В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей
Задача. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4,5 млн рублей на срок 9 лет. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите r, если известно, что наибольший годовой платёж по кредиту составит не более 1,4 млн рублей, а наименьший – не менее 0,6 млн рублей.
Решение. Как всегда обозначим ежегодный платёж (без процентов) через х. Отсюда сумма кредита будет равна 9х. В этой задаче х = 4,5 млн : 9 = 4500000 : 9 = 500000 рублей.
Мы с вами знаем уже, что самый большой процент приходится на 1-й год выплат. Это r% от 9х, т.е. от всей суммы кредита, получается:
Таким образом наибольший годовой платёж по кредиту приходится на 1-й год и равен:
По условию этот платёж должен быть не больше 1,4 млн рублей. Получаем неравенство:
Вместо х запишем его значение 500000.
Разделим обе части на 500000.
Самый маленький платёж по кредиту будет в последний год, он будет
и по условию должен быть не меньше 0,6 млн рублей. Получаем:
Вместо х запишем его значение 500000.
Разделим обе части на 500000.
Смотрим на ( * ) и ( ** ). Делаем вывод:
следовательно, r = 100 : 5 = 20.
Ответ: 20.
15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,8 млн рублей
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,8 млн рублей на 24 месяца. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?
Решение. Поймите правильно: «нужно вернуть» не означает, что будет возвращена такая сумма. Если клиент взял кредит на 24 месяца, то на эту сумму ему и будет составлен календарь обязательных ежемесячных равных платежей (вы ведь изучили мои объяснения, приведенные выше?). А это всего лишь задачка на проверку вашего понимания, сколько же процентов будет начислено клиенту за первые 12 месяцев кредитования. Разобьем сумму кредита на 24 части (т.к. 24 месяца кредитования). Получаем: 1800000 : 24 = 75000. Чтобы не таскать это число за собой, обозначим его, как в предыдущих примерах, через х и посчитаем проценты за первые 12 месяцев.
(24х + 23х + 22х + … 13х) ∙ 0,02. Здесь 0,02 – это 2% по условию задачи.
В скобках сумма арифметической прогрессии:
Так как х = 75000, то выходит, что за первые 12 месяцев сумма процентов составит:
222 ∙ 75000 ∙ 0,02 = 333000 рублей. А выплата по 75000 рублей ежемесячно в течение 12 месяцев составит:
75000 ∙ 12 = 900000 рублей.
Искомое число-сумма выплаты основного долга за 12 месяцев и процентов составляет 900000 + 333000 = 1233000 рублей.
Ответ: 1233000.
15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев
Задача. 15 января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возвращения таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Решение. Пусть ежемесячные выплаты по кредиту (без процентов) составляют х рублей. Тогда сумма кредита составляет 19х рублей. Выплатить нужно эти 19х рублей плюс проценты (как насчитывают проценты смотрите здесь):
Вручную сумму в скобках считать не стоит. Применим формулу суммы арифметической прогрессии.
Итак, будет выплачена сумма:
По условию эта сумма на 30% больше суммы, взятой в кредит. Иными словами, эта сумма составляет 130% или 1,3 от 19х. Получаем равенство:
Разделим обе части равенства на 19х и получим:
Ответ: 3.
Что необходимо понимать прежде, чем решать задачи на проценты и кредиты ЕГЭ по математике
Попробуем разобраться с механизмом кредитования населения.
Итак, пусть банк выдал кредит в сумме S рублей под r% (1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца) на 24 месяца (для примера берём 24 месяцев). Ежемесячно необходимо выплачивать банку одну и ту же сумму. Как же банк будет «обдирать» клиента (помимо драконовского ссудного процента)? А вот как. Всю сумму кредита (S рублей) банк разделит на количество месяцев займа, т.е. в данном примере на 24. Полученная сумма (обозначим ее через х),
выплачиваться клиентом. А проценты, спросите вы? Вот тут и начинается самое интересное (для банка, не для клиента!). Банк начисляет r% вначале на всю сумму кредита, т.е. на S рублей или, по нашим обозначениям, на 24х рублей
Потом банк после выплаты клиентом 1-й раз некоторой суммы, которая будет содержать и проценты, засчитывает выплаченными только х рублей и, считая оставшуюся часть долга 24х-х=23х, насчитывает r% уже на нее. Потом банк, снова получив некоторую сумму от клиента, разумеется, бОльшую х, считает уплаченными только х рублей, а остаток долга равным 23х-х=22х и насчитывает r% на 22х и т.д. Смотрите ТАБЛИЦУ.
Таким образом, в 1-й месяц «набегают» самые большие проценты
Платить придется всю сумму набежавших процентов, т.е.
В скобках сумма арифметической прогрессии, которую можно найти по формуле:
Следовательно, 24х + 23х + 22х + … + 3х + 2х + х будет равняться:
Тогда сумма всех процентов за 24 месяца:
И как же платить эти проценты?
Вот как: получившуюся сумму процентов
банк делит на 24 (количество месяцев займа).
Банк печатает клиенту календарь выплаты кредита, в которой указывается сумма ежемесячных равных выплат в размере (х+p) рублей. В нашем случае клиент
чтобы равными долями выплатить сумму кредита S рублей плюс проценты.
В случае оформления кредита на несколько лет (а не месяцев) рассуждаем так же.
