (вы ведь изучили мои объяснения, приведенные выше?). А это всего лишь задачка на проверку вашего понимания, сколько же процентов будет начислено клиенту за первые 12 месяцев кредитования. Разобьем сумму кредита на 24 части (т.к. 24 месяца кредитования). Получаем: 1800000 : 24 = 75000. Чтобы не таскать это число за собой, обозначим его, как в предыдущих примерах, через х и посчитаем проценты за первые 12 месяцев.
(24х + 23х + 22х + … 13х) ∙ 0,02. Здесь 0,02 – это 2% по условию задачи.
В скобках сумма арифметической прогрессии:
Так как х = 75000, то выходит, что за первые 12 месяцев сумма процентов составит:
222 ∙ 75000 ∙ 0,02 = 333000 рублей. А выплата по 75000 рублей ежемесячно в течение 12 месяцев составит:
75000 ∙ 12 = 900000 рублей.
Искомое число-сумма выплаты основного долга за 12 месяцев и процентов составляет 900000 + 333000 = 1233000 рублей.
Ответ: 1233000.
15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение. Пусть ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют х рублей. Тогда сумма кредита составляет 19х рублей. Выплатить нужно эти 19х рублей плюс проценты (как насчитывают проценты смотрите здесь):
Вручную сумму в скобках считать не стоит. Применим формулу суммы арифметической прогрессии.
Итак, будет выплачена сумма:
По условию эта сумма на 30% больше суммы, взятой в кредит. Иными словами, эта сумма составляет 130% или 1,3 от 19х. Получаем равенство:
Разделим обе части равенства на 19х и получим:
Ответ: 3.
Что необходимо понимать прежде, чем решать задачи на проценты и кредиты ЕГЭ по математике
Попробуем разобраться с механизмом кредитования населения.
Итак, пусть банк выдал кредит в сумме S рублей под r% (1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца) на 24 месяца (для примера берём 24 месяцев). Ежемесячно необходимо выплачивать банку одну и ту же сумму. Как же банк будет «обдирать» клиента (помимо драконовского ссудного процента)? А вот как. Всю сумму кредита (S рублей) банк разделит на количество месяцев займа, т.е. в данном примере на 24. Полученная сумма (обозначим ее через х),
выплачиваться клиентом. А проценты, спросите вы? Вот тут и начинается самое интересное (для банка, не для клиента!). Банк начисляет r% вначале на всю сумму кредита, т.е. на S рублей или, по нашим обозначениям, на 24х рублей
Потом банк после выплаты клиентом 1-й раз некоторой суммы, которая будет содержать и проценты, засчитывает выплаченными только х рублей и, считая оставшуюся часть долга 24х-х=23х, насчитывает r% уже на нее. Потом банк, снова получив некоторую сумму от клиента, разумеется, бОльшую х, считает уплаченными только х рублей, а остаток долга равным 23х-х=22х и насчитывает r% на 22х и т.д. Смотрите ТАБЛИЦУ.
Таким образом, в 1-й месяц «набегают» самые большие проценты
Платить придется всю сумму набежавших процентов, т.е.
В скобках сумма арифметической прогрессии, которую можно найти по формуле:
Следовательно, 24х + 23х + 22х + … + 3х + 2х + х будет равняться:
Тогда сумма всех процентов за 24 месяца:
И как же платить эти проценты?
Вот как: получившуюся сумму процентов
банк делит на 24 (количество месяцев займа).
Банк печатает клиенту календарь выплаты кредита, в которой указывается сумма ежемесячных равных выплат в размере (х+p) рублей. В нашем случае клиент
чтобы равными долями выплатить сумму кредита S рублей плюс проценты.
В случае оформления кредита на несколько лет (а не месяцев) рассуждаем так же.
